2023年中考数学常见几何模型(全国版)：对角互补模型(从全等到相似)(解析版)

对角互补模型（从全等到相似）

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.

模型1.对角互补模型（全等模型）

【模型解读】

四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补.常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互

补类型.该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等.

【常见模型及结论】

1）全等型一60。和120。：如图1,已知N/O8=2NDC£=120。，OC平分

则可得到如下几个结论：①CD=CE,@OD+OE=OC,③S+S=£℃2.

△CODACOE4

2）全等型一90。：如图2,已知/DCE=90。，OC平分//。区

则可以得到如下几个结论：①CD=CE,®OD+OE=y/2OC,③S=S+S=\oCi.

ODCEQCDACOE2

3）全等型一2a和180。一2a,如图3,已知2a,z_DCE=180°-2a,OC平分N/O8.

则可以得到以下结论：®CD=CE,②。。+O£=2OCcose,③S+S=OC2-sina-cosa.

△OCD^COE

1.（2021•贵州黔东南•中考真题）在四边形ABC。中，对角线AC平分/BAD.

图①图②

（探究发现）（1）如图①，若NBAO=120。，/ABC=/ADC=90°.求证：AD+AB=AC；

（拓展迁移）（2）如图②，若NBAD=120。，AABC+AADC=180°.①猜想AB、AD,AC三条线段的

数量关系，并说明理由；②若AC=10,求四边形ABC。的面积.

【答案】（1）见解析；（2）①AD+AB=AC,见解析；②25R

【分析】（1）根据角平分线的性质得到/。4?=/82=60。，然后根据直角三角形中30。是斜边的一半即

可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CEL八。于E,CFLAB于F,构造44s证

明△CFS勺△CED,根据全等的性质得到尸8=。£,结合第一问结论即可写出数量关系；

②根据题意应用60o的正弦值求得CE的长，然后根据

S，.小=；40*。£+；48、。尸=；（40+45）*。£的数量关系即可求解四边形ABCD的面积.

四边彩43co222

【详解】（1）证明：♦；AC平分/BAD,ZB/\D=120%ADAC=ZBAC=,

■：AADC=AABC=90。，

图②

：.AACD=AACB=^o-,AD=-AC,AB^_AC_:.AD+AB=AC,

(2)®AD+AB=AC,理由：过点C分别作CELA。于E,CFLABTF.

.AC平分/BA。，:CF=CE,,.,/ABC+/ADC=180。，/EDC+/ADC=180。，:"FBC=NEDC,

又NCFB=ZCED=90。,：.^CFB=ACED^S\：.FB=DE,

：.AD+AB=AD+FB+AF=AD+DE+AF=AE+AF,

在四边形AFCE中，由⑴题知：AE+AF=AC,：.AD+AB=AC-,

②在用ZXACE中，1AC平分NBA。，Na4D=120。二/DAC=NBAC=60。，

又,.AC=10,，CE=AsinNDZC=i0sin60o=5旨，：CF=CE,AD+AB=AC,

11111

S=ADxCE+ABxCF=(,AD+AB)xCE=4cxeE=xl0x5JJ=25/I

四边糊BCD22222',

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本

题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线.

2.(2022•广东深圳•一模)【问题提出】如图1,在四边形/BCD中，AD=CD,ZA8C=120。，ZADC=60°,

AB=2,5C=1,求四边形/BCD的面积.

【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题.

(1)如图2,连接8D,由于ND=C。，所以可将绕点。顺时针方向旋转60。，得到△加小,则△瓦加

的形状是.

(2)在(1)的基础上，求四边形/BCD的面积.

(3)如图3,等边A48C的边长为2,ABDC是顶角为NBDC=120。的等腰三角形，以。为顶点作一个60。

的角，角的两边分别交N3于点交/C于点N,连接求A/MN的周长.

【答案】(1)等边三角形；(2)辈；(3)4

4

【分析】⑴由旋转的性质得出NBDB=60。,所以△5Z的是等边三角形；

(2)求出等边三角形的边长为3,求出三角形3。方的面积即可；

(3)将ABDM绕点。顺时针方向旋转120。，得到“X?尸，则4BDM=ACDP,得出“。=尸口，

AMBD=ZDCP,ZMDB=ZPDC,证明△JWDTZWPD,证得A/AGV的周长=/B+/C=4.

