2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（2分）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣23．（2分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝154．（2分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（）A．32° B．58° C．64° D．116°5．（2分）底面半径为3，高为4的圆锥侧面积为（）A．15π B．20π C．25π D．30π6．（2分）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b﹣2a＝0；③3a+c＜0；④a﹣b＜an2+bn（n≠﹣1的实数）．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2分）心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（）A．8min B．13min C．20min D．25min二、填空题（本题共16分，每小题2分）.9．（2分）已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是．10．（2分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是．11．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S＝．12．（2分）抛物线y＝2x2﹣4x上三点分别为（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（用“＞”号连接）13．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为．14．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．15．（2分）如图，将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′．若AC＝2，则图中阴影部分的面积为．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，直线l：y＝ax，给出下列四个结论：①当a＝1时，直线l与⊙Q相离；②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则；③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则；④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC＝90°，则a的最大值为．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第18-23题，每小题6分，第17、24、25、26题，每小题6分，第27、28题，每小题6分）17．（6分）解下列方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）x2﹣5x﹣6＝0．18．（5分）如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将△ABC（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1．（1）在所给的图形中画出△A1B1C1；（2）以O、B、A、A1为顶点的四边形的面积为．19．（5分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点𝑃的⊙O的切线．小敏的作法如下：①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；③作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．根据小敏设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，∴∠OAP＝∠OBP＝°．（）（填推理的依据）∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB是⊙O的切线．（）（填推理的依据）20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）画出此函数的图象；（3）借助图象，判断若0＜x＜3，则y的取值范围是．22．（5分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO＝∠ABD；（2）若AE＝4cm，CE＝8cm，求弦BD的长．23．（5分）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．25．（6分）小朋在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x﹣3）2．下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有值（填“最大”或“最小”），这个值是；（2）进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：x01234…y02102…结合上表，画出当x≥0时，函数y＝|x|（x﹣3）2的图象；（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：若关于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为（结果保留小数点后一位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2m﹣6）x+1经过点（1，2m﹣4）．（1）求a的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD＝BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°（0＜n＜180）得线段PE．（1）如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；（2）当n＝135°时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为；（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．

2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（2分）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，但不是是轴对称图形，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考察了学生对中心对称图形和轴对称图形的性质认识．2．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2【分析】根据二次函数的性质进行解答．【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．3．（2分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1＝0，∴x2﹣8x＝1，∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．（2分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（）A．32° B．58° C．64° D．116°【分析】先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，故可得出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝58°，∴∠A＝90°﹣58°＝32°，∴∠BCD＝∠A＝32°．故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．5．（2分）底面半径为3，高为4的圆锥侧面积为（）A．15π B．20π C．25π D．30π【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴圆锥的母线长为＝5，则圆锥的底面周长为2×3×π＝6π，则该圆锥的侧面积为：×6π×5＝15π，故选：A．【点评】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l．6．（2分）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因为∠BCD＝α，所以∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，由三角形内角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．【解答】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，∵∠BCD＝α，∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝．∴∠E＝．∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．故选：C．【点评】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和∠ECF的角度是解题关键．