江苏省宿迁市2023-2024学年高二年级下册6月期末考试数学试题（含解析）

高二年级调研测试数学

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将

条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案

标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上.如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

I.计算c；+c；+c；=（）

A.20B.21C.35D.36

2.已知样本数据2与+1,2X2+1,2匕+1的平均数为5,则3网+1,3X2+1,3x„+l

的平均数为（）

A.6B.7C.15D.16

3.下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（）

得分78910111314

频数4246242

A.13.5B.10.5C.12D.13

4.已知6为两条不同直线，a,夕，/为三个不同平面，则下列说法正确的是（）

A.若a〃b,bua,则B.若a//a,bua,贝！］a//Z>

C.ally,尸〃y,则a〃/?D.若a_Ly,,则a〃刀

5.已知45c三点不共线，。为平面ABC外一点，下列条件中能确定跖A8,c四点共面的

是（）

A.OM=OA+OB+OCB.OM=3OA-OB-BC

C.OM=OA+^OB+^OCD.OM=3OA-?.OB-BC

311

6.已知随机事件A,B,P(A)=—,P(8)=5，P(3|A)=§,则P(A|8)=()

A.-B.-C.—D.—

562010

7.已知(2x+l)9=%+qx+%苫？H1-cigX9,贝U寸+寸+6+?■的值为()

A.255B.256C.511D.512

8.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%,乙

车间占35%,丙车间占45%.已知这3个车间的次品率依次为5%,4%,2%,若从该厂生

产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分.

9.下列选项中叙述正确的有()

A.在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系

B.在公式孙=i中，变量y与x之间不具有相关关系

C.相关系数6=0-6时变量间的相关程度弱于弓=-0.8时变量间的相关程度

D.某小区所有家庭年收入X(万元)与年支出y(万元)具有相关关系，其线性回归方程

为3=+0.8.若x=20,y=16,贝。分=0.76.

10.已知点A(-2,3,-3),3(2,5,1),C(l,4,0),平面a经过线段A8的中点D,且与直线相

垂直，下列选项中叙述正确的有()

A.线段A8的长为36

B.点尸(1,2,-1)在平面a内

C.线段A3的中点。的坐标为(。,4,-1)

D.直线。与平面a所成角的正弦值为逆

3

11.甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取

出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为E(X)、£(r),方差

为。(X)、r»(y),则下列结论正确的是()

A.E(X)+E(y)=5B.£(x)<E(y)

C.£>(X)<D(Y)D.D(x)=r>(y)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知随机变量X服从正态分布N(95,〃)，若尸(X<80)=0.3,则P(95<X<110)=.

13.如图，用四种不同颜色给图中的AB.CAE五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且

图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有种.

14.如图，已知三棱锥P-ABC的底面是边长为2的等边三角形，ZAPB=60°,。为AB中

点，PALCD,则三棱锥尸-ABC的外接球表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步聚.

15.在，尤+七］(〃23,〃eN*)的展开式中，第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列.

(1)证明展开式中不存在常数项；

(2)求展开式中所有的有理项.

16.某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A,3两个班级招募

新社员.

(1)求到A班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；

(2)设到A,8两班招募新社员的男生人数分别为。，6,记X=a-6,求X的分布列和方差.

17.如图，正三棱柱ABC-ABC1中，。为A8的中点.

(1)求证：BCX//平面AjCD；

⑵当受的值为多少时，做，平面*8请给出证明.

18.会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务

质量的满意度.现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下:

满意度

年龄段合计

满意不满意

不高于40岁502070

高于40岁25530

合计7525100

(1)问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关;

⑵用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率.从所有会

员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X,求X的分布列和数学期望.

参考公式：（其中〃=a+6+c+d）.

参考数据:

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如图，在三棱台ABC-DEF中，AB=BC=AC=2,AD=DF=FC=l,N为Db的中

点，二面角D-AC-B的大小为氏

TT

(2)若6=5，求三棱台ABC-DEF的体积；

⑶若A到平面3a芯的距离为逅，求cos。的值.