【详解】解：⑴•.・将ADCB绕点。顺时针方向旋转60。，得到△ZX4?，

^DCB/\DAB',

BD=B'D,NBDB'=60°,

：.△8。才是等边三角形；

故答案为：等边三角形；

(2)过2'作于E,

由（1）矢口，△BCDHB'AD,

BC=AB'=1,

:.BB,=AB+AB'=2+1=3,

由（1）知△23。为等边三角形，

AB'BE=60°,BD=BB'=3,

•.•四边形ABCD的面积=三角形8co面积+三角形ACD面积=三角形8ZD面积+三角形/CD面积=等边三

角形8。"的面积，

:.BE=B'Bsg6U°=3x®=里.

22

S=S=£BD-5K=1X3X2^=5^

四边形"CD^BDB'2224;

（3）解：将△出W绕点。顺时针方向旋转120。，得到△OCP,

/.XBDM合XCDP,

:.MD=PD,CP=BM,NMBD=NDCP,ZMDB=ZPDC,

•・•△MC是等腰三角形，且/皿C=120。，

/.BD=CD,/LDBC=ZDCB=30°,

又•••△ZBC等边三角形，

/.ZABC=ZACB=60°,

/.ZMBD=AACB+ZDBC=90°,

同理可得NNCD=90。，

/./PCD=ZNCD=4MBD=90°,

/./DCN+/NCP=90：

：.N,C,尸三点共线，

•/ZMDN=60°,

ZPDC+ANDC=4MDB+ZNDC=ZBDC-ZMDN=120°-60°=60°,

即43N=NP£W=60。,

在△M0D和ANPO中，

MD=PD

-AMDN=PDN

DN=DN

^NMD=^NPD(SAS\

MN=PN=NC+CP=NC+BM,

A/JW的周长=/加+/"+皿=/河+期+阳+3加=/8+/。=2+2=4.

故的周长为4.

【点睛】本题考查三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三

角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特殊角锐角三角函数，掌握三角形全等变换，等边

三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化

为两边之和，特别是利用图形旋转进行图形的转化特殊角锐角三角函数，是解题关键.

3.（2022•河南安阳•二模）【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”

思想的典型应用.

【理解】（1）如图1,4MN=12QP,AC平分"^^工0",AN,求证：AB+AD=AC

【拓展】（2）如图2,其他条件不变，将图1中的NOB绕点C逆时针旋转，。交的延长线于点，

C8交射线/N于点3,写出线段4D,AB,NC之间的数量关系，并就图2的情形说明理由.

【应用】⑶如图3,“8C为等边三角形，AB=4tP为边的中点，NMPN=120。，将NMPN绕点尸

转动使射线P"交直线NC于点跖射线PN交直线于点N,当""=8时，请直接写出/N的长.

【答案】（1）见解析；（2）AB-AD=AC,理由见解析；（3）

【分析】（1）根据角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，即可得证；

（2）过点C分别作Z峪3的垂线CE,B,垂足分别为反F,根据三角形的外角以及对顶角的性质，证明

=然后证明△CE。空△CF8,由ED=FB,可得4E=ED-AD,AF=4B-FB,AE+AF=AC

即可得证；（3）分M在/N的上方和下方两种情形讨论，①过点p分别作的垂线尸已尸尸，根据（2）

的结论可得△尸△小，根据含30度角的直角三角形的性质，求得CE的长，进而可得ZE的长，根据

/N=4F+F2V=4F+EM=/尸+/E+4W即可求解，②同①方法求解，AN=FN-AF=EM-AFgp

可求解.

