2024内蒙古中考数学二轮专项训练：函数的实际应用 （含答案）

2024内蒙古中考数学二轮专项训练题型六函数的实际应用

类型一最值问题

1.“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售

方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每

千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售

价相同.

(1)求每千克花生、茶叶的售价；

⑵已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克.甲计划两种产品共助销60千克,

总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各销售多少千

克可获得最大利润？最大利润是多少？

2.科学计算器是一种常见的生活和学习工具，它有着重要的作用.根据市场需求，某文具

店代售8两种品牌的科学计算器，下表为其中两次的进货情况：

进货数量(个)

进货批次进货花费(元)

4品牌5品牌

第一次1015510

第二次1520720

(1)求N,8两种品牌科学计算器的进货单价；

(2)该文具店某次进货时，恰好赶上厂家的优惠活动，活动有两种方案：

方案一：购买48两种品牌的科学计算器，每满10个赠送2个8品牌科学计算器；

方案二：/、B两种品牌的科学计算器均按8.5折计算.

若该文具店老板计划购进N,8两种品牌的科学计算器共50个，且两种品牌的数量均不少

于20个.请你帮老板算一算，如何购买能使花费最少？

(注：厂家规定，两种优惠方案不能同时使用)

3.狒猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猫猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中/,3两款

掰猴玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如下表：

类别

A款玩偶8款玩偶

价格

进货价（元/个）4030

销售价（元/个）5645

（1）第一次小李用1100元购进了4,8两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；

（2）第二次小李进货时，网店规定/款玩偶进货数量不得超过8款玩偶进货数量的一半.小

李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率

的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？（注：利润率

成本

4.某公司电商平台，在2021年“五一”长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查

发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价汹元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售

价x,周销售量外周销售利润少（元）的三组对应值数据.

X407090

y1809030

W360045002100

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润少最大？并求出此时的最大利润；

⑶因新冠肺炎疫情期间，该商品进价提高了皿元/件）（机＞0）,公司为回馈消费者，规定该商

品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函

数关系，若周销售最大利润是4050元，求％的值.

5.甲，乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话:

O------------------------------------------------------------

|▼火司绶"；可♦柄汽1

WMNbt.邮么50场汽车可以全，租杲吊第

上《的周―。♦增*>90位.绿。/少・小|朝上

隼,另外.公司为毒H租出的汽车支什月州"曾

2110元.

乙4同曜度；*公司汽4月9m

£.无论是否租出汽车.2可向等一上0•支纣

H雄夕曹WftIKSOA..

说明：①汽车数量为擎戮；

②月利润=月租车费一月维护费；

③两公司月利润差=月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车

为______辆时，两公司的月利润相等；

(2)求两公司月利润差的最大值；

(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出。元(0>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩

余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利

润与乙公司月利润之差最大，求。的取值范围.

6.某体育专卖店销售/型和B型两种健身器材，其中A型健身器材每台的利润为400元，

B型健身器材每台的利润为500元，该体育专卖店计划一次性购进两种型号的健身器材共

100台，其中B型健身器材的台数不超过N型健身器材台数的3倍，设购进/型健身器材X

台，销售这100台健身器材的总利润为y元.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)当/型健身器材购进多少台时，销售的总利润最大？最大利润为多少？

(3)实际进货时，厂家对/型健身器材的出厂价下降加(0<〃?<400)元，且限定该体育专卖店

最多购进/型健身器材80台，若该体育专卖店保持两种健身器材的售价不变.请你根据以

上信息，设计出使这100台健身器材销售总利润最大的进货方案.

类型二分段函数

1.为响应国家深化具有中国特色体教融合发展的要求，某中学积极行动，并决定购买一批

体育用品.在购买足球时，由于足球价格稍贵，该校与一运动器械专卖店议价，最终优惠如

下：每个足球的原价为90元，若一次性购买不超过10个，则按原价销售；若一次性购买超

过10个，前10个按原价销售，超过的部分打8折.

