人教版高中数学选择性必修第二册 等比数列的前n项和公式(第1课时) 分层作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的前n项和公式(第1课时)分层作业(原卷版)(60分钟110分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)知识点1等比数列的前n项和1．(5分)已知数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于()A．10 B．210C．210－2 D．211－22．(5分)在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为()A．81 B．120C．168 D．1923．(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝eq\f(1,2)，a2a6＝8(a4－2)，则S2020＝()A．22019－eq\f(1,2) B．1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2019C．22020－eq\f(1,2) D．1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))20204．(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,9) D．－eq\f(1,9)5．(5分)在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A．(2n－1)2 B．eq\f(1,3)(2n－1)2C．4n－1 D．eq\f(1,3)(4n－1)知识点2等比数列前n项和的实际应用6．(5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．2盏 B．3盏C．5盏 D．6盏7．(5分)某人于2017年7月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2018年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率r不变，则到2022年7月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有()A．a(1＋r)4元B．a(1＋r)5元C．a(1＋r)6元D．eq\f(a,r)[(1＋r)6－(1＋r)]元8.(5分)为了庆祝元旦，某公司特意制作了一个热气球，在热气球上写着“喜迎新年”四个大字．已知热气球在第一分钟内能上升25m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的80%，则该气球________上升到125m高空．(填“能”或“不能”)知识点3错位相减法求和9．(5分)数列{an}的通项an＝n×2n，数列{an}的前n项和Sn为()A．n×2n＋1 B．n×2n＋1－2C．(n－1)×2n＋1＋2 D．n×2n＋1＋210.(5分)已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.eq\f(能力提升练,能力考点拓展提升)11.(5分)在等比数列{an}中，S3＝3a3，则其公比q的值为()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)12．(5分)(多选)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则()A．q＝2B．S9＝29－1C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为eq\f(31,16)D．6S3＝S913．(5分)在等比数列{an}中，a1＋ax＝82，a3ax－2＝81，且前x项和Sx＝121，则此数列的项数x等于()A．4 B．5C．6 D．714.(5分)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.15.(5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．16.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N＋.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．17.(12分)在等比数列{an}中，a5＝162，公比q＝3，前n项和Sn＝242，求首项a1和项数n.18.(13分)已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，方程ax2－3x＋2＝0的解x1＝1，x2＝b(b≠1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝an×2n，求数列{bn}的前n项和Tn.人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的前n项和公式(第1课时)分层作业(解析版)(60分钟110分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)知识点1等比数列的前n项和1．(5分)已知数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于()A．10 B．210C．210－2 D．211－2D解析：∵an＝2n，∴a1＝2，q＝2.∴S10＝eq\f(2×1－210,1－2)＝211－2.2．(5分)在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为()A．81 B．120C．168 D．192B解析：设{an}的公比为q，∵a2＝9，a5＝243，∴q3＝eq\f(a5,a2)＝27，∴q＝3.又∵a2＝a1q，∴a1＝3.∴S4＝eq\f(3×1－34,1－3)＝120.3．(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝eq\f(1,2)，a2a6＝8(a4－2)，则S2020＝()A．22019－eq\f(1,2) B．1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2019C．22020－eq\f(1,2) D．1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2020A解析：设{an}的公比为q，∵a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝8(a4－2)，∴aeq\o\al(2,4)－8a4＋16＝0.∴a4＝4.∴q3＝eq\f(a4,a1)＝8.∴q＝2.∴S2020＝eq\f(\f(1,2)×1－22020,1－2)＝22019－eq\f(1,2).4．(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,9) D．－eq\f(1,9)C解析：设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，,a1q4＝9，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝9a1，,a1q4＝9，))解得a1＝eq\f(1,9).故选C．5．(5分)在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A．(2n－1)2 B．eq\f(1,3)(2n－1)2C．4n－1 D．eq\f(1,3)(4n－1)D解析：由a1＋a2＋…＋an－1＋an＝2n－1，得a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1(n≥2)．∴an＝2n－1(n≥2)．又a1＝1，∴an＝2n－1，∴aeq\o\al(2,n)＝4n－1，∴{aeq\o\al(2,n)}是等比数列，首项为1，公比为4.