2

1.B

【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.

【详解】由组合数计算公式可得c；+c；+或=1+5+*=21.

1x2

故选：B

2.B

【分析】根据平均数的性质即可得西,孙…，尤”的平均数为2,则可得到新的一组数据的平均

数.

【详解】由题意，样本数据2占+1,2%+1,…，2%+1的平均数为5,

设玉,尤2,…,x”的平均数为7,

即25+1=5,解得；=2,

根据平均数的性质知3再+1,3%+1,…，3%+1的平均数为3*1=7.

故选：B.

3.D

【分析】根据百分位数的定义求解即可.

【详解】因为24x80%=19.2,24个班级的得分按照从小到大排序，

可得80百分位数是第20个数为13.

故选：D

4.C

【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题.

【详解】若bua,贝!]a//a或aua,则A错；

若a//a,bua,贝!I或。与〃异面，则B错；

ally,4//7,由平行的传递性可知，«///?,则C对;

若a，7,J31y,则a〃6或相交.，D错，

故选：C.

5.D

【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.

【详解】由空间向量基本定理可知，若氏C四点共面，则需满足存在实数％Xz使得

OM=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=l,

显然选项A,C不成立；

对于选项B,由OM=3OA_08-BC可得。河=30A-OB-[OC-。8)=3OA-OC,

不合题意，即B错误；

对于D,化简0M=30A_20B-BC可得OM=3OA-2OB-(OC-OB)=3OA-OB-OC,

满足3+(-1)+(-1)=1,可得D正确；

故选：D

6.A

【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得P(AB),再由条件概率公式，代入计算，即

可得到结果.

311

【详解】因为尸(A)=历，P(B)=-,P(B\A)=~,

i31

贝!JP(叫=P(例A)xP(A)=§x正=正，

5

故选：A

7.A

【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令x=0求出4=1,分别令x=；、x=-1,

再两式相加可得/+墨+-+4=256,再减去%即可.

【详解】令x=0,得4=1,

令尤=工，得%+4+与+*++与+*=29=512,

20222232829

令X,，得°幺+多々++$一牛=o,

20222232829

两式相加得2(%+合++墨］=512,

得%+卷++|=256,

则生+合+祟+争=255.

故选：A.

8.C

【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即

可求解.

【详解】记事件A表示甲车间生产的产品，

记事件8表示乙车间生产的产品，

记事件C表示丙车间生产的产品，

记事件。表示抽取到次品，

贝IjP(A)=0.2,P(B)=0.35,P(c)=0.45,

P(D|A)=0.05,P(D|B)=0.04,P(£>|C)=0.02,

取到次品的概率为

P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)

=0.2x0.05+0.35x0.04+0.45x0.02=0.033,

若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：

p(B\D\_P(BD)_P(2)P(必3)_0.35x0.04_0.014_14

'।)一尸⑵一P(D)-0.033-0.03333,

故选：C

9.ACD

【分析】根据相关关系的定义和性质可判断AB的正误，根据相关系数的性质可判断C的正

误，根据回归方程的性质可判断D的正误.

【详解】对于A,在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高，

故两者之间具有正相关关系，故A正确.

对于B,变量y与X之间是函数关系，不是相关关系，故B错误.

对于C因为同=0.8>同=0.6,

故相关系数4=0.6时变量间的相关程度弱于4=-。-8时变量间的相关程度，故C正确.

对于D,因为回归直线过(元歹)，故16=嬴20+0.8，故g=0.76，故D正确.

故选：ACD.

10.BCD

【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段A8的长，判断A；由2平面垂足

为点PDLAB,即可判断B；由中点坐标公式可得点。的坐标，判断C；设直线8与

ABCD

平面a所成的角为夕，sin^=cos(^AB,CD,通过坐标运算可得，判断D.

