2024年高考数学专项复习：排列组合之两个计数原理（解析版）

2024年高考数学专项复习排列组合专题01两个计

数原理（解析版）

专题1两个计数原理

类型一、加法原理

【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选

取代表的方法有几种.

【例2】若°、b是正整数，且O+6W6,则以（a,6）为坐标的点共有多少个？

【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A.324B.328C.360D.648

【例4】用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A.8B.24C.48D.120

【例5】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成____个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.

类型二、乘法原理

【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有种不同的走法.

【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有.

【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求

甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种.

【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调

查团，问选取代表的方法有几种.

【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？

【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？

【例12】用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且

1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.

22

【例13］从集合｛1,2,3,…，11｝中任选两个元素作为椭圆方程三+==1中的"和〃，则能组成落在矩形

mn

区域3=｛（x,y）||x|＜ll,且|川＜9｝内的椭圆个数为（）

A.43B.72C.86D.90

【例14］若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函

数解析式为＞=一/,值域为｛—1,—9｝的“同族函数”共有（）

A.7个B.8个C.9个D.10个

【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数

字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0,并且千位、百位上都能取0.这样设

计出来的密码共有（）

A.90个B.99个C.100个D.112个

【例16】从集合｛—4,-3,—2,—1,0,1,2,3,4,5｝中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个

1

数之和不等于1,则取出这样的子集的个数为（）

A.10B.32C.110D.220

【例17］若x、y是整数，且|x|W6,|x|W6,则以（x,切为坐标的不同的点共有多少个？

【例18】用0,1,2,3,4,5这6个数字：

⑴可以组成个数字不重复的三位数.

⑵可以组成个数字允许重复的三位数.

【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？

【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种.

A.5B.6C.7D.8

类型三、基本计数原理的综合应用

【例21】用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数

的个数是.（用数字作答）

【例22］若自然数"使得作竖式加法〃+（〃+1）+（〃+2）均不产生进位现象.则称〃为“可连数”.例如：32

是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象.那么，小

于1000的“可连数”的个数为（）

A.27B.36C.39D.48

【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？

【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和.

【例25】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成个大于3000,小于5421的数字不重复的

四位数.

【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到

“9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，

则这组号码中“优惠卡”的个数为（）

A.2000B.4096C.5904D.8320

【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡

不同的分配方式有（）

A.62.9种C.11种D.23种

【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目

插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）

A.504B.210C.336D.120

【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成

一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）

A.15种B.12种C.9种D.6种

【例30】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A.324B.328C.360D.648

【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得

19分的情况有（)

A.3种B.4种C.5种D.6种

3

专题1两个计数原理

类型一、加法原理

【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选

取代表的方法有几种.

【解析】18+38=56.

【例2】若°、b是正整数，且O+6W6,则以（a,6）为坐标的点共有多少个？

【解析】6义6=36.

【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A.324B.328C.360D.648

【解析】由题意知本题要分类来解，

当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，

因百位不能为0,所以百位有8种，十位有8种，共有884=256

当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，

共有981=72

根据分类计数原理知共有256+72=328

故选：B.

【例4】用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A.8B.24C.48D.120

【解析】由题意知本题需要分步计数，

2和4排在末位时，共有㈤=2种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有=432=24种排法，

根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2义24=48（个）.

故选：C.

【例5】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成一个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.

【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有2H=120个；

②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有团=48个；③千位数字为5时，百位数字是4,十位

数字是0,1之一时，有4a=6个；最后还有5420也满足题意.

所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.

故答案为175.

类型二、乘法原理

1

【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有种不同的走法.

【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，

则进门的方法有4种，出门的方法也有4种，

则不同的走法有4x4=16种

【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有.

【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：

第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法，

同理第二个小球也有4种不同的放法，

第三个小球也有4种不同的放法，

即每个小球都有4种可能的放法，

根据分步计数原理知共有即444=64不同的放法，

故答案为:64.

【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求

甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种.

【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有用安

排方法，故不同的安排种法有6x4=120,

故答案为120.

【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调

查团，问选取代表的方法有几种.

【解析】3乜8=684

【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？

【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，

可得共有不同的报名方法36=729种.

【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？

【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6种可能，

因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有666=63种可能

【例12】用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且

1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.

【解析】解析：可分三步来做这件事：

第一步:先将3、5排列，共有片种排法;

2

第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2团种排法;

第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C种排法.

由分步乘法计数原理得共有耳=40（种）.

答案为：40

22

【例13】从集合｛1,2,3,…，11｝中任选两个元素作为椭圆方程三+与=1中的加和〃，则能组成落在矩形

mn

区域3=｛（x,,且I川＜9｝内的椭圆个数为（）

A.43B.72C.86D.90

【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m^n,所以有两类，

一类是加，"从｛1,2,3,...6,7,8｝任选两个不同数字，方法有4=56

令一类是/从9,10,两个数字中选一个，”从｛1,2,3,...6,7,8｝中选一个

方法是：2义8=16

所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72

故选：B.