【详解］（1）：AC平分j^N,CD】AM,CB】AN,ZM4N=12T,

.­,DA=AB.ADACABAC=60°,NDCA=NBCA=30。,

DA=AB=LAC,AB+AD=AC-,

2

（2）AB-AD=AC,理由如下，

如图，过点C分别作N〃,/"的垂线。及3,垂足分别为£、F,

由(1)nS^AE+AF=AC,CE=CF,

■:NDCB绕点C逆时针旋转，二4DCB=60P,

'：AMAN=12(f,ABAD=60°,

'：ABAD+ZCDA=ADCB+AABC,

/.NCDA=ZABC,即AEDC=4FBC,

，."CED=/CFB=9。。,CE=CF,

:ACEDOCFB,:.ED=FB,

'：AE=ED-AD,AF=AB-FB,

AE+AF=ED—AD+AB—FB=AB—AD,

又AE+AF=AC,/.AB-AD=AC

(3)①如图，当”在45下方时，过点P分别作ZMZN的垂线P瓦尸尸，垂足分别为乐F,

7P是的中点，△/BC是等边三角形，

:.AP平分/CAB,Z5=ZC=60°,:.PE=PF,

由⑵可得APEMdPFN,:.EM=FN,

'AB=4,CP=—BC=—AB=2,

22

/.ZEPC=ZFP^=90°-60°=30°,

:.CE=FB=l,AE=AF=3,

•/AM=S,/.AN=AF+FN=AF+EM=AF+AE+AM=3-^-3+S=14,

②如图，当M在上方时，过点。分别作的垂线尸瓦尸尸，垂足分别为£、F,

同理可得及1/=EV

AN=FN-AF=EM-AF=8-3-3=2.

综上所述，ZN的长为14或2.

【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30

度角的直角三角形的性质，作两垂线证明三角形全等是解题的关键.

模型2.对角互补模型（相似模型）

【模型解读】

四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补.常见含90°,120°（60°）及任意角度的三种对角互

补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.

【常见模型及结论】

1.对角互补相似如图，在相AABC中，4C=90。，点。是AB的中点，若乙EOF=90。，则隹=旦2

OFAC

2.相似型一90。

如图，已知乙AOB=4DCE=90°,4BOC=Q.结论：CE=CD-tana.

1.（2022•黑龙江•鸡西九年级期末）如图，在RS48C中，乙43c=90。，48=6,BC=8,在RtAMPN中,

NMPN=90。，点尸在NC上，PM交4B于点、E,PN交BC于点、F,当尸E=2P尸时，4P的长为（）

25

D.

6

【答案】B

PQPE

【分析】如图作尸。_L48于。，PRLBC于R.由AQPEsARPF,推出两=m=2,可得尸。=2依=28。,

由PQ1/BC,可得/。：QP-.AP=AB；BC-.AC=3：4：5,设尸Q=4x,贝!]NQ=3x,AP=5x,BQ=2x,可

得2x+3x=6,求出x即可解决问题.

【详解】解：如图作尸0L45于。，依，5C于氏

'：APQB=ZQBR=/BRP=9。。,：.四边形PQBR是矩形，

.,./QPR=9()o=/MPN,:"QPE=/RPF,

:.△QPESLRPF,：.将=簧=2,:.PQ=2PR=2BQ,

:PQ//BC,:.AAQPSAABC,

：.AQ-.QP：AP=AB：BC-.AC=3：4：5,

设尸Q=4x,则NQ=3x,AP=5x,BQ=2x,

2x+3x=6,=：,;./尸=5x=6.故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

2.(2022•山东黄泽•中考真题)如图，在及A/3C中，乙43c=90。，£是边NC上一点，且BE=BC,过点

/作BE的垂线，交■的延长线于点。，求证：dADEs/xABC.

【答案】见解析

［分析】先根据等腰三角形的性质得ZC=ZBEC,又由对顶角相等可证得ZAED=NC,再由N。=//8C=90。,

即可得出结论.

【详解】证明：•••BE=BC：.ZC=Z.BEC,

:NBEC=/AED,：.Z.AED=AC,-：ADLBD,：.ZB=90°,

AABC=9Q°,:.ND=NABC,/\ADE^/\ABC.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判

定定理是解题的关键.

3.（2022•江苏•九年级专题练习）如下图1,将三角板放在正方形/BCD上，使三角板的直角顶点E与正

（2）探究证明：如图2,移动三角板，使顶点£始终在正方形/BCD的对角线/C上，其他条件不变，（1）

中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立.请说明理由：

（3）拓展延伸：如图3,将（2）中的“正方形改为“矩形/BCD”，且使三角板的一边经过点3,其

EF

他条件不变，若AB=a、BC=b,求上的值.

EFb

【答案】（1）EF=EG;⑵成立，证明过程见解析；（3）访=『

【分析】（1）利用三角形全等的判定定理与性质即可得；

（2）如图（见解析），过点E分别作垂足分别为》,/,证明方法与题（1）相同；

（3）如图（见解析），过点E分别作瓦1C5C/N1CQ,垂足分别为MN,先同⑵求出4FEN=4GEM,

EFEN一一

从而可证AFENMGE",由相似三角形的性质可得否=瓦彳，再根据平行线的性质和相似三角形的性质

EN

求出取的值，即可得出答案.

