人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数（第2课时）》示范教学设计

实际问题与二次函数（第2课时）教学目标1．通过探究学习，让学生能够独立分析并表示出实际问题中变量之间的二次函数关系，会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）．2．通过探索如何解决实际问题中的面积问题的过程，让学生体会运用函数观点解决实际问题的方法，体验数学建模思想．教学重点利用二次函数的最大值（或最小值）解决面积问题．教学难点运用二次函数知识解决求面积最大值或最小值的问题，并注意自变量取值范围的限制．教学过程知识回顾1．二次函数y＝2(x－3)2＋5的对称轴是x＝3，顶点坐标是(3，5)．当x＝3时，函数有最小值，是5．2．二次函数y＝－3(x＋4)2－1的对称轴是x＝－4，顶点坐标是(－4，－1)．当x＝－4时，函数有最大值，是－1．3．二次函数y＝2x2－8x＋9的对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)．当x＝2时，函数有最小值，是1．4．当自变量的取值是全体实数时，若a＞0，当x＝时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值；若a＜0，当x＝时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值．【设计意图】通过复习已经学过的二次函数知识，为新课“二次函数实际应用——面积最值”作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流讨论．教师提问：①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是_________m，场地面积S＝___________m2．②由一边长l及另一边长30－l都是正数，可列不等式组_________．解不等式组，得l的范围是___________．③根据面积表达式S＝l(30－l)，可以确定这个函数的图象开口____，对称轴是_____，顶点坐标是____________．④根据l的取值范围及面积表达式画出函数图象的草图．由图象知，点__________是图象的最高点，即当l＝______时，S有最____（选填“大”或“小”）值．学生根据问题，画出草图，分小组讨论交流，并派代表发言，教师板书．【答案】场地的面积为S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l(0＜l＜30)．因此，当时，S有最大值．即当l是15m时，场地的面积S最大．【归纳】几何图形中求最大（小）值的一般步骤：（1）根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；（2）把关系式转化为二次函数解析式；（3）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（4）根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画出函数的简图，求所得函数在自变量的取值范围内的最大值或最小值．【设计意图】通过问题串的形式，引导学生学会分析和建立两个变量之间的二次函数关系，并学会用已经学过的二次函数知识探索如何解决实际问题中的面积最值问题，让学生体会运用函数观点解决实际问题的方法，体验数学建模思想．二、典例精讲【例题】如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a＝10m）．（1）如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；（2）按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流讨论，并派代表发言，教师板书．【答案】解：（1）设花圃的面积为ym2，宽AB＝xm，则BC应为(24－3x)m，故面积y与x的关系式为y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．当y＝45时，－3x2＋24x＝45，解得x1＝3，x2＝5．当x1＝3时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；当x2＝5时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．故AB的长为5m．（2）能围成面积比45m2更大的矩形花圃．由（1）知，y＝－3x2＋24x．∵0＜24－3x≤10，∴≤x＜8．∵抛物线的对称轴是，∴当x＝时，y＝－3x2＋24x有最大值，最大值为（m2），此时AB＝m，BC＝10m，即围成长为10m、宽为m的矩形花圃时，面积最大为m2．【设计意图】通过例题讲解与练习，加深学生对所学知识的理解及应用．