【例14］若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函

数解析式为了=—/,值域为｛—1,-9｝的“同族函数”共有（）

A.7个B.8个C.9个D.10个

【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有-1、1中的一个和-3、3中的一个，

满足条件的定义有：｛-1,—3｝、｛-1,3｝、｛1,—3｝、｛1,3｝、｛—1,1,—3｝、｛—1,1,3｝、｛-1,-3,

3｝、｛1,-3,3｝、｛-1,1,—3,3｝,共9个.

故选：C.

【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数

字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0,并且千位、百位上都能取0.这样设

计出来的密码共有（）

A.90个B.99个C.100个D.112个

【例16】从集合｛—4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4,5｝中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个

数之和不等于1,则取出这样的子集的个数为（）

A.10B.32C.110D.220

【解析】从集合｛—1,-2,-3,-4,0,1,2,3,4,5｝中，随机选出5个数组成

子集，共有G05种取法，即可组成G05个子集，

3

记“这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件A,

而两数之和为1的数组分别为(—1,2),(—2,3),(-3,4)(-4,5),(0,1),

I包含的结果有①只有有一组数的和为1,有。51c43Gle=160种结果

②有两组数之和为1,有。52・。61=60种，

则A包含的结果共有220种

故答案为：220.

【例17］若x、y是整数，且|x|W6,|x|W6,则以(x,y)为坐标的不同的点共有多少个？

【解析】整数x,y满足国＜6,|x|W6

则xe4={-6,—5,—4,—3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},ye3={—6,—5,—4,-3,-2,-1,0,1,2,

3,4,5,6},

从4种选一个共有13种方法，从B选一个共有13种方法，

故有13x13=169种.

故答案为：169.

【例18】用0,1,2,3,4,5这6个数字：

⑴可以组成个数字不重复的三位数.

⑵可以组成个数字允许重复的三位数.

【解析】(1)根据题意，分2步分析：

①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法，

②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有用=20种选法，

则可以组成5x20=100个无重复数字的三位数

(2)分3步进行分析：

①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法，

②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法，

③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法，

则可以组成566=180个数字允许重复的三位数；

【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？

【解析】33333336

【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有()种.

A.5B.6C.7D.8

4

【解析】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少1名教师，

只有一种结果1,2,

首先从3个人中选2个作为一个元素，

使它与其他两个元素在一起进行排列，

共有。；用=6种结果，

故选：B.

类型三、基本计数原理的综合应用

【例21】用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数

的个数是.（用数字作答）

【解析】按首位数字的奇偶性分两类：

一类是首位是奇数的，有：4封;

另一类是首位是偶数，有：（团-团）£

则这样的五位数的个数是：44+（4-4）4=20.

故答案为：20.

【例22】若自然数〃使得作竖式加法〃+（〃+1）+（"+2）均不产生进位现象.则称〃为“可连数”.例如：32

是“可连数，，，因32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象.那么，小

于1000的“可连数”的个数为（）

A.27B.36C.39D.48

【解析】如果〃是良数，则力的个位数字只能是0,1,2,非个位数字只能是0,1,2,3（首位不为0）,

而小于1000的数至多三位，

一位的良数有0,1,2,共3个

二位的良数个位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3x3=9个

三位的良数个位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有343=36个.

综上，小于1000的“良数”的个数为3+9+36=48个

故选：D.

【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？

【解析】依题意，正方体的8个顶点所确定的平面有：6个表面，6个对角面，8个正三角形平面共20个.

故答案为：20

【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和.

5

【解析】因为385=5x7x11,在1〜385这385个自然数中，5的倍数有［飞-］=77（个），

7的倍数有［言］=55（个），11的倍数有［言］=35（个），

5x7=35的倍数有［言］=11（个），5x11=55的倍数有［票］=7（个），

7x11=77的倍数有［券］=5（个），385的倍数有1个.

由容斥原理知，在1〜385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-（11+7+5）+1=145（个），

而5、7、11互质的数有385-145=240（个）.即分母为385的真分数有240（个）.

如果有一个真分数为」则必还有另一个真分数变三，即以385为分母的最简真分数是成对出现的，

385385

而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为lx120=120.

【例25】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成个大于3000,小于5421的数字不重复的

四位数.

【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有2可=120个；

②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有"用=48个；③千位数字为5时，百位数字是4,十位

数字是0』之一时，有=6个；最后还有5420也满足题意.

所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.

故答案为175.

【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到

“9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，

则这组号码中“优惠卡”的个数为（）

A.2000B.4096C.5904D.8320

【解析】10000个号码中不含4、7的有8*=4096,

,“优惠卡”的个数为10000-4096=5904,

故选：C.

【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡

不同的分配方式有（）

A.68.9种C.11种D.23种

【解析】设四人分别为“、b、c、d,写的卡片分别为/、B、C、D,

由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故。有三种拿法，

不妨设“拿了3,贝也可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种拿法，

所以共有33119种分配方式，

6

故选：B.

【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目

插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）

A.504B.210C.336D.120

【解析】••・由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，

三个新节目一个一个插入节目单中，

原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，

原来的6个和刚插入的一个，形