2025年高考一轮复习-微专题1-三角函数的图象与性质【含解析】

微专题1三角函数的图象与性质【原卷版】1已知函数f(x)=(3sinx+acosx)cosx的图象关于点-π6,32对称,则下列结论正确的是 A.f(x)的最小正周期是πB.f(x)在2π3C.π3,0是函数f(D.先将f(x)图象上各点的横坐标缩短为原来的12,再将所得图象向左平移π12个单位长度,得到函数g(x)=3cos4x2筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水桶都沿逆时针方向做匀速圆周运动,筒车的中心O到水面的距离为1.5m,筒车的半径为2.5m,筒车每秒转动π12rad,如图所示,开始时盛水桶M在P0处,到水面的距离为3.5m,则9秒后盛水桶M到水面的距离约为(参考数据:2≈1.4) ()A.1.2m B.1.15mC.0.35m D.0.3m3(多选题)已知函数f(x)=sinπ2+2x+sinx,则 (A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于直线x=π2C.f(x)在区间-πD.若x∈-π6,a时,f(x)的最小值为0,4如图,某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛,其圆心为C且直径MN平行于坝面,坝面上的点A满足AC⊥MN,且AC的长度为3百米,为便于游客到小岛观光,打算从点A到小岛建三段栈道AB,BD与BE,水面上的点B在线段AC上,且BD,BE均与圆C相切,切点分别为D,E,其中栈道AB,BD,BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆形小岛上再修建栈道ME,DN以及MN,则需要修建的栈道总长度的最小值为百米.

微专题1三角函数的图象与性质【解析版】1已知函数f(x)=(3sinx+acosx)cosx的图象关于点-π6,32对称,则下列结论正确的是 (A.f(x)的最小正周期是πB.f(x)在2π3C.π3,0是函数f(D.先将f(x)图象上各点的横坐标缩短为原来的12,再将所得图象向左平移π12个单位长度,得到函数g(x)=3cos4x[解析]f(x)=(3sinx+acosx)cosx=32sin2x+a·1+cos2x2=32sin2x+a2cos因为f(x)的图象关于点-π6,32对称,所以f-π6+x+f-π6-x=3,故f-π3+f(0)=3,所以32sin-2π3+a2cos-2π3+a2+a=3,所以-34-a4+a2+a=3,解得a=3,所以f(x)=32sin2x+32cos2x+32=3sin2x+π3+32.函数f(x)的最小正周期是2π2=π,故A错误;当x∈2π3,4π3时,2x+π3∈5π3,3π,所以函数f(x)在2π3,4π3上先增后减,故B错误;因为当x=π3时,fπ3=32,所以π3,0不是函数f(x)图象的对称中心,故C错误;先将f(x)图象上各点的横坐标缩短为原来的12,可得y=32筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水桶都沿逆时针方向做匀速圆周运动,筒车的中心O到水面的距离为1.5m,筒车的半径为2.5m,筒车每秒转动π12rad,如图所示,开始时盛水桶M在P0处,到水面的距离为3.5m,则9秒后盛水桶M到水面的距离约为(参考数据:2≈1.4) (B)A.1.2m B.1.15mC.0.35m D.0.3m[解析]设θ为水平方向与OP0的夹角,则2.5sinθ+1.5=3.5,得sinθ=45,所以cosθ=35,则9秒后盛水桶M到水面的距离为2.5sinθ+9×π12+1.5=2.5sinθcos3π4+2.5cosθsin3π4+1.5=6-3(多选题)已知函数f(x)=sinπ2+2x+sinx,则 (BDA.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于直线x=π2C.f(x)在区间-πD.若x∈-π6,a时,f(x)的最小值为0,[解析]由题意,函数f(x)=sinπ2+2x+sinx=cos2x+sinx.对于选项A,因为f(x+π)=cos(2x+2π)+sin(x+π)=cos2x-sinx≠f(x),所以函数f(x)的最小正周期不是π,故选项A错误;对于选项B,因为fπ2+x=cos(π+2x)+sinπ2+x=-cos2x+cosx,fπ2-x=cos(π-2x)+sinπ2-x=-cos2x+cosx=fπ2+x,所以f(x)的图象关于直线x=π2对称,故选项B正确;对于选项C,因为f(x)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1=-2sinx-142+98,当x∈-π6,π3时,sinx∈-12,32,所以当sinx∈-12,14时,函数f(x)单调递增,当sinx∈14,32时,函数f(x)单调递减,由复合函数的单调性可知,函数f(x)在区间-π6,π3上先增后减,故选项C错误;对于选项D,由选项C可知,当sinx∈-12,14时,函数f(x)单调递增,当sinx∈14,1时,函数f(x)单调递减,当sinx=-12时,函数f(x)=-2×916+98=0,当sinx=14时,函数f(x)4如图,某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛,其圆心为C且直径MN平行于坝面,坝面上的点A满足AC⊥MN,且AC的长度为3百米,为便于游客到小岛观光,打算从点A到小岛建三段栈道AB,BD与BE,水面上的点B在线段AC上,且BD,BE均与圆C相切,切点分别为D,E,其中栈道AB,BD,BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆形小岛上再修建栈道ME,DN以及MN,则需要修建的栈道总长度的最小值为

2π3+5百米.

[解析]如图,连接CD,CE,由题意得CD=CE=1.由对称性,设∠CBE=∠CBD=θ,因为CD⊥BD,CE⊥BE,所以BE=BD=CDtanθ=1tanθ,BC=CDsinθ=1sinθ,易知∠MCE=∠NCD=θ,所以ME和ND的长均为θ.因为AC=3,所以AB=AC-BC=3-1sinθ∈(0,2),故sinθ∈13,