AB\\CD

【详解】因为点A(-2,3,-3),8(2,5/)，

所以48二^(2-(-2))2+(5-3)2+(1-(-3))2=6,故A错误;

设。点的坐标为(x,y,z),因为。为线段48的中点，

则。的坐标为(。，4,-1),故C正确；

因为点尸(1,2,-1),则尸力=(-1,2,0),又AB=(4,2,4),

则尸力.市=(-1,2,0>(4,2,4)=0,所以即

又工平面垂足为点。，即Oe平面a,所以PDu平面故B正确;

由C(l,4,0),0(0,4,-1),得=

设直线8与平面。所成的角为P,

I/\iABCD_4+0-4272

则sinp=cos(AB,CD)\=­n-=——L=,故D正确.

1'/IAB\\CD6j23

故选：BCD.

11.ABD

【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知x+y=5,利用期望值和

方差性质可得A,D正确，C错误；易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,写出对应

的概率并得出分布列，可得E（X）=2.4,E（y）=5-E（X）=2.6,可得B正确.

【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为X,Y,

不管如何交换红球个数始终只有5个，易知X+y=5,

对于A,由期望值性质可得E（x）=E（5-y）=5-矶y）,即E（x）+E（y）=5,所以A正确;

对于B,易知随机变量X的所有可能取值为QL2,3,4；

当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得

唳=0）=尸（¥=5）=与冬=」-,

当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球,

乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得

z~il02「2123

p(x=i)=p(y=4)=------「X---\—-x-----——

C砥C-ci10025

当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出

2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄

球后交换，可得

C；C；C'C'

尸（X=2）==3）=营

C110050,

当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球,1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球,

1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得

p(x=3)=p(y=2)=||C'C*C；C；9

Cf10025'

当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得

C1C£_9

p(x=4)=p(y=i)=X=

cic|io。'

随机变量X的分布列为

X01234

132199

p

100255025100

132199

所以期望值E(X)=Ox^+lx甚+2x——+3x——+4x——=2.4

5025100

可得E(F)=5—E(X)=2.6,即E(X)<E/),可得B正确;

对于C,D,由方差性质可得。(y)=o(5-x)=(-l)2£>(x)=£>(x),即可得。(X)=D(y),

所以C错误，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足x+y=5,利用期望值和方差性质可判

断出AD选项，再求出随机变量X的分布列可得结论.

12.0.2##-

5

【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可.

【详解】因为随机变量X服从正态分布N05,4),尸(X<80)=0.3,

所以尸(95<X<110)=P(80<X<95)=0.5-P(X<80)=0.2,

故答案为：0.2

13.72

【分析】由图形可知点E比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E开始涂色计算可得结

果.

【详解】根据题意按照A民CD,E的顺序分5步进行涂色，

第一步，点E的涂色有C：种，

第二步，点A的颜色与E不同，其涂色有C；种，

第三步，点B的颜色与AE都不同，其涂色有C；种，

第四步，对点C涂色，当A,C同色时，点C有1种选择；当A,C不同色时，点C有1种选

择；

第五步，对点O涂色，当AC同色时，点。有2种选择；当AC不同色时，点D有1种选

择；

根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有C；C；C；(1x2+1x1)=72种.

故答案为：72

【分析】设R钻外接圆的圆心为E,三棱锥尸-ABC的外接球的球心为0,连接0E,

ABC的外接圆的圆心为G,连接0G,0B,可证四边形0GDE为矩形，利用解直角三角

形可求外接球半径，故可求其表面积.

【详解】因为：ABC为等边三角形，。为A3中点，故

而PA_LCD,PAAB=A,PA,ABu平面R4S,所以CD_L平面R4s.

设，R记外接圆的圆心为E,三棱锥尸-ABC的外接球的球心为0,连接OE,BE,

设,ABC的外接圆的圆心为G,连接。G,0B,

则0E_L平面承B,OG1CD

故OEHCD,故0,G,D,E共面，而£>Eu平面

故CDLDE,故四边形0GDE为矩形.

的14」12K,r-

又一2sin/APB一石一3，0E=DG=-CD=—,

了

故外接球半径为OB=^BE2+OE2=J|+|=平，

故外接球的表面积为4兀、个=等，

(2)128/,672/,280x,—.