(1)设该中学购买足球x个，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式；

(2)若该中学计划购买足球的费用不超过1200元，则最多能购买几个足球？

⑶若购买了20个足球，则平均每个足球的售价为多少元？

2.超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同

样数量的苹果只用200元.

(1)求苹果的进价；

(2)如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过

部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出义元)与购进数量x(千克)之间的函数关系

式；

(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完.据统计，销售单

价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z=-二0x+12.在(2)的条件下，要使超市销售

苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量.(利润=销售收入一购进支出)

3.某果品合作社收购了14吨水果，决定同时采用两种方式进行销售：

方式1：直接销售，每吨水果可获得利润0.2万元；

方式2：加工成水果制品销售，每吨水果可获得利润0.6万元，但需要支付加工费.

设加工成水果制品的水果为x吨，当0<xW8时，加工总费用y（万元）与x2成正比，当8V

xW14时，加工总费用y（万元）与x满足一次函数关系，经过统计得到如下数据：

x（吨）51012

y（万元）1.253.84.4

若将x吨水果加工成水果制品销售，其余直接销售.

（1）求y与x的函数关系式；

⑵若将这14吨水果全部销售完所获得的总利润w为3.4万元，求尤的值;

（3）求这14吨水果全部销售完的情况下，能获得的最大总利润w是多少？

类型三面积问题

1.为了节省材料,某水产养殖户计划用长为96米的围网在水塘中围成如图所示的①②③三

块区域，其中区域①是正方形，区域②、③是矩形，已知/G：BG=3：2,设5G的长为2x

米.

⑴是否存在x,使得矩形CZ）在的面积为180平方米，若存在，求出x的值；若不存在，请

说明理由；

⑵当x为何值时，矩形/BCD的面积最大？最大面积是多少？

第1题图

2.工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将

四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)

(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积

为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？

(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈

处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边

长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？

第2题图

3.为了美化校园，某校计划在如图所示的一块边长为40米的正方形区域/BCD上建造花

坛，其中£、F、G、〃分别为正方形区域各边中点，铺灰区域为四个全等的矩形，在四边

形EFG8区域种植甲种花，在铺灰区域种植草坪，剩余部分种植乙种花.设的长为x

米，种植草坪的区域面积为y平方米.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)种植甲种花每平方米的价格为20元，种植乙种花每平方米价格为30元，种植草坪每平

方米的价格为10元，设建造花坛的总费用为少元，求少的最小值.

第3题图

参考答案

类型一最值问题

1.解：(1)设每千克花生的售价为X元，则每千克茶叶的售价为(40+x)元，

根据题意，得50x=10(40+x),

解得x=10,

.*.40+x=40+10=50(元)，

答：每千克花生的售价为10元，每千克茶叶的售价为50元；

(2)设花生销售m千克，茶叶销售(60—⑼千克获利最大，所获利润为坟元，

由题意，得

6»?+36(60—机)W1260,

以(2(60—in),

解得30W"?W40,

w=(10—6)加+(50—36)(60—%)

=4"?+840-14m

=-10m+840,

.'.w随m的增大而减小，

•.•30WZ40,

当机=30时，利润最大，此时花生销售30千克，茶叶销售60—30=30千克，.最大=一

10X30+840=540(元)，

答：当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元.

2.解：(1)设8两种品牌科学计算器的进货单价分别为x元和y元，根据题意，得

10x+15y=510,k=24,

•解得.

ll5x+20y=720,卜=18.

答：A,3两种品牌科学计算器的进货单价分别为24元和18元；

(2)设总花费为1V元，购买加个/品牌科学计算器，则购买(50—%)个8品牌科学计算器.

选择方案一购买：根据题意可知，最少花费为购买任意42个科学计算器，赠送8个3品牌

科学计算器，则需花钱购买3品牌科学计算器的数量为(42—%)个，

.•.最少花费w=24m+18X(42-")=6m+756,

V6>0,根据题意可得，20WmW30,

，当机=20时，总花费最少，为6X20+756=876(元);

选择方案二购买：最低花费w=[24«7+18X(50-m)]X0.85=5.lw+765,

V5.1>0,根据题意可得20W〃?W30,

二当切=20时，总花费最少,为5.1X20+765=867(元).

