人教版九年级数学上册《圆的有关性质（第5课时）》示范教学设计

圆的有关性质（第5课时）教学目标1．理解圆内接多边形的有关概念．2．掌握圆内接四边形的性质，并能灵活结合其他相关性质解决有关问题．3．经历探索圆内接四边形的性质的过程，发展逻辑推理能力，体会由特殊到一般的数学思想方法．教学重点圆内接四边形的概念及性质．教学难点圆内接四边形的性质与圆的其他性质的综合应用．教学过程知识回顾1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【师生活动】教师出示题目，学生独立思考后回答．【设计意图】带领学生复习圆周角的相关知识，巩固基础，为本节课探究圆内接四边形的性质做好准备．新知探究一、探究学习【问题】直径所对的圆周角都相等（都是直角），那么不是直径的弦所对的圆周角是否也相等呢？【师生活动】学生任意画出弦AC所对的几个圆周角：∠B，∠D，∠E，∠F．教师展示动画，并提出问题：请同学们观察这四个角，这些圆周角有什么数量关系？学生仔细观察后，回答：这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方．其中两对角的关系：∠B＝∠F，∠D＝∠E．教师追问：能否用学过的知识证明你的发现？学生独立思考并回答：∠B和∠F的顶点在弦的上方，都对着，所以∠B＝∠F．∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着，所以∠D＝∠E．教师追问：∠B与∠D的关系呢？也相等吗？学生小组讨论后回答：不一定相等．教师引导学生：∠B和∠D是四边形ABCD的一组对角，研究∠B和∠D的数量关系，就变成了研究这个四边形ABCD的一组对角之间的关系．【设计意图】引导学生经历观察、操作、猜想、证明等基本数学活动，探索圆周角与弦的关系，巩固对圆周角定理及其推论的应用，引出圆内接四边形的概念和性质．【问题】如图，四边形ABCD有什么特点？【师生活动】学生独立思考得到答案，教师引出圆内接多边形的定义．【新知】如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形，⊙O是六边形ABCDEF的外接圆．【设计意图】让学生结合图形，获得圆内接多边形的定义，初步理解圆内接多边形．【问题】画一个⊙O，再画出⊙O的任意一个内接四边形ABCD，测量∠A与∠C，∠B与∠D，它们之间具有什么数量关系？【师生活动】学生动手画图，通过度量，得到答案．【答案】∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°．【设计意图】学生通过动手操作，探索圆内接四边形的性质．【问题】仔细观察下面的动图，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？【师生活动】教师展示动图，学生独立思考，得出猜想．【猜想】圆内接四边形的对角互补．【设计意图】借助动图，形象地展示圆内接四边形的四个角之间的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解圆内接四边形的性质．【问题】你能利用圆周角定理证明这个猜想吗？【答案】证明：如图，连接OB，OD．∵∠A所对的弧为，∠C所对的弧为，和所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝360°÷2＝180°．同理∠B＋∠D＝180°．【思考】结合下面的动图，总结你的发现．【师生活动】教师展示动图，学生观察动图，小组交流、总结．【新知】圆内接四边形的对角互补．符号语言：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°．【设计意图】让学生经历观察、猜想、证明的探索过程，得到圆内接四边形的性质，进一步巩固圆周角定理的应用，体会由特殊到一般的数学思想方法．【问题】在同圆或等圆中，如果两条弦（不是直径）相等，那么它们所对的圆周角是否也相等呢？【师生活动】学生独立思考作答．【答案】同一条弦所对的圆周角不一定相等．一条弦（非直径）所对的圆周角有两种情况：（1）圆周角在弦的同侧时，每两个在弦的同侧的圆周角是相等的；（2）圆周角在弦的异侧时，每两个在弦的异侧的圆周角是互补的．【设计意图】回到最开始的问题，让学生加深对圆内接四边形的性质的理解，感受分类讨论的必要性．二、典例精讲【例题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BOD＝140°，求∠C的度数．【师生活动】学生独立完成解答，一名学生板书，教师给予指导．【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°．∵∠BOD＝140°，∴∠A＝∠BOD＝×140°＝70°．∴∠C＝180°－∠A＝180°－70°＝110°．【归纳】圆中求角的四个常用思路：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（3）圆内接四边形的对角互补；（4）同圆的半径相等，在以两半径为边的三角形中，等边对等角．【设计意图】通过例题，应用圆内接四边形的性质解决问题，巩固学生对新知识的掌握．三、拓展提升【问题】仔细观察下面的动图，圆内接四边形的外角与内角之间有什么关系？【师生活动】教师展示动图，学生独立观察、思考，得到结论．【答案】圆内接四边形的任意一个外角与其相邻的内角的对角相等．【思考】如何证明这个结论？【师生活动】学生小组讨论，给出证明过程．【答案】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为CB延长线上一点．、求证：∠ABE＝∠D．证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠D＝180°．又∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠D．【归纳】圆内接四边形的角的关系：（1）对角互补；（2）四个内角的和是360°；（3）任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．【设计意图】让学生经历观察、猜想、