X

【分析】（1）根据题意可求得〃=7,利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项;

（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的％值，求出所有的有理项.

【详解】（1）易知第2,3,4项的二项式系数依次为C：,C：,C：,

可得C!,+C：=2C；,即〃+皿R色二义=2、也匚1,

62

整理得5-2）（"-7）=0,解得九=7或』=2（舍）；

所以二项式为12尤+\J,假设第％+1项为常数项，其中ZeN,

即可得C；（2x广［味］=2,-yj共为常数项，所以7"=0,

解得人=?eN,不合题意；

即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；

⑵由（1）可知，二项展开式的通项C：⑵广［；］=27飞*”权可得,

13

其中的有理项需满足7—左一一左£Z,即7—7左cZ,且上《7；

22

当k=a,7-jk=7sZ,此时有理项为27c犷=128p.

3

当k=2,7-1左=4eZ,此时有理项为25C；X4=672x4；

当k=A,7-：k=\eZ,止匕时有理项为23cb=280x；

2

当k=6,7—k=-2GZ,此时有理项为21———；

2x

14

综上可知，展开式中所有的有理项为128/,672/,280.x,—.

X

3

16.（1）-

12

【分析】（1）由古典概型的概率求解尸C=C等=13;

（2）由题意，X的可能取值为-2,0,2,算出对应概率P（X=-2）,P（X=0）,P（X=2）,

即可列出X的分布列，再求出E（X）,进而由公式求出方差.

!2

【详解】（1）到A班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为尸=CaC=〜3

C65

（2）由题意，X的可能取值为-2,0,2,则

「0031「1023C2Cl

P（X=-2）=段=[P（X=0）=去=：,尸（X=2）=皆i

5

所以X的分布列为

所以r>(X)=(-2-0逞+(0-0)鼠］+(2-0)弋=|.

17.(1)证明见答案.

(2)T

【分析】(1)连接AG,交aC于点0,连接。o,能证出//。。,则能证出BG〃平面AC，

(2)先把A与，平面AC。当做条件，得出A瓦，A。，得出其的值，过程要正面分析.

【详解】(1)

连接4G,交AC于点。，连接。0,

因为。是AG的中点，。为AB的中点，

所以。。是ABG的中位线，即8CJ/。。，

BG(z平面4C。，。。匚平面4"),

所以8G〃平面4CD.

(2)44=走时，A与，平面ACO,证明如下：

AB2

因为:^_=也，/.tanZAAB,=42,tan,

AB2AD

,ZAiABl=ZDAJBJ,

TTrr

ZDAiB,+ZAA1D=-,ZAiABI+ZAA,D=-,即

因为三棱柱ABC-A与G为正三棱柱，，ABC为正三角形，且平面ABC,

CDJ_AB,CD-LA4j,ABcA4|=A,ABu平面ABB1A,AA^u平面ABg4,

\CDA平面ABB^,因为AB】u平面ABB^,

所以Ag_LCD,A。CD=D,ARGDu平面4。。，

「.A耳，平面4。。.

.A4V2

18.（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.

9

（2）分布列见解析；

【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算/值，然后对照表格得到结论;

（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为:，且*~3,高，根据二项分布公式即可求

解.

【详解】⑴

100(50x5-25x20)2

由列联表可知：/=——«1.587<2.072

75x25x70x3063

所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.

（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为：，且*~8（3,|）,

则X=0,1,2,3,

329

可得:尸(x=o)=c；(，p(x=l)=C；

64

27

P（X=3）=C；

64

故X的分布列如图:

X0123

192727

P

64646464

3Q

可得E(X)=3xz="

19.(1)证明见解析；

⑵二

8

3

(3)cos^=-j

【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC，平面可证明结

论；

（2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；

（3）建立空间坐标系，求出平面3CEE的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出

cos。的值.

【详解】（1）取AC的中点为连接如下图所示：

F

E

易知平面ABC/