河南省郑州市2025届高三数学第二次质量预测二模试题文含解析

PAGE21-河南省郑州市2025届高三数学其次次质量预料（二模）试题文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}2．设复数z满意（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A． B． C． D．23．如图是某统计部门网站发布的《某市2024年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）①2024年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%②2024年9月CP1环比上升0.2%，同比无改变③2024年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%④2024年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%A．①③ B．①④ C．②④ D．②③4．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（）A． B． C． D．5．若直线x+ay﹣a﹣1＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（）A． B．π C．2π D．3π6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，假如a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于（）A． B． C． D．7．执行如图的程序框图，假如输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣8．皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发觉了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（p﹣1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（）A． B． C． D．9．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点P（，0）的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且＝﹣3，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2cos（） B．不等式f（x）＞1的解集为（2kπ﹣，2kπ+π），k∈Z C．函数f（x）的一个单调递减区间为[，] D．若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x），则g（x）是奇函数11．已知a﹣5＝ln＜0，b﹣4＝ln＜0，c﹣3＝ln＜0，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a12．已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（）A．128π B．132π C．144π D．156π二、填空题（每小题5分）.13．直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为．14．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为．15．假如函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的随意x1，x2，…，xn，都有≤f（）．若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，则实数λ的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60．17．2024年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄重宣告：我国脱贫攻坚战取得全面成功．目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入改变及构成比例如图所示：年份2016年2017年2024年2024年2024年年份代号x12345经济收入y（单位：百万元）59141720（Ⅰ）依据以上图表，试分析：与2016年相比，2024年第三产业与种植业收入改变状况；（Ⅱ）求经济收入y关于x的线性回来方程，并预料2025年该地区的经济收入．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回来直线＝x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．18．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且{bn}的前n项和为Sn，2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），___．在①b5＝4（b4﹣b3），②bn+1＝Sn+2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an﹣bn}的前n项和Tn．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN．证明：（Ⅰ）点D在平面B1MN内；（Ⅱ）MN⊥BD．20．如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B．（Ⅰ）证明：直线BC∥x轴；（Ⅱ）设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF．证明：||AF|﹣|BF||＝8．21．已知函数f（x）＝lnx﹣a（x+1）．（Ⅰ）探讨函数的单调性；（Ⅱ）对随意x＞0，求证：﹣a（x+1）＞f（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，假如多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}解：∵A＝{3，4，5}，B＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{3，4}．故选：C．2．设复数z满意（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A． B． C． D．2解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．则|z|＝．故选：C．3．如图是某统计部门网站发布的《某市2024年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）①2024年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%②2024年9月CP1环比上升0.2%，同比无改变③2024年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%④2024年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%A．