7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b﹣2a＝0；③3a+c＜0；④a﹣b＜an2+bn（n≠﹣1的实数）．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据二次函数的对称性即可判断①；由对称轴是直线x＝﹣1可以判断②；根据图象上点的坐标特征即可判断③；根据二次函数的最值即可判断④．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＞0，故①正确；∵对称轴是直线x＝﹣1，则﹣＝﹣1，∴b＝2a．∴b﹣2a＝0，故②正确；∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，∴x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴a+2a+c＝3a+c＞0．故③错误．∵x＝﹣1时，函数有最小值，∴当n≠﹣1的实数时，a﹣b+c＜an2+bn+c．即a﹣b＜an2+bn，故④正确．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，抛物线于x轴的交点，二次函数的性质，解题时要注意数形结合．8．（2分）心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（）A．8min B．13min C．20min D．25min【分析】把点坐标：（0，43）、（20，55）、（30，31），代入函数s＝at2+bt+c，求出函数表达式，由a＝﹣，故函数有最大值，即：当t＝﹣＝13时，s有最大值．【解答】解：由题意得：函数过点（0，43）、（20，55）、（30，31），把以上三点坐标代入s＝at2+bt+c得：，解得：，则函数的表达式为：s＝﹣t2+t+43，∵a＝﹣，则函数有最大值，当t＝﹣＝13时，s有最大值，即学生接受能力最强，因此B正确；备注：本题为选择题，为此可用函数的对称性来解答，从图象看，函数的对称轴大概是在10到15之间的，所以答案是B，这样判断较为简便，可参考．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定已知点坐标，求出函数表达式，通常自变量在对称轴时，函数取得最值．二、填空题（本题共16分，每小题2分）.9．（2分）已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是﹣1．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，∴1+m+n＝0，∴m+n＝﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解．正确理解方程的解的含义是解答此类题目的关键．10．（2分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（﹣3，2）．【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∵向上平移2个单位，再向左平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律．11．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S＝．【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵n＝120°，R＝2，∴S＝＝．故答案为．【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝．12．（2分）抛物线y＝2x2﹣4x上三点分别为（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为y1＞y3＞y2（用“＞”号连接）【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，∵点A（﹣3，y1）到对称轴距离最远，点（0，y2）到对称轴的距离最近，∴y1＞y3＞y2．故答案为：y1＞y3＞y2．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性．13．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为6．【分析】先由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠A＝30°，再由垂径定理得CE＝DE＝CD＝3，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，CE＝DE＝CD＝3，∴AC＝2CE＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及由含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．14．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝4，b＝2．【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，得到a＝b2，找一组满足条件的数据即可．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，∴a＝b2，当b＝2时，a＝4，故b＝2，a＝4时满足条件．故答案为：4，2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．15．（2分）如图，将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′．若AC＝2，则图中阴影部分的面积为．【分析】如图所示，设B′C′与AB交于D，根据旋转的性质推出∠AC′D＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝2，∠CAC′＝15°，进而得到∠C′AD＝30°，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，则．【解答】解：如图所示，设B′C′与AB交于D，由题意得，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，由旋转的性质可得∠AC′D＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝2，∠CAC′＝15°，∴∠C′AD＝30°，∴AD＝2C′D，在Rt△AC′D中，由勾股定理得AD2＝AC′2+C′D2，∴4C′D2＝22+C′D2，∴，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确求出C′D的长是解题的关键．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，直线l：y＝ax，给出下列四个结论：①当a＝1时，直线l与⊙Q相离；②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则；③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则；④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC＝90°，则a的最大值为．其中所有正确结论的序号是①②③．【分析】①根据Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，当a＝1时，直线l：y＝x，根据直线和圆的关系进而可以判断；②直线l是⊙Q的一条对称轴，则直线l一定过圆心，所以将Q（5，2）代入y＝ax，即可进行判断；③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则直线l与圆Q相切，然后根据勾股定理进行计算即可判断；④如图，由题意可知，Y在以CZ为直径的圆上，若C取（4，2）时，于是得到CZ的中点为（，），此时，⊙P的半径为，设Y（x，ax），解方程得到求出a的值，即可判断．【解答】解：①∵点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，当a＝1时，直线l：y＝x，如图，直线l1与⊙Q相离，故①正确；②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则直线l一定过圆心，所以将Q（5，2）代入y＝ax，得a＝，故②正确；③若直线l与⊙P只有一个公共点T，则直线l与圆Q相切，如图中的l2，l3，则OQ＝＝，∵直线l2，l3与圆Q相切，∴QT⊥l2，QY⊥l3，∵⊙Q的半径为1，∴OY＝OT＝＝＝2，故③正确；④如图，由题意可知，Y在以CZ为直径的圆上，若C取（4，2）时，则CZ的中点为（，），此时，⊙P的半径为，设Y（x，ax），则YP2＝（x﹣）2+（ax﹣）2＝，化简得，（a2+1）x2﹣（5a+9）x+26＝0，相切时取最大值，∴△＝（5a+9）2﹣4（a2+1）×26＝0，解得a1＝（此时是下方的切线舍去），a2＝（此时是上方的切线，故为最大值），∵＞，∴不是最大值，故④错误．∴正确的结论序号是：①②③．故答案为：①②③．【点评】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系．三、解答题（本题共68分，第18-23题，每小题6分，第17、24、25、26题，每小题6分，第27、28题，每小题6分）17．（6分）解下列方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）x2﹣5x﹣6＝0．【分析】（1）根据一元二次方程的性质，通过移项、直接开平方计算，即可得到答案；（2）通过配方法求解一元二次方程，即可得到答案．