【详解】（DEF=EG,理由如下：

\ED=EB

由直角二角板和正方形的性质得j/D=ZEBC=ABED=4GEF=9cp

AFED+ABEF=AGEB+ABEF=9CP

/.ZFED=/GEB

ZD=4EBG=9(T

/FED=/GEB

在"ED和RGEB中<ED=EB"ED3AGEB(ASA)：.EF=EG；

AD=ZEBG=9(T

（2）成立，证明如下:

如图，过点£分别作项垂足分别为"，/,则四边形是矩形

/.AHE1=90°「./FEI+AHEF=90°,AGEH+4HEF=90°AFEI=ZGEH

由正方形对角线的性质得，AC为/BCD的角平分线则EI=EH

ZFEI=ZGEH

在"E1和八GEH中，＜EI=EH:."EI"GEH(ASA)：.EF=EG；

ZFIE=ZGHE=9(T

(3)如图，过点£分别作£N15C,EN1C。，垂足分别为

同(2)可知，/FEN=4GEM

由长方形性质得：/D=AENC=90°,/ABC=/EMC=90°,AD=BC=b

/.EN//AD,EM//ABXCEN~KCAD^CEM~NCAB

■_E_N_=_C__E_E_M___C__E,_E_N_=_E__M_艮口口_E_N_=_A__D=_b_

"~AD'CA，^4BCA"AD~AB''EM~AB'a

[ZFEN=ZGEMEFENb

在KEN和RGEM中，RE=4GME=9W.皿~^EM;•由=前=7

【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理

与性质，较难的是题(3),通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.

课后专项训练：

1.(2022•山东济南一模)在等边MBC的两边NC所在直线上分别有两点M、N,D为AABC外一息,

且/AffiW=60。，/50C=12O。，BD=DC,探究：当必N分别在直线/2、/C上移动时，BM、NC、MN

之间的数量关系.

⑴如图1,当点朋;N近AB、AC±,且DW=£>N时，BM、NC、之间的数量关系是；

(2)如图2,点M、N在边/夙AC±,且当时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立请直接写出

你的结论；若不成立请说明理由.⑶如图3,当"、N分别在边48、◎的延长线上时，探索的以NC、

"N之间的数量关系如何？并给出证明.

【答案】⑴EW+NC=JW；⑵成立，MN=BM+NC-,(3)NC-BM=MN,见解析

【分析】(1)由'=。乂/AfflN=60。可得是等边三角形，得到然后由直

角三角形的性质即可求解；

(2)在CN的延长线上截取CM=2M,连接。/，可证白△。。/，得到NW/W=N〃DN=60。，

从而得到(SAS),即可求证；

(3)在CN上截取CM=8M,连接0对,可证得AMEW2△M/W,即可求证.

(1)解：BM、NC、AW之间的数量关系BM+NC=MN.

：DM=DN,4MDN=60。,二是等边三角形，

•.・△A8C是等边三角形，.,.//=60。，

：BD=CD,ZSDC=120°,:.NBDC="CB=30°,

£MBD=£NCD=9G。,在RtABZW和RtACDN中，

\DM=DN

OR-nr>..PA.hBDM^PX^CDN(HL),

:.乙BDM=LCDN=30°,BM=CN,:.DM=2BM,DN=2CN,

：.MN=2BM=2CN=BM+CN,故答案为：BM+NC=MN；

(2)猜想：结论仍然成立.

证明：在CN的延长线上截取CM=8M连接0％.

■：AMBD=^MICD=90°,BD=CD,

:.ADBMSADCM](SAS),

:.DM=DMr4MBD=4M]CD,Mg=BM,

■：^MDN=60°,Z5DC=120°,

乙MpN=乙MDN=60°,

:AMDN9AMpN(SAS),

:.MN=M1N=M]C+NC=BM+NC；

(3)NC-BM=MN,理由如下：

证明：在CN上截取CM："%连接砍V,DM1

由⑵得，4DBM，2DCM「：,DM=DM],

：.AMtDN=4MDN=60°,/\MDN9AMpN(SAS),

：.MN=MIN,：.NC-BM=MN.

【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识,

解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形.

2.(2022•山东德州•九年级期中)【发现与证明】

如图，正方形/BCD的对角线相交于点。，点。是正方形/ECO的一个顶点，如果两个正方形的边长都等

于。，那么正方形绕点。无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积是一个定值.

（1）请你写出这个定值，并证明你的结论.

【应用迁移】（2）如图，四边形/BCD中，AB=AD,ZB4D=ZBCD=90。,连接/C.若/。=8,求四

边形/BCD的面积.