①③ B．①④ C．②④ D．②③解：依据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，下一条为月度环比折线图，所以依据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%，同比比上年上涨2.1%，故①正确；依据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%，同比比上年上涨1.7%，故④正确；因此②③错误．故选：B．4．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（）A． B． C． D．解：正四棱锥的底面是正方形，其外接圆的半径为R，则正方形的边长为，因为正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，设侧棱长为l，则有，解得，所以侧棱长与底面外接圆的直径的比为．故选：D．5．若直线x+ay﹣a﹣1＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（）A． B．π C．2π D．3π解：直线x+ay﹣a﹣1＝0可化为：（x﹣1）+a（y﹣1）＝0，则当x﹣1＝0且y﹣1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M（1，1），设圆的圆心为C（2，0），半径r＝2，当MC⊥直线AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2＝2＝2，此时弦长AB对的圆心角为，所以劣弧长为×2＝π，故选：B．6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，假如a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于（）A． B． C． D．解：由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB①，又S△ABC＝acsinB＝ac＝，∴ac＝6，②∵a、b、c成等差数列，∴a+c＝2b，③，将②③代入①得b2＝4b2﹣12﹣6，化简整理得b2＝4+2，解得b＝1+．故选：A．7．执行如图的程序框图，假如输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣解：第一次执行循环体后，s＝1，x＝，不满意退出循环的条件x＜0.01；再次执行循环体后，s＝1+，x＝，不满意退出循环的条件x＜0.01；再次执行循环体后，s＝1++，x＝，不满意退出循环的条件x＜0.01；…由于＞0.01，而＜0.01，可得：当s＝1++++…，x＝，此时，满意退出循环的条件x＜0.01，输出s＝1+++…＝2﹣．故选：C．8．皮埃尔•德•费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发觉了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（p﹣1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（）A． B． C． D．解：在数集{2，3，5，6，8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，基本领件总数n＝＝20，所取两个数（p，a）符合费马小定理包含的基本领件有：（2，3），（2，5），（3，2），（3，5），（3，8），（5，2），（5，3），（5，6），（5，8），共9个，∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝．故选：B．9．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点P（，0）的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且＝﹣3，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．解：由＝﹣3可知，F1A∥F2B，所以△AF1P∽△BF2P，且，即，化简可得，即e2＝2，所以e＝（负值舍去），故选：A．10．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2cos（） B．不等式f（x）＞1的解集为（2kπ﹣，2kπ+π），k∈Z C．函数f（x）的一个单调递减区间为[，] D．若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x），则g（x）是奇函数解：依据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A＝2，•＝+，∴ω＝．结合五点法作图，可得•+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（﹣），故A错误；不等式f（x）＞1，即cos（﹣）＞，∴2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+π，故不等式的解集为（4kπ﹣，4kπ+π），k∈Z，故B错误；当x∈[，]时，﹣∈[﹣，]，f（x）没有单调性，故C错误；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x）＝2cos（﹣﹣）＝2sin，则g（x）是奇函数，故D正确．故选：D．11．已知a﹣5＝ln＜0，b﹣4＝ln＜0，c﹣3＝ln＜0，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a解：令f（x）＝x﹣lnx，则＝，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减．故f（5）＞f（4）＞f（3），所以5﹣ln5＞4﹣ln4＞3﹣ln3，因为a﹣5＝ln＝lna﹣ln5＜0，b﹣4＝ln＝lnb﹣ln4＜0，c﹣3＝ln＝lnc﹣ln3＜0，所以a﹣lna＝5﹣ln5，b﹣lnb＝4﹣ln4，c﹣lnc＝3﹣ln3，故a﹣lna＞b﹣lnb＞c﹣lnc，所以f（a）＞f（b）＞f（c），因为a﹣4＝lna﹣ln4＜0得0＜a＜4，又a﹣lna＝4﹣ln4，所以f（a）＝f（4），则0＜a＜1，同理f（b）＝f（3），f（c）＝f（2），所以0＜b＜1，0＜c＜1，所以c＞b＞a．故选：C．12．已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（）A．128π B．132π C．144π D．156π解：因为AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，所以，设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，则O'为BC的中点，且OO'⊥平面ABC，则有O'A＝O'B＝O'C＝，取AB的中点E，连结O'E，O'O，则O'E＝，因为AD＝5DB，AB＝8，E为AB的中点，所以DE＝2，所以，设OO'＝x，则有OD2＝O'D2+OO'2＝20+x2，则球的半径R2＝O'A2+x2＝52+x2＝25+x2，故与OD垂直的截面圆的半径，所以截面圆面积的最小值为πr2＝5π，截面圆面积的最大值为πR2，由题意可得πR2﹣5π＝28π，解得R2＝33π，所以球的表面积为S＝4πR2＝132π．