1.1.2菱形的判定课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定

由菱形的定义判定菱形1.如图，要使平行四边形

ABCD

变为菱形，需要添加的条件是(

C

)A.

AB

＝

CD

B.

AB

＝

AC

C.

AB

＝

BC

D.

AC

＝

BD

【解析】根据一组邻边相等的平行四边形为菱形，可知添加

AB

＝

BC

能判定平行四边形

ABCD

是菱形.C123456789101112思路点拨

由菱形的边、对角线判定菱形2.下列条件能判定四边形是菱形的是(

C

)A.对角线相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形C.对角线互相垂直平分的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形

此题考查了菱形的判定，菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行

四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边

形是菱形(或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).C1234567891011123.如图所示，已知△

ABC

，

AB

＝

AC

，将△

ABC

沿边

BC

翻折，得到

的△

DBC

与原△

ABC

拼成四边形

ABDC

，则能直接判定四边形

ABDC

是菱形的依据是(

B

)A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形B【解析】∵

AB

＝

AC

，∴将△

ABC

沿

BC

边翻折可得

AB

＝

BD

＝

CD

＝

AC

.

∴根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形

ABDC

是菱形.1234567891011124.(2023·沧州期末)依据所标数据(度数为所在角的度数，数字为所在边

的长度)，下列平行四边形不一定是菱形的是(

A

)A123456789101112【解析】A.

平行四边形的一个角为60°，不能确定边的长度，不一定

是菱形，该选项符合题意；B.

∵32＋42＝52，∴此图形的对角线相互垂直.由“对角线互相垂直的平

行四边形是菱形”可知该平行四边形是菱形，故该选项不符合题意；C.

∵平行四边形对边平行，又∵邻边相等，∴平行四边形的四边相

等，一定是菱形，故该选项不符合题意；D.

由题图可知平行边四形的邻边相等，∴平行四边形的四边相等，一

定是菱形，故该选项不符合题意.1234567891011125.【教材第6页做一做改编】小颖将一张长方形纸通过以下方式进行两

次对折和一次裁剪，在沿虚线

AC

进行裁剪时，

AB

＝4cm，

BC

＝3cm，

随后将剪下的△

ABC

展开，得到的图形的周长为(

C

)A.12cmB.16cmC.20cmD.24cmC123456789101112

1234567891011126.(2023·廊坊第四中学期中)如图，在四边形

ABCD

中，

E

，

F

，

G

，

H

分别是边

AB

，

BC

，

CD

，

DA

的中点.要使四边形

EFGH

为菱形，可以

添加的一个条件是(

C

)A.四边形

ABCD

是菱形B.

AC

，

BD

互相平分C.

AC

＝

BD

D.

AC

⊥

BD

C123456789101112

1234567891011127.如图，在四边形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，

CB

＝

CD

.

(1)求证：

AC

平分∠

BAD

；

123456789101112(2)若

AB

∥

CD

，求证：四边形

ABCD

是菱形.证明：(2)∵

AB

∥

CD

，∴∠

BAC

＝∠

DCA

.

∵∠

BAC

＝∠

DAC

，∴∠

DAC

＝∠

DCA

.

∴

DA

＝

DC

.

∵

AB

＝

AD

，

CB

＝

CD

，∴

AB

＝

BC

＝

CD

＝

DA

.

∴四边形

ABCD

是菱形.123456789101112

8.(2023·石家庄模拟预测)观察下面的尺规作图痕迹，在平行四边形的基

础上能成功作出菱形的是(

B

)A.①②③B.①②C.①③D.②③B123456789101112【解析】如图1，根据尺规作图可知

AD

＝

AB

＝

DC

，∵由题可知

AB

∥

DC

，∴四边形

ABCD

是平行四边形.又∵

AB

＝

AD

，∴四边形

ABCD

是菱形，故①符合要求；如图2，根据尺规作图可知

BD

垂直平分线段

AC

，∴

AD

＝

DC

，

AB

＝

BC

.

∴∠

CAD

＝∠

DCA

.

