2023年普通高中高考数学三诊试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023年普通高中高考数学三诊试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在复平面上，复数对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，则下列关系正确的是(

)A.A=B B.A⊆B C.B⊆A D.A∩B=⌀3.从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的第三四分位数为(

)A.3 B.3+x2 C.8 D.4.二项式(a+b)n(n∈N∗)展开式的第rA. B. C. D.5.将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位得到函数g(x)的图象，则“φ=3π8”是“函数A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知a是单位向量，向量满足b−a与a成角60°，则|b|的取值范围是A.(12,+∞) B.(337.已知直线y=ax−a与曲线y=x+ax相切，则实数a=(

)A.0 B.12 C.45 8.已知n棱柱(n∈N∗,n≥3)的所有顶点都在半径为1的球面上，则当该棱柱的体积最大时，其上下底面之间的距离为A.63 B.255 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是(

)A.a，b，γ

B.α，β，γ

C.a，β，γ

D.α，β，b10.对于数列{an}，若a1=1，A.a4=3 B.数列{an}是等差数列

C.数列11.已知函数f(x)=cosx+sin2x，则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)的最小正周期是π B.∃x0∈R，使

C.在[0,2π]内f(x)有4个零点 D.函数12.函数f(x)是定义在R上不恒为零的可导函数，对任意的x，y∈R均满足：，f(1)=2，则(

)A.f(0)=0 B.f(2)=8

C.f′(1)=4 D.三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）13.已知随机变量X～N(6,σ2)，若，则P(X>4)=______．14.已知x，y>0，且2x−y=1，则x+1y的最小值为______．四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题5.0分)

过直线x+y+1=0上任一点P作直线PA，PB与圆x2+y2−2x=0相切，A，B为切点，则16.(本小题5.0分)

已知F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为______．17.(本小题10.0分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)18.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求a2+c2b2；

(2)若cosB=19.(本小题12.0分)

如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为3的等边三角形，球心O到底面的距离为1．

(1)求球O的表面积；

(2)求二面角B−AC−D的余弦值．20.(本小题12.0分)

投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼.投壶的横截面是三个圆形，投掷者站在距离投壶一定距离的远处将箭羽投向三个圆形的壶口，若箭羽投进三个圆形壶口之一就算投中.为弘扬中华传统文化，某次文化活动进行了投壶比赛，比赛规定投进中间较大圆形壶口得3分，投进左右两个小圆形壶口得1分，没有投进壶口不得分.甲乙两人进行投壶比赛，比赛分为若干轮，每轮每人投一支箭羽，最后将各轮所得分数相加即为该人的比赛得分，比赛得分高的人获胜.已知甲每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为13，投进入左右两个小壶口的概率都是16，乙每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为14，投进入左右两个小壶口的概率分别是15和16，甲乙两人每轮是否投中相互独立，且两人各轮之间是否投中也互相独立.若在最后一轮比赛前，甲的总分落后乙1分，设甲最后一轮比赛的得分为X，乙最后一轮比赛的得分为Y．

(1)求甲最后一轮结束后赢得比赛的概率；

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，左顶点为D，△ABD是面积为3的正三角形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C外一点M(m,0)的直线交椭圆C于P，Q两点，已知点P与点P′关于x轴对称，点Q与点Q′关于x轴对称，直线PQ′22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=kx，g(x)=klnx，．

(1)求曲线y=f(x)−g(x)在x=1处的切线方程；

(2)求使得f(x)≥ℎ(x)≥g(x)在x∈(0,+∞)上恒成立的k的最小整数值．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：，

