2.3 等腰三角形的性质定理（1）浙教版数学八年级上册学案

2.3等腰三角形的性质定理（1）课题等腰三角形的性质定理（1）单元第二章学科数学年级八年级学习目标1.了解等腰三角形的有关概念；

2.掌握等腰三角形的性质定理；

3.能运用等腰三角形的性质定理进行简单的计算和证明重点掌握和应用等腰三角形的性质。难点1.等腰三角形性质的符号表示；2.能灵活运用等腰三角形的性质学法探究法教法讲授法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图回忆旧知等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形的对称轴是：顶角平分线所在的直线是它的对称轴等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。回忆听课回忆上节课所学，进入学习状态做一做任意画一个等腰三角形，通过折叠、测量等方式，探索它的内角之间有什么关系。你发现了什么？∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.动手操作让学生通过自己动手得出结论讲授新知等腰三角形性质定理1等腰三角形的两个底角相等可以说成“在同一个三角形中,等边对等角”你能证明上面的结论吗？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C证明：如图，作△ABC的角平分线AD。在△ABD和△ACD，∵AB=AC（已知）∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）你能根据等腰三角形的轴对称性证明上述定理吗？证明：等腰三角形的对称轴为顶角的角平分线，根据轴对称图形的定义，对称轴两边的图形可以完全重合，所以∠B=∠C听课讲解等腰三角形的性质定理1即时演练⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为__________（75°,30°）⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为______________（70°,40°或55°,55°）⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___（35°,35°）结论:在等腰三角形中,①顶角+2×底角=180°②顶角=180°－2×底角③底角=（180°－顶角）÷2④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°做练习及时巩固所学例题讲解例1.求等边三角形ABC三个内角的度数.解：如图，在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）同理，∠A=∠B∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=×180°=60°由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：等边三角形的各个内角都等于60°听课思考讲解例题，明白题型即时演练如图，等边△ABC中，D为AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，求证：DB=DE。证明：∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点

∴∠ACB=60°

∠CBD=∠ABC=30°∵CE=CD

∴∠E=∠CDE

又∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°

∴∠E=30°∴∠CBD=∠E

∴DB=DE做练习及时巩固所学例题讲解例2：求证：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的两条角平分线。求证：BD=CE.证明：如图∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）∵BD,CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB（角平分线的定义）∴∠CBD=∠BCE又∵BC=CB（公共边）∴△BCE≌△CBD（ASA）∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）听课思考讲解例题，明白题型即时演练已知：如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE﹣DB=EC．证明：∵BP平分∠ABC，∴∠DBP=∠CBP．∴DE∥BC，∴∠CBP=∠DPB．∴∠DPB=∠DBP．即DP=DB．同理可得PE=CE．∴DE=BD+CE，即DE﹣DB=EC．做练习及时巩固所学达标测评1.如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②∠BAD-∠C=∠DAE；③∠DAE=∠C；④AC=2BD，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵∠ABC=2∠C，∴∠2=∠C，∴BE=CE，∵AC-CE=AE，∴AC-BE=AE，故①正确；延长AD交BC与F，∵AD⊥BE，∴∠ADB=∠FDB=90°，∵在△ABD和△FBD中，∠ADB=∠FDB=90°BD=BD∠1=∠2∴△ABD≌△FBD（ASA），∴∠BAD=∠AFB，在△ACF中，∠DAE=∠AFB-∠C，∴∠BAD-∠C=∠DAE，故②正确；在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠1=90°-∠C，∴90°-∠C-∠C=∠DAE，∴∠DAE=90°-2∠C，故③错误；取CF的中点G，连接DG，则DG是△ACF的中位线，∴DG∥AC，AC=2DG，∴∠C=∠3，∴∠2=∠3，∴BD=DG，∴AC=2BD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②④．故选C．2.已知：如图，AB=AC，DB=DC，问：AD与BC有什么关系？猜想：AD垂直平分BC证明:∵AB=AC,BD=CD,AD=DA∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD∴AD垂直平分BC3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，则∠DCE的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定【解析】设∠ACE=x度，∠ECD=y度，∠DCB=z度，∵BC=BE，∴∠CED=∠ECB=（y+z）度，又AC=AD，∠ADC=∠ACD=（x+y）度，在△CDB中，∠B=x+y-z；在△ACE中，∠A=y+z-x；在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，即x+y-z+y+z-x=90°，∴2y=90°，解得y=45度．于是∠DCE=45°．4.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个①∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，∴△AOB为等腰三角形；③△AOC为等腰三角形；④△BOC为等腰三角形；⑤∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，∵∠B=∠C，∴∠ODE=∠OED，∴△DOE为等腰三角形；⑥∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，∴△BOD为等腰三角形；⑦△COE为等腰三角形．故选C5.在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE=CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；

②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．①证明：∵EF∥AD，∴∠1=∠4，∠2=∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠4=∠P，∴AF=AP，即△APF是等腰三角形；②AB=PC．理由如下：证明：∵CH∥AB，∴∠5=∠B，∠H=∠1，∵EF∥AD，∴∠1=∠3，∴∠H=∠3，在△BEF和△CDH中，∵∠5=∠B∠H=∠3BE=CD，∴△BEF≌△CDH（AAS），∴BF=CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠H，∴AC=CH，∴AC=BF，∵AB=AF+BF，PC=AP+AC，∴AB=PC．做题通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识应用拓展在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）个A．1B．4C．7D．10【解析】（1）点P在三角形内部时，点P是边AB.BC.CA的垂直平分线的交点，是三