人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程（第3课时）》示范教学设计

实际问题与一元二次方程（第3课时）教学目标1．能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，解决与几何图形有关的问题．2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．教学重点利用一元二次方程解决与几何图形相关的问题．教学难点发现不规则图形问题中的相等关系．教学过程新课导入上节课，我们学习了如何用一元二次方程解决平均变化率问题，这节课我们继续探究实际问题与一元二次方程——几何图形问题．数学上常见的图形有三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、正六边形、圆等，求它们的面积和周长都是常见的计算问题．新知探究一、探究学习【问题】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？【师生活动】教师引导学生对题目所给出的数量关系进行分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．根据中央的矩形的长宽之比，设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是(27－9a)∶(21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7．【追问】根据求出的上、下边衬与左、右边衬的宽度之比，可以怎样设未知数？【答案】解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为(27－18x)cm，宽为(21－14x)cm．要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列出方程(27－18x)(21－14x)＝×27×21．整理，得16x2－48x＋9＝0．解方程，得x＝．【思考】方程的哪个根符合实际意义？为什么？【师生活动】教师引导学生对求出的x代入进行验证，可以发现，在x＝时，求出的上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，所以只有x＝符合实际意义．代入符合实际意义的x的值，可以求出：上、下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请试一试．【答案】解：设中央矩形的长、宽分别为9xcm，7xcm．根据题意，得9x·7x＝×27×21．解方程，得x1≈2.6，x2≈－2.6（不合题意，舍去）．所以上、下边衬的宽均为(27－9×2.6)×0.5＝1.8（cm），左、右边衬的宽均为(21－7×2.6)×0.5＝1.4（cm）．【设计意图】解决这个问题，求出来方程的两个根都是正数，但不代表它们都是问题的解，引导学生根据值的大小，来确定哪个更合乎实际．这种取舍更多地要考虑问题的实际意义，这是检验数学模型的解是否符合实际的过程．【新知】已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长的计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解．列方程解应用题的关键是认真读题，找出题中的相等关系，特别注意需要检验方程的根是否符合实际意义．二、典例精讲【例1】某农场有一块长为40m、宽为32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【师生活动】教师引导学生用两种方法解答本题：①将小路分别平移到大矩形的两边，种植面积不变．由题意，设小路的宽为xm，则矩形种植面积的长为(40－x)m，宽为(32－x)m．根据矩形的面积计算公式列方程求解即可．②要求种植面积，可用大矩形的面积减去小路的总面积．【答案】解：方法一：设小路的宽为xm．如图，将小路平移到矩形边上时，种植面积是不变的，所以(40－x)·(32－x)＝1140．解方程，得x1＝2，x2＝70（不合题意，舍去）．方法二：设小路的宽为xm，列出方程40×32－(40x＋32x－x2)＝1140．整理，得x2－72x＋140＝0．解方程，得x1＝2，x2＝70（不合题意，舍去）．答：小路的宽为2m．【归纳】通过平移将图形进行转化，是列一元二次方程解决图形面积类应用题的常用方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形，根据规则图形的面积计算公式列一元二次方程求解．【设计意图】用两种方法解决涉及不规则图形的问题，让学生知道除了直接计算，还可以通过平移转化图形来解决这类问题．【例2】如图，一农户要建一个矩形羊舍，羊舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围矩形羊舍的长、宽分别为多少时，羊舍面积为80m2？【师生活动】教师引导学生结合题目进行分析，合理设出未知数：因为矩形的面积等于长乘宽，所以需要表示出矩形羊舍的长与宽．设矩形羊舍垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m．根据矩形的面积计算公式列出方程求解，最后利用住房墙的长为12m，确定矩形羊舍的长与宽．【答案】解：设矩形羊舍垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m．由题意，得x(26－2x)＝80．解方程，得x1＝5，x2＝8．当x＝5时，26－2x＝16＞12，不合题意，舍去；当x＝8时，26－2x＝10＜12．答：所建矩形羊舍的长为10m，宽为8m．【归纳】利用一元二次方程解决与矩形面积有关的问题时，关键是根据题意和图形正确表示出矩形的长与宽，寻找相等关系列方程求解，注意已知中所隐藏的长和宽的长度对结果的影响．【设计意图】通过解决涉及矩形面积的问题，让学生意识到解决涉及规则图形的问题时，最主要的是要熟练掌握各种图形的面积或体积计算公式，准确地根据公式列出方程．【例3】小林准备进行如下操作试验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．【师生活动】学生以组为单位交流讨论，教师适时点拨．【答案】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm．由题意，得x2＋(10－x)2＝58．解得x1＝3，x2＝7．因为4×3＝12（cm），4×7＝28（cm），所以小林应把铁丝剪成12cm和28cm的两段．（2）小峰的说法是对的．理由如下：假设这两个正方形的面积之和等于48cm2，由（1），得x2＋(10－x)2＝48．化简，得x2－10x＋26＝0．因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的．【设计意图】再次巩固学生