V876>867,

二选择方案二，购买20个/品牌科学计算器，30个8品牌科学计算器时，花费最少.

3.解：(1)设N款玩偶购进x个，3款玩偶购进7个,

x+y=30,

根据题意,得

40x+30y=1100,

x=20,

解得

y=10,

答：A款玩偶购进20个，8款玩偶购进10个;

(2)设/款玩偶购进。个，则3款玩偶购进(30一°)个，利润为出

由题意可知，aWg(30—a),

解得aW10,

w=(56-40)a+(45—30)(30—a)

=16a+15(30—a)

=a+450.

Vl>0,

.,.w随a的增大而增大，

.•.当a=10时，卬有最大值，卬最大=10+450=460(元)，

答：购进/款玩偶10个，3款玩偶20个时，利润最大，最大利润为460元;

(3)第-次利润率为2°X(56—⑷一如.’％,

第二次利润率为重义(56―4。)+20X(45-3。)=46%,

10X40+20X30

•.•46%>42.7%,

.•.从利润率的角度分析，对于小李来说第二次更合算.

4.解：(1)设)=立+贴20),把(40,180),(70,90)代入得

4004*6=180,„,%=-3,

,解得.

〔70左+6=90,以=300,

关于x的函数解析式为y=-3x+3OO；

(2)由(1)得，少=(-3x+300)(x-a),

把x=40,少=3600,代入上式，

得3600=(-3X40+300)(40—a),

解得°=20,

二沙=(—3x+300)(x—20)=—3N+360x-6000=—3(x—60)2+4800.

V-3<0,

，售价x=60元/件时，周销售利润少最大，最大利润为4800元；

(3)由题意得，W=—3(x—100)(%—20一机)(xW55),

V-3<0,对称轴为直线x=60+%>60,

2

...当0VxW55时，卬随x的增大而增大，

...当x=55时，周销售利润最大，

.*.4050=—3(55—100)(55—20—m),

••冽=5.

答：当周销售最大利润是4050元时，m的值为5.

5.解：(1)48000,37；

【解法提示】[(50—10)X50+3000]X10—200X10=48000元，...当每个公司租出的汽车为

10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得，[(50

-x)X50+3000].x-200x=3500x-1850,解得x=37或x=—1(舍)，，当每个公司租出的汽

车为37辆时，两公司的月利润相等.

(2)设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为“

则y申=K50-X)X50+3000]L200X,

y乙=3500》一1850,

当甲公司的利润大于乙公司时，0<x<37,

2

^=J¥-^Z,=[(50-X)X50+3000].X-200X-(3500X-1850)=-50x+1800x+1850,

V-50<0,

...当x=——更叽=18时，利润差最大，最大值为18050元；

-50X2

当乙公司的利润大于甲公司时，37<xW50,

乙一y甲=3500x—1850一[(50一X)X50+3000]X+200X=50X2—1800X—1850,

V50>0,对称轴为直线x=—二”以=18,

50X2

,当x=50时,利润差最大，最大值为33150元.

V1805003150,

两公司月利润差的最大值为33150元；

(3)：捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，

则利润差为y=-50x2+1800x+1850-ax=-50x2+(l800—a)x+1850,

对称轴为直线》="”二，

100

V-50<0,x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大,

解得50<a<150.

6.解：(1)：购进/型健身器材x台，

购进B型健身器材(100—劝台，

根据题意，得y=400x+500(100—x)=400x+50000—500x=-100x+50000,

即y关于x的函数关系式为y=-100x+50000；

(2)V5型健身器材的台数不超过/型健身器材台数的3倍，

.•.100—xW3x,解得x225.

,.>=-100x4-50000,-100<0,

随x的增大而减小，

...当x=25时，y有最大值，y最大=47500元.