则复数对应的点(−3,−4)在第三象限．

故选：C．

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．

2.【答案】B

【解析】解：A={1}，，∴A⊆B．

故选：B．

直接求出集合A，B，从而看出它们之间的关系．

本题考查集合间的基本关系，属容易题．

3.【答案】D

【解析】解：∵12×75%=9，

∴该组数据的第三四分位数为．

故选：D．

由百分位数的估计方法直接求解即可．

本题考查总体百分位数的应用，属于基础题．

4.【答案】B

【解析】解：因为(a+b)n展开式的通项公式为Tr+1=Cnran−rbr，

则第r项系数为，

第r+1项系数为，

所以．

故选：B．

根据二项式(a+b5.【答案】A

【解析】解：将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位得到函数的图象，

当φ=3π8时，g(x)=2sin(2x−π2)=−2cos2x，函数g(x)为偶函数，故充分性成立．

当函数为偶函数时，−2φ+π4=kπ+π2，k∈Z，

即，k∈Z，不能推出φ=3π8，故必要性不成立．

综上，“φ=6.【答案】C

【解析】解：作OA=a,OB=b，则AB=b−a，如图，

，

，b−a与a成角60°，且b≠a，∴B点在射线AB上，

，

∴|b|的取值范围为：(1,+∞)．

故选：C．

可作7.【答案】C

【解析】解：设切点为，

由y=x+ax，得y′=1−ax2，

，解得．

∴a的值为45．

故选：C．

设切点坐标，求出函数y=x+a8.【答案】C

【解析】解：由选项可知，棱柱上下底面之间的距离与棱数无关，只与棱柱外接球的半径有关，为具体值．

故不妨以正三棱柱为例：

设正三棱柱的底面边长为a，则底面中心O到A的距离为．

∴棱柱的高．

∴正三棱柱的体积

．

当且仅当，即a=2时取等号．

此时．

故选：C．

由题设可取特例，不妨取球内接正三棱柱，设三棱柱的底面边长为a，用a表示三棱柱的底面边长和高，得出三棱柱的体积关于a的函数，再由基本不等式求最值，则答案可求．

本题考查球及其内接多面体体积的应用，取特例是关键，是中档题．

9.【答案】ACD

【解析】解：对于A项，由余弦定理可知，可求得c，即A正确；

对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故错误；

对于C项，由正弦定理可知，即C正确；

对于D项，同上由正弦定理得，即D正确；

故选：ACD．

由正、余弦定理即可判定．

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．

10.【答案】ACD

【解析】解：对于数列{an}，已知a1=1，，①

则an+1+an+2=2(n+1)，②

由②−①可得：an+2−an=2，

又a2=2−a1=1，

即数列{a2n−1}是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a2n}是以1为首项，2为公差的等差数列，

则a2n−1=1+2(n−1)=2n−1，，

对于选项A，，即选项A正确；

对于选项B，a1=a2=1，a3=3，，∴数列{an}不是等差数列，即选项B错误；

对于选项C，数列{a2n−1}是以1为首项，2为公差的等差数列，即选项11.【答案】BCD

【解析】解：根据题意，因为，

由此分析选项：

对于A，因为，f(x)的最小正周期不是π，故A错误；

对于B，，，则有f(π6)>f(π4)，B正确；

对于C，若f(x)=0，则，即cosx=0或sinx=−12，

在[0,2π]上，f(x)的零点有π2、3π2、7π6、11π6，共4个，C正确；

对于D，函数f(x)=cosx+sin2x，则，

则函数f(x)的图象关于点(π2,0)对称，D正确．12.【答案】ABD

【解析】解：令y=1，得，代入f(1)=2，得，

当x为正整数时，，

所以，

所以，

所以，又当x=1时，也符合题意，

所以，

当x不为正整数时，经验证f(x)=x⋅2x也满足，

故x为任意实数时，都有f(x)=x⋅2x，

所以f(0)=0，故A正确；f(2)=8，故B正确；

所以f′(x)=2x+x⋅2xln2，，故C不正确；

所以，

令，

则，

所以，

所以Sn=(n−1)×2n+1+2，故D正确．

故选：ABD．

先得到，再假设x为正整数，利用累乘法求出f(x)的解析式，再验证x不为正整数时，f(x)也符合题意，利用f(x)的解析式容易判断ABC，根据错位相减法求和可判断D13.【答案】0.728