123456789101112由题可知

AB

∥

DC

，∴∠

CAB

＝∠

DCA

.

∴∠

CAB

＝∠

CAD

.

∵

AC

⊥

BD

，∴∠

AED

＝∠

AEB

＝90°.又∵

AE

＝

AE

.

∴△

AED

≌△

AEB

(ASA).∴

DA

＝

AB

.

123456789101112同理可得

DC

＝

CB

，∴

AD

＝

DC

＝

CB

＝

AB

.

∴四边形

ABCD

是菱形，故②符合要求；如图3，根据尺规作图可知

AD

＝

DC

，利用现有条件无法证明

AD

＝

DC

＝

CB

＝

AB

，即无法证明出四边形

ABCD

是菱形，故③不符合要求.1234567891011129.

已知将△

ABC

沿

AD

折叠，点

B

的对应点B'落在边

AC

上(如

图1)，再将∠

CAD

沿

EF

折叠，点

A

的对应点为A'(如图2)，再沿A'E所

在的直线剪下，则△A'EF展开后的形状为(

C

)A.等腰三角形B.直角三角形C.菱形D.长方形C123456789101112【解析】△A'EF展开后如图所示，由折叠可得∠

AFE

＝∠A'FE＝90°，

AF

＝A'F，

EF

＝E'F，∴AA'与EE'互相平分.∴四边形AEA'E为平行四边形.又∵AA'⊥EE'，∴四边形AEA'E'是菱形.12345678910111210.如图，已知在△

ABC

中，

D

是

BC

边上一点，过点

D

分别作

DE

∥

AC

交

AB

于点

E

，作

DF

∥

AB

交

AC

于点

F

，连接

AD

.

有下列条件：①

D

是

BC

边的中点；②

AD

是△

ABC

的角平分线；③点

E

与点

F

关于直线

AD

对称.123456789101112请从中选择一个能证明四边形

AEDF

是菱形的条件，并写出证明过程.解：(答案不唯一)选择条件②.证明：∵

AD

是△

ABC

的角平分线，∴∠

EAD

＝∠

FAD

.

∵

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

，∴四边形

AFDE

是平行四边形，∠

EAD

＝∠

FDA

，∴∠

FDA

＝∠

FAD

.

∴

AF

＝

DF

.

∴四边形

AFDE

是菱形.123456789101112

11.

如图，在四边形

ABCD

中，对角线

AC

，

BD

交于点

O

，

AC

⊥

BD

，

OB

＝

OD

.

求证：四边形

ABCD

是菱形.小王同学写了以下证明：第一行：∵

AC

⊥

BD

，

OB

＝

OD

，第二行：∴

AC

垂直平分

BD

.

第三行：∴

AB

＝

AD

，

CB

＝

CD

，第四行：∴四边形

ABCD

是菱形.对于这个题目及证明，有以下结论：123456789101112①推理严谨，证明正确；②证明时，第三行出错；③证明时，第四行出错；④题目缺少条件，需要拓展资料条件才能证明.其

中，正确的结论是(填序号).【解析】∵

AC

⊥

BD

，

OB

＝

OD

，∴

AC

垂直平分

BD

.

∴

AB

＝

AD

，

CB

＝

CD

.

由题目条件无法证明四边形

ABCD

是菱形，∴③④正确.③④

12345678910111212.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

DAC

是△

ABC

的一个

外角，小明根据要求进行尺规作图，请你依据小明的作图痕迹回答下列

各题.(1)填空：由作图可知，射线

是

⁠的

角平分线；直线

是

⁠的垂直平分线；AM

(或

AF

)

∠

DAC

EF

AC

123456789101112解：四边形

AECF

是菱形.(2)判断四边形

AECF

的形状，并说明理由.理由：∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

ACB

.

∵射线

AM

是∠

DAC

的平分线，∴∠

DAM

＝∠

MAC

.

∵∠

DAC

＝∠

B

＋∠

ACB

＝∠

DAM

＋∠

MAC

，∴∠

MAC

＝∠

A