2024年新高考高三数学复习阶段性复习：函数的应用(解析版)

专题2.9函数的应用(解析版)

(本试卷满分60分，建议用时：40分钟)

一、单项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，

日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.则

这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是()

A.1x|10<x<16|B.1x|12<x<18|C.1x|15<x<20|D.1x|10<x<201

【答案】C

【解析】设这批台灯的销售单价为X元，由题意得，go-2(^-15)?x400,即f-30X+200<0,解得

10<x<20,又因为*215,所以15Vx<20,这批台灯的销售单价x的取值范围是{x[15<x<20}.

故选C.

2.已知定义在R上的偶函数满足“犬-4)=—“X),且当xe[0,2)时，/(x)=2A-l,则下列说法错

误的是()

A./(5)=-1

B.函数/(x)关于直线x=4对称

C.函数/(x+2)是偶函数

D.关于x的方程/(x)-2=0在区间[-2,2]上所有根的和为0

【答案】C

【解析】取x=-l,M/(-l-4)=-/(-l)=-/(l)=-(2-l)=-l,所以八5)=〃-5)=—1,故A正确；

因为/(x—4)=—/(x),则f(x+4)=—/⑺，即/•(x+4)=f(x—4),又由“力为偶函数"x—4)=〃4—x),

即/(尤+4)=/(4—x),所以函数/(X)关于直线x=4对称，故B正确;

令g(x)=/(x+2),贝|@(一%)=/(一了+2)=/(%—2)=/(%+2—4)=—/(%+2)=—g(%),所以8(%)为奇函数，

即函数〃x+2)是奇函数，故C错误；

因为，（尤）为偶函数，画出函数［-2,2］的图象可知，方程所有根的和为0,故D正确.

故选C.

3.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为"，则经过一定时间/后

t

的温度T满足T-7；（"-!；），其中I是环境温度，。称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡

茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃,茶水降至75℃大约用时1分钟，

那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（）

（参考数据：1g3^0.4771,lg5^0.6990,Igl1^1.0414）

A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟

【答案】C

【解析】根据题意，75-25=（口（80-25），口哈=（口，设茶水从75℃降至55。。大约用时/分钟，则

55-25=（gJ（75-25），即=两边同时取对数：lgg=lg［《J《Jlgll）

解得t=f*x5,所以从泡茶开始大约需要等待5+1=6分钟.

1-lgU

故选C.

4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费%（单位：

万元）与仓库到车站的距离x（单位：物7）成反比，每月库存货物费%（单位：万元）与x成正比，若在

距离车站10km处建仓库，则必为1万元，%为4万元，下列结论正确的是（）

A.%=工B.%=4xC.%+%有最大值4D.%-%无最小值

【答案】D

【解析】对于A选项，设％=&,可得与=1，所以，尤=1。，贝立=竺，A错；

x10九

对于B选项，设%=，可得10左2=4,所以，k2=0.4,则%=0,4x,B错；

对于C选项，因为x>0,由基本不等式可得%+%=3+0.4x22、悝.0.4工=4,当且仅当x=5时，等号

xVx

成立，C错；

对于D选项，令/（耳=%-%=?-。-4%，则函数/（X）在（0,+8）上为减函数，故%-也无最小值，D对.

故选D.

二、多项选择题（本题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

5.如图，某池塘里浮萍的面积》（单位：m2）与时间f（单位：月）的关系为了=",关于下列说法正确

的是（）

A.”的值为3

B.浮萍每月的增长面积相同

C.第3个月时，浮萍面积超过25mz

D.若浮萍蔓延到2m②，4m②，8m?所经过的时间分别是％,马，与，则%=%+G

【答案】ACD

【解析】对于A选项，由图像可知，函数过点（L3）,.;“=3,.•.函数解析式为y=3,，选项A正确；

对于B选项，•.•函数y=3'是指数函数，是曲线型函数，，浮萍每月增加的面积不相等，选项B错误；

对于C选项，当/=3时，y=33=27>25,故选项C正确；

1,3

对于D选项，3'=2,3"=4,3=8»K=log32,t2=log34,t3=log38,又：

21og34=log316=log32+log38,/.2t2=tt+t3,选项D正确；

故选ACD.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上）

6.将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.

为了赚到最大利润，售价应定为元.

【答案】70

【解析】设售价为X元，总利润为W元，则W=（x-40）［500-10a-50）］=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000,

当X=70时，W最大，最大的利润%­=9。0。元；即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000

元.

故答案为70.

7.如图，在半径为4cm的半圆形（。为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCZ）,其顶点A,B在直径上，

顶点C,。在圆周上，则矩形48C。面积的最大值为cm2.

【答案】16

【解析】设矩形ABCD中AB=CD=a,AD=BC=b,其面积S=必，关于直线AB对称，可作图如下:

则矩形DDC'C,DD'=2b,CD=C'D'=a,CZ>=8,其面积S'=2S=2"，在圆中，易知/+（26?=64,

则S=2"J+W=32,当且仅当。=26=40，等号成立，可得%=4％=16.

故答案为16.

8.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用80回的开水泡制，

再等茶水温度降至35回时饮用，可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是”回，经过一定时间fmin后的温度

70,则可由公式/_?；=（《一心）.、［求得，其中，表示室温，//是一个随着物体与空气的接触状况而定

的正常数，现有一杯80回的绿茶放在室温为20国的房间中，已知茶温降到50回需要lOmin.那么在20团室温下，

用80回的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间min,才能达到最佳饮用口感.

【答案】20

【解析】一杯8CTC的绿茶放在室温为2（®的房间中，如果茶温降到50团需要lOmin,那么

1010

50-20=（80-20）x^y.所以一杯8CTC的绿茶放在室温为20回的房间中，如果茶温降到35回

t_10

需要/min,那么35-20=(80-20),所以所以=,所以t=20.

故答案为20.

四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9.吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接

了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本

万元，当产量小于或等于50万盒时/z（x）=180x+100；当产量大于50万盒时〃（X）=X2+60X+3500,若每

盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润=售价一成本，成

本=固定成本+生产中投入成本）.

（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；

（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？

【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，>=2。。苫一2。（）一18。》一1（）（）=2。》一3。。，当产量大于50万盒时，

丁=200苫一200-尤2_60》-3500=-/+140苫一3700,故销售利润V（万元）关于产量了（万盒）的函数关

_.、

[20x-300,0<x<50，AeN

系式为>-1_%2+1。_3700,.r>50,

（2）当0W50时，^<20x50-300=700；

140

当x>50时，y=-x2+140x-3700,当尤=可=70时，y=-Y+140X-3700取至I]最大值，为1200,因为

700<1200,所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大.

10.某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放

了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y（单位：平方米）与所经过月数x（xeN）的下列数

据：

X0234

y42562.5156.3

为描述该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过的月数x（xeN）的关系，现有以下三种函数模型供选择:

y-k-ax(k>0,a>l)；y=p«+g(p>0)；y=ax+b.

(1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式;