【解析】解：∵随机变量X～N(6,σ2)，

∴曲线关于x=6对称，，

．

故答案为：0.728．

根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．

本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：∵x，y>0，且2x−y=1，

∴x=y2+12，y>0，

∴x+1y=y2+1y+15.【答案】2【解析】解：

由已知可得，圆心C(1,0)，半径r=1.因为PA，PB为切线，

所以∠PAC=∠PBC=π2，所以P，B，C，A四点共圆，PC过圆心，所以，AB是圆C与圆D的公共弦，

所以AB⊥PC，且|PA|=|PC|2−r2=|PC|2−1，

又，所以，

显然，当|PC|增大时，|AB|也增大，

所以，当|PC|最小时，|AB|有最小值．当PC⊥l时，|PC|最小，，

此时|AB|=21−12=2．

故答案为：2．

求出圆x2+y2−2x=016.【答案】(0,【解析】解：

设∠PF2F1=θ，则，，

由正弦定理可得，，

所以，，

根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，所以，

，

因为，所以，设，则t∈(22,32)，

则函数上单调递增，

又，，

所以，，即．

故答案为：(0,33).

设，可得，，然后根据正弦定理可求出，，根据椭圆的定义可推得，化简整理得，求出，令t=cosθ，构造函数f(t)=2t−1t，根据函数的单调性，即可得出答案．

本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．17.【答案】解：(1)当n≥2时，由Sn+1=2Sn+1，得Sn=2Sn−1+1，

两式相减得an+1=2an，

由a1=1，，得a2=2=2a1，

故{an}是以1【解析】(1)当n≥2时，由Sn+1=2Sn+1，得Sn=2Sn−1+1，两式相减得an+118.【答案】解：(1)因为，

所以，所以，

即，

由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

所以，

即a2+c2=3b2，

所以；

(2)由题意可知cosB=a2+c2−b22ac=23，又a2+c2=3b2，可得a2+c2−2ac=0，

所以a=c，即【解析】(1)将切化弦，再由差角公式得到，利用正弦、余弦定理将角化边，即可得证；

(2)由余弦定理及(1)的结论得到a=c，即可得到三角形为等腰三角形，利用二倍角公式求出cosB2，再由诱导公式计算可得．

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)底面△BCD外接圆的半径，

∵球心O到底面的距离为1，∴球半径R=12+12=2，

∴球O的表面积为4πR2=8π．

(2)∵AB为球的直径，∴BC⊥AC，BD⊥AD，

取AC的中点E，连接OE，则OE/​/BC，则⊥AC，

，AB=22，，

在等腰三角形ADC中，过E作EF⊥AC，交AD于F，连接OF，

则∠OEF是二面角B−AC−D的平面角，

，

在△ACD中，，，

，，

，

在△BAD中，，

在△OAF中，，

在△OEF中，，

∴二面角B−AC−D的余弦值为85【解析】(1)由正弦定理求出底面△BCD外接圆的半径，再根据勾股定理求出球的半径，然后用球的表面积公式可求出结果．

(2)取AC的中点E，连接OE，过E作EF⊥AC，交AD于F，连接OF，则∠OEF是二面角B−AC−D的平面角，解三角形可得结果．

本题考查球的表面积、二面角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.【答案】解：(1)设甲一轮的得分为ξ，

则，，；

设乙一轮的得分为η，

则，，；

则甲最后一轮反败为胜的概率．

(2)由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

的数学期望．

【解析】(1)分别计算出甲、乙每轮得分可能取值对应的概率，根据最后一轮甲反败为胜可知，结合独立事件概率乘法公式可求得结果；

(2)确定所有可能的取值后，可结合独立事件概率乘法公式可计算得到每个取值对应的概率，根据数学期望计算公式可求得结果．

本题考查离散型随机变量的期望，是中档题．

21.【答案】解：∵△ABD是面积为3的正三角形，，解得：a=3b=1，

∴椭圆C的方程为：x23+y2=1；

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P′(x1,−y1)，Q′(x2,−y2)，

直线P′O方程为：y−y2=y2−y1x2−x1(x−x2)，即；

由对称性可知：点K