答：当购进/型健身器材25台时，销售的总利润最大，最大利润为47500元；

(3)根据题意得y=(400+Mx+500(100—x),

即y=(m—100)x+50000,其中25WxW80.

①当0<小<100时，m-100<0,y随x的增大而减小，

...当x=25时，y取最大值.

即该体育专卖店购进25台N型健身器材和75台B型健身器材才能使得总利润最大;

②当加=100时，m-100=0,y=50000.

即该体育专卖店购进/型健身器材数量满足25WxW80的整数时，总利润相同；

③当100<小<400时，加一1000/随x的增大而增大，

...当x=80时，>取最大值.

即该体育专卖店购进80台/型健身器材和20台8型健身器材才能使得总利润最大.

类型二分段函数

1.解：(1)由题意知，当一次性购买足球不超过10个时，y=90x,

当一次性购买足球超过10个时，j=90X10+90X0.8X(x-10)=72x+180,

90x(0<xW10),

[72x+180(x>10)；

⑵当x=10时，>=90X10=900,

1200-900=300>90,

...购买的数量超过10个，

.,.72x+180^1200,

解得xW画.

为整数,

，最多能购买14个足球;

(3)V20>10,

.,.y=72X20+180=1620,

则平均售价为1620+20=81元,

答：平均每个足球的售价为81元.

2.解：(1)设苹果的进价为加元/千克，根据题意，得理上=平9

〃？+2m~2

解得m=10,

经检验，加=10是原分式方程的解，且符合题意.

苹果的进价为10元/千克；

(2)根据题意,当OWxWlOO时,y=10x；

当x>100时，j；=100X10+(10-2)(x-100)=8x+200,

超市购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式是y

10x(04W100),

8x+200(x>100)；

(3)根据题意，购进苹果数量与销售数量都为x千克，且购进量不超过300千克，

①当OWxWlOO时，w=xz—y=(—j^x+12)x—10x

2

=—--x+2x=--必一100)2+100

...当x=100时，w取最大值，最大值为100；

②当100VxW300时，w=xz-y=(—-—x+12)x-(8x+200)=---x2+4x~200=---(x

100100100

—200)2+200.

...当x=200时，w取最大值，最大值为200.

VI00<200,

•••要使超市销售苹果利润最大，则一天购进的苹果数量为200千克.

3.解：⑴当04W8时,设>="2(0力0),

由题意得，1.25=aX52,解得a=0.05,

.'.y—0,05x2；

当8VxW14时，设》=履+以左W0),

'3.8=10k+b,

由题意得

4.4=12左+6,

左=0.3,

解得

8=0.8,

...y=0.3x+0.8.

综上所述，y与x的函数关系式为

_0.05/(oWx：W8),

’l0.3x+0.8(8<xW14)；

(2)由题意得，x吨水果加工成水果制品销售，贝1(14—x)吨直接销售,

当0«8时,w=0.2(14—x)+0.6x—0.059=3.4,

解得xi=2,X2=6；

当8cxW14时，w=0.2(14-x)+0.6x-(0.3x+0.8)=3.4,

解得x=14.

综上所述，当销售总利润W为3.4万元时，x的值为2或6或14；

(3)设销售完这14吨水果所获得的利润为w,由题意得，当0WxW8时，w=0.2(14—x)+0.6x

—0.05x2=-0.05x2+0.4x+2.8=—0.05(x—4)2+3.6,

V-0.05<0,

...当x=4时，w有最大值，最大值为3.6万元；

当8<xW14时,三=0.2(14—x)+0.6x—(0.3x+0.8)=0.1x+2,

V0.1>0,

...当x=14时，W有最大值，最大值为3.4万元.

V3.4<3.6,

・••这14吨水果全部销售完的情况下，能获得的最大总利润为3.6万元.

类型三面积问题

1.解：(1)存在，理由如下:

由题意可得，AG=3x,在矩形CDFE中，DC=AG+