∴aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(1×1－4n,1－4)＝eq\f(1,3)(4n－1)．知识点2等比数列前n项和的实际应用6．(5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．2盏 B．3盏C．5盏 D．6盏B解析：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，又由S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.故选B.7．(5分)某人于2017年7月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2018年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率r不变，则到2022年7月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有()A．a(1＋r)4元B．a(1＋r)5元C．a(1＋r)6元D．eq\f(a,r)[(1＋r)6－(1＋r)]元D解析：设2017年存入银行的存款为a1元，2018年存入银行的存款为a2元……则2022年存入银行的存款为a6元，那么2022年从银行取出的钱有(a6－a)元．所以a1＝a，a2＝a(1＋r)＋a，a3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a，…，a6＝a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a，所以a6－a＝a[(1＋r)＋(1＋r)2＋…＋(1＋r)5]＝eq\f(a,r)[(1＋r)6－(1＋r)].8.(5分)为了庆祝元旦，某公司特意制作了一个热气球，在热气球上写着“喜迎新年”四个大字．已知热气球在第一分钟内能上升25m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的80%，则该气球________上升到125m高空．(填“能”或“不能”)不能解析：设an表示热气球在第n分钟上升的高度．根据题意，有an＝eq\f(4,5)an－1(n≥2，n∈N*)．已知a1＝25，则{an}为等比数列，且公比q＝eq\f(4,5).热气球上升的总高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(a11－qn,1－q)＝125×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n))<125，即不能上升到125m高空．知识点3错位相减法求和9．(5分)数列{an}的通项an＝n×2n，数列{an}的前n项和Sn为()A．n×2n＋1 B．n×2n＋1－2C．(n－1)×2n＋1＋2 D．n×2n＋1＋2C解析：∵Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝eq\f(2×1－2n,1－2)－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1，∴Sn＝2＋(n－1)×2n＋1.10.(5分)已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.2－eq\f(n＋2,2n)解析：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,22)＋3×eq\f(1,23)＋…＋n×eq\f(1,2n)，①∴eq\f(1,2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,22)＋2×eq\f(1,23)＋3×eq\f(1,24)＋…＋n×eq\f(1,2n＋1).②由①－②得，eq\f(1,2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)＝1－eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝2－eq\f(n＋2,2n).eq\f(能力提升练,能力考点拓展提升)11.(5分)在等比数列{an}中，S3＝3a3，则其公比q的值为()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)C解析：∵S3＝3a3，∴q＝1时成立．当q≠1时，eq\f(a11－q3,1－q)＝3a1q2，∴q2＋q＋1＝3q2，解得q＝－eq\f(1,2).综上，q＝1或q＝－eq\f(1,2).12．(5分)(多选)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则()A．q＝2B．S9＝29－1C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为eq\f(31,16)D．6S3＝S9ABC解析：设{an}的公比为q，∵9S3＝S6，∴9×eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(a11－q6,1－q)，∴9＝1＋q3，∴q＝2.∴S9＝eq\f(1－29,1－2)＝29－1.故选项A，B正确．又6S3＝6×(23－1)≠S9，∴选项D不正确．∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列，首项eq\f(1,a1)＝1，公比eq\f(1,q)＝eq\f(1,2)，∴S′5＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).选项C正确．13．(5分)在等比数列{an}中，a1＋ax＝82，a3ax－2＝81，且前x项和Sx＝121，则此数列的项数x等于()A．4 B．5C．6 D．7B解析：设{an}的公比为q，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋ax＝82，,a3ax－2＝a1ax＝81，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,ax＝81))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝81，,ax＝1.))①当a1＝1，ax＝81时，∵Sx＝eq\f(a1－axq,1－q)＝eq\f(1－81q,1－q)＝121，∴q＝3.又∵ax＝1×qx－1＝3x－1＝81，∴x＝5.②当a1＝81，ax＝1时，∵Sx＝eq\f(81－q,1－q)＝121，∴q＝eq\f(1,3).又∵ax＝81×qx－1＝81×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－1＝1，∴x＝5.综上，x＝5.14.(5分)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.eq\f(32,3)(1－4－n)解析：设等比数列{an}的公比为q，由a5＝eq\f(1,4)＝a2q3＝2q3，解得q＝eq\f(1,2).又数列{anan＋1}仍是等比数列，其首项是a1a2＝8，公比为eq\f(1,4)，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)(1－4－n).15.(5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．－6解析：∵S3，S9，S6成等差数列，∴2S9＝S3＋S6.显然q≠1，∴2×eq\f(a11－q9,1－q)＝eq\f(a11－q3,1－q)＋eq\f(a11－q6,1－q).∴2q9－q6－q3＝0.∴q3＝－eq\f(1,2).∴a5＝eq\f(a8,q3)＝3×(－2)＝－6.16.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N＋.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－