四川省遂宁二中2024-2025学年高二数学上学期期中试题理

PAGE9-四川省遂宁二中2024-2025学年高二数学上学期期中试题理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，满分60分）留意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2．选择题运用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3．考试结束后，将答题卡收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）1．过点和的直线的斜率为1，则实数a的值为（）A.1B.2C.1或4 D.1或22．已知圆，圆，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A.相离 B.相交 C.外切D.内切3．平行线和的距离是（）A．B．C． D．4．设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α5．对于a∈R，直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（）A． B． C． D．6．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6B．4C．3D．27．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．eq\f(\r(3),24)πR3B．eq\f(\r(3),8)πR3C．eq\f(\r(5),25)πR3 D．eq\f(\r(5),8)πR38．已知满意约束条件，若的最大值为4，则（）A．3B．-3C．-2D．29．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（A．B．C．D．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2＋eq\r(5)B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5)D．511．在三棱锥中,,,则三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y0）满意|y0|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）填空题：本大题四小题，每小题5分，共20分。13．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的公共弦方程是_______________．14．在轴上与点和点等距离的点的坐标为______________．15．若满意约束条件，QUOTEQUOTEQUOTE则QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE的最大值为．16．已知直线l1：ax﹣y+1=0与l2：x+ay+1=0，给出如下结论：其中正确的结论有．①不论a为何值时，l1与l2都相互垂直；②当a改变时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④当a改变时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．三、解答题：本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（本题满分10分）在正方体中，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．18．（本小题满分12分）已知三角形的顶点坐标为，，，是边上的中点．（1）求边所在的直线方程；（2）求中线的长；（3）求边的高所在直线方程．19．（本小题满分12分）已知直线l1的方程为．（1）若直线l2与l1平行，且过点，求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．20．（本题满分12分）已知点M（3，1），圆O1：．（1）若直线与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；（2）求过点M的圆O1的切线方程．21．（本题满分12分）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，，点在侧棱上，且．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的大小．22．（本题满分12分）已知圆,直线．(1)若直线与圆O交于不同的两点A,B,当时，求的值；(2)若，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD切点为C、D，问：直线CD是否过定点?若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）若EF、GH为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形EGFH的面积S的最大值．答案一、选择题题号123456789101112答案ACBDABADDCCB解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，依据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．反过来，假如∠OMT≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y0|≥1）．把y0=1代入，求得A（），B（），∴，∴动点M运动的区域面积为2×（）=．二、填空题13．x＋3y＝014．(0，0，1)15．316．①②④16．【答案】①②④【解析】①a×1﹣1×a=0恒成立，l1与l2垂直恒成立，故①正确；②直线l1：ax﹣y+1=0，当a改变时，x=0，y=1恒成立，所以l1经过定点A（0，1）；l2：x+ay+1=0，当a改变时，y=0，x=﹣1恒成立，所以l2经过定点B（﹣1，0），故②正确③在l1上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（﹣ax﹣1，﹣x），代入l2：x+ay+1=0的左边，明显不为0，故③不正确；④联立直线l1：ax﹣y+1=0与l2：x+ay+1=0，消去参数a可得：x2+x+y2﹣y=0（x≠0，y≠0），∴当a改变时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点），故④正确．三、解答题17．解：（1）∵为正方体，∴，又平面，∵平面，则，又∵，∴平面（2）设的中点为，连接∵E、G分别是、BC的中点，则，∵，∴平面，同理平面。又∵，则平面平面，∵平面，∴平面18．解：（1）由两点式写方程得，即．（3）因为直线的斜率为，设边的高所在直线的斜率为，则有，∴，所以边上高所在直线方程为，即．解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96，即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．20．解：（1）依据题意，圆O1：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心为（1，2），半径r＝2，若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4＝0的距离d＝，又由圆心为（1，2），直线ax﹣y+4＝0，则有d＝，解得；（2）依据题意，分2种状况探讨：当切线斜率不存在时，其方程为x＝3，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1＝k（x﹣3），圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5＝0，所以过点M的圆的切线方程为x＝3或3x﹣4y﹣5＝0解：（1）设的中点为，连接。由已知，，底面，∵平面，∴，又∵，∴平面，∵平面，∴在边上找一点，连接，使。由已知，底面，∴底面，又由已知，则∵∽，且则，,