【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，∴x2﹣4＝0，移项得：x2＝4，∴x＝±2；∴x1＝2，x2＝﹣2；（2）x2﹣5x﹣6＝0，∴（x+1）（x﹣6）＝0，∴x+1＝0，x﹣6＝0，∴x1＝﹣1，x2＝6．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．18．（5分）如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将△ABC（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1．（1）在所给的图形中画出△A1B1C1；（2）以O、B、A、A1为顶点的四边形的面积为22．【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．（2）利用割补法求四边形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）∵OA＝OA1＝＝，∠AOA1＝90°，∴＝＝，∵S△AOB＝＝，∴四边形OBAA1的面积为+S△AOB＝＝22．故答案为：22．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、四边形的面积、勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及勾股定理是解答本题的关键．19．（5分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点𝑃的⊙O的切线．小敏的作法如下：①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；③作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．根据小敏设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，∴∠OAP＝∠OBP＝90°．（直径所对的圆周角为直角）（填推理的依据）∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据圆周角定理的推论，由OP为直径得到∠OAP＝∠OBP＝90°，则PA⊥OA，PB⊥OB，然后根据切线的判定定理得到直线PA，PB是⊙O的切线．【解答】解：（1）如图，PA、PB为所作；（2）由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，（直径所对的圆周角为直角）∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线）故答案为90，直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝m2+6m+9﹣4m﹣8＝（m+1）2．∵（m+1）2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥﹣1．∴m的最小值为﹣1．【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）画出此函数的图象；（3）借助图象，判断若0＜x＜3，则y的取值范围是0＜y≤4．【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，然后用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．∴c＝3，﹣＝＝1，∴b＝2，∵二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣x2+2x+3＝﹣x2+2x﹣1+4＝﹣（x﹣1）2+4；（2）画出函数图象如图：；（3）由图象可知，若0＜x＜3，则y的取值范围是0＜y≤4，故答案为0＜y≤4．【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键．22．（5分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO＝∠ABD；（2）若AE＝4cm，CE＝8cm，求弦BD的长．【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后利用∠C＝∠CBO得到∠CBO＝∠ABE；（2）先根据垂径定理得到BE＝DE，再计算出OB＝10cm，OE＝6cm，则利用勾股定理可计算出BE，从而得到BD的长．【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠CBD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠BEC＝90°，∴∠C+∠CBD＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO，∴∠CBO＝∠ABE；（2）解：∵AC⊥BD，∴BE＝DE，∵AE＝4cm，CE＝8cm，∴AC＝12cm，∴OB＝6cm，OE＝2cm，在Rt△OBE中，BE＝＝4（cm），∴BD＝2BE＝8（cm）．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．23．（5分）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式，然后令y＝0，即可求得CD的长度．【解答】解：以DC所在直线为x轴，过点A作DC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，2），B（4，4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），∵A（0，2）在抛物线上，∴2＝a（0﹣4）2+4，解得，a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣4）2+4，将y＝0代入，得﹣（x﹣4）2+4＝0解得，x1＝4﹣4（舍去），x2＝4+4，∴DC＝4+4，答：该同学把实心球扔出（4+4）米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，CD＝2，所以BD＝CD＝2，可求得AD＝BD•tan30°＝2，再证明△AOD是等边三角形，则OD＝AD＝2，而∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，根据弧长公式求出的长即可．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC于点E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，CD＝2，∴BD＝CD＝2，∵∠B＝∠C＝30°，∴AD＝BD•tan30°＝2×＝2，∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝AD＝2，∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴＝＝，∴的长是．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．25．（6分）小朋在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x﹣3）2．下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有最小值（填“最大”或“最小”），这个值是0；（2）进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：x01234…y02102…结合上表，画出当x≥0时，函数y＝|x|（x﹣3）2的图象；（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：若关于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为4.2（结果保留小数点后一位）．【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性可得结论；（2）描点，连线可得；（3）先把x＝2代入方程，求出k的值，再根据图象解方程即可．【解答】解：（1）∵|x|≥0，（x﹣3）2≥0，∴y＝|x|（x﹣3）2≥0．∴y＝|x|（x﹣3）2有最小值，且最小值为0；故答案为：最小值；0．（2）在坐标系中线先描点，再划线，如图所示：（3）把x＝2代入|x|（x﹣3）2＝kx﹣1中，有×|2|×（2﹣3）2＝2k﹣1，解得k＝1，在图中画出函数y＝x﹣1，如图所示：从图象可看，其他的实数根约为4.2．故答案为：4.2．【点评】本题考查函数的综合应用，涉及数形结合思想等知识．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2m﹣6）x+1经过点（1，2m﹣4）．（1）求a的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．【分析】（1）代入点（1，2m﹣4）即可求解；（2）利用对称轴公式即可求解；（3）利用二次函数的性质即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）由题意得：a+（2m﹣6）+1＝2m﹣4，解得：a＝1；（2）∵a＝1，∴y＝x2+（2m﹣6）x+1，∴抛物线的对称轴为：直线x＝＝3﹣m；（3）当m＞0时，可知点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）从左至右分布，∵y2＜y3≤y1，∴，解得1＜m≤2；当m＜0时，∴m＜﹣m＜﹣m+3，∴y2≥y1，不合题意，综上，m的取值范围是1＜m≤2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