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y＝x+b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b的值为ln3﹣1．解：y′＝（lnx）′＝，令＝，得x＝3，∴切点为（3，ln3），代入直线方程y＝x+b，∴ln3＝×3+b，∴b＝ln3﹣1．故答案为：ln3﹣1．14．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为3．解：向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，可得2﹣在方向上的投影为：＝＝＝3．故答案为：3．15．假如函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的随意x1，x2，…，xn，都有≤f（）．若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是．解：∵y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，且在△ABC中，A，B，C∈（0，π），A+B+C＝π，∴≤sin＝sin＝，∴sinA+sinB+sinC≤．故答案为：．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，则实数λ的取值范围是（，）．解：因为a＝1，A＝，由正弦定理得：＝，所以λb+c＝（λsinB+sinC）＝λsinB+sin（﹣B）＝λsinB+（cosB﹣sinB）＝（λ﹣1）sinB+cosB＝sin（B+θ），其中tanθ＝，由B∈（0，），λb+c存在最大值，即B+θ＝有解，即θ∈（，），可得λ﹣1＞0，解得λ＞，又＞1，解得λ＜，则实数λ的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60．17．2024年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄重宣告：我国脱贫攻坚战取得全面成功．目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入改变及构成比例如图所示：年份2016年2017年2024年2024年2024年年份代号x12345经济收入y（单位：百万元）59141720（Ⅰ）依据以上图表，试分析：与2016年相比，2024年第三产业与种植业收入改变状况；（Ⅱ）求经济收入y关于x的线性回来方程，并预料2025年该地区的经济收入．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回来直线＝x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．解：（Ⅰ）①与2016年相比，2024年第三产业的收入占比大幅度增加；②2016年第三产业的收入为0.3百万元，2024年第三产业的收入为6百万元，收入大幅度增加；③与2016年相比，种植业收入占比削减，但种植业收入依旧保持增长；（Ⅱ）由表格中的数据可知，，，，则＝＝，所以＝﹣＝1.6，故经济收入y关于x的线性回来方程为＝3.8x+1.6，当x＝10时，＝39.6，则2025年该地区的经济收入预料为39.6百万元．18．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且{bn}的前n项和为Sn，2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），___．在①b5＝4（b4﹣b3），②bn+1＝Sn+2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an﹣bn}的前n项和Tn．解：等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，选①b5＝4（b4﹣b3），（Ⅰ）由2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3），可得1+4d＝5d，2q4＝4（2q3﹣2q2），解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2•2n﹣1＝2n；（Ⅱ）an﹣bn＝n﹣2n，则Tn＝（1+2+3+…+n）﹣（2+4+8+…+2n）＝n（n+1）﹣＝（n2+n）﹣2n+1+2．选②bn+1＝Sn+2，（Ⅰ）由2a1＝2，a5＝5（a4﹣a3），bn+1＝Sn+2，可得1+4d＝5d，解得d＝1，由b1＝2，bn+1＝Sn+2，①当n≥2时，bn＝Sn﹣1+2，②①﹣②可得bn+1﹣bn＝Sn﹣Sn﹣1＝bn，即bn+1＝2bn，由n＝1时，b2＝S1+2＝b1+2＝4，所以bn＝b2•2n﹣2＝2n，上式对n＝1也成立，所以an＝1+n﹣1＝n，bn＝2•2n﹣1＝2n；（Ⅱ）an﹣bn＝n﹣2n，则Tn＝（1+2+3+…+n）﹣（2+4+8+…+2n）＝n（n+1）﹣＝（n2+n）﹣2n+1+2．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN．证明：（Ⅰ）点D在平面B1MN内；（Ⅱ）MN⊥BD．【解答】证明：（Ⅰ）连接MD，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN，∴由平行线性质定理得到MD∥B1N，∴四边形MDNB1是平面图形，∴点D在平面B1MN内；（Ⅱ）连接AC，BD，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，∴AC⊥BD，AA1⊥BD，∵AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，∵MN⊂平面ACC1A1，∴MN⊥BD．20．如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B．（Ⅰ）证明：直线BC∥x轴；（Ⅱ）设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF．证明：||AF|﹣|BF||＝8．解：（Ⅰ）证明：由抛物线的性质可得焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，设A（，y1），B（，y2），所以直线AO的方程为：y＝x，由题意可得C（﹣2，﹣），设直线AB的方程为：x＝my+2，联立，整理可得y2﹣8my﹣16＝0，所以y1y2＝﹣16，可得y2＝﹣，所以yC＝y2，所以BC∥x轴；（Ⅱ）证明：因为准线方程为x＝﹣2，由题意可得E（﹣2，0），＝（﹣2﹣，﹣y2），＝（2﹣，﹣y2），因为BE⊥BF，所以•＝0，即y22+（﹣2﹣）（2﹣）＝0，解得y2＝，x2＝2+4，由（Ⅰ）可得x1x2＝＝＝4，所以x1＝2﹣4，|AF|＝x1+2，|BF|＝x2+2，所以可证：||AF|﹣|BF||＝|x1﹣x2|＝8．21．已知函数f（x）＝lnx﹣a（x+1）．（Ⅰ）探讨函数的单调性；（Ⅱ）对随意x＞0，求证：﹣a（x+1）＞f（x）．解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝﹣a＝，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：要证﹣a（x+1）＞f（x），即证•﹣lnx＞0，令g（x）＝•