【答案】（1）S=\ai,证明见解析；（2）32

四边形OEBF4

【分析】（1）由正方形的性质得。/=05,AOLBO,/。42=/。8尸=45。即可证得4/°£二42°尸（/"）

SS

从而得到=kA0E即可求解.

（2）过点/作1BC交2C于ANLCD,交CD的延长线于点N,可证得△/BM"AADN可得

放…四边形"MCN为正方形‘。边咿°=S正方以仆即可求解.

C1

【详解】解：⑴S—F?

证明：：四边形/BCD为正方形,

OA=OB,ZOAB=Z.OBF=45,,BO1AC

/.AAOE+ZEOB=90o,

7四边形为正方形,

ZA'OC'=90.,即N8O歹+NEOB=90。，：.AAOE=ZBOF,

又,「O/=OB,NOAB=AOBFLAOE/△BOF(ASA)

则两个正方形重叠部分的面积：

s=s+s=s+s=s=1

四边形OEB尸&BOFABOEXAEO丛BOE/BO4正方彩45CQ4

(2)如图，作/M18C交5c于/、ANLCD,交CO的延长线于点N；

则z_AMB=z_AND=：ABAD=NBCD=90。

四边形AMCN为矩形，AMAN=90o；

QABAD=90o,AMAN-ADAM=/.BAD-ADAM即ZBAM=ZDAN；

又：乙4MB=ZAND,AB=AD:.△ABMHADN(AAS),

AM=AN,四边形/MOV为正方形

S=S=—AC2=J.X82=32

四边形/BCD正方形ZMCN22

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质等等，构造全等三角形时解题

的关键.

3.（2022•山西吕梁•九年级期末）如图，已知/DCE与N/O8,OC平分N/O8.

图2(备川)

⑴如图1,/DCE与乙4。8的两边分别相交于点。、E,NAOB=NDCE=90°,试判断线段。与CE的

数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：

解：CD=CE.

理由如下：如图1,过点C作CV1OC,交OB于点、F,贝！JNOC尸=90。,

请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分.

(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程.

(3)若NAOB=120°,ZDCE=60°.

①如图3,/DCE与乙4。8的两边分别相交于点。、E时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段OE、

OC有什么数量关系？说明理由.

②如图4,NDCE的一边与N。的延长线相交时，请回答⑴中的结论是否成立，并请直接写出线段、OE、

0c有什么数量关系；如图5,ZDCE的一边与8。的延长线相交时，请回答⑴中的结论是否成立，并请直

【答案】⑴见解析；⑵证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，⑴中的结论成立，OE-OD=OC.

在图5中，⑴中的结论成立，OD-OE=OC

【分析】(1)通过ASA证明△COO”ACE尸即可得至UCD=CE；(2)过点C作CM104,CN1OB,垂足分

别为M,N,通过AAS证明ACMD^ACNE同样可得到CD=CE；(3)①方法一：过点C作CM1,

CN108垂足分别为M,N,通过AAS得到△CMMAOVE,进而得到CD=CEQM=EN,利用等量代

换得到OE+OD=ON+(W,在中，利用30。角所对的边是斜边的一半得=；。°,同理得到

ON=LoC,所以O£+OZ)=OC；方法二：以CO为一边作NFCO=60。，交OB于点、尸,通过ASA证明

△CD0”XCEF,得至I」CD=CE,OD=EF,所以OE+OD=OE+EF=OF=OC②图4：以OC为一边，

作NOCF=60。与OB交于F点，利用ASA证得ACOD组ACFE,即有CD=CE,OD=EF

得至IJOE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作/OCG=60。与0A交于G点，利用ASA证得

△CGD^ACOE,即有CD=CE,OD=EF,得至UOE=OF+EF=OC+OD.

【详解】解：(1);OC平分N/O8,Z1=Z2=45°,

.•./3=90。一/2=45。，AZ1=Z2=Z3OC=FCX'.-Z4+Z5=Z6+Z5=90»

Z1=Z3

在/\CDO与NCEF中，,OC=FCLCDO^CEF(ASA)CD=CE

N4=N6

⑵如图2,过点。作CNIOZ,CNLOB,垂足分别为N,..ZCMD=ACNE=9(T,

又:OC平分/.AOB,CM=CNf

在四边形ODCE中，AAOB+ADCE+Z1+Z2=360°,

又「/AOB=/DCE=90。,Zl+Z2=180°,

又•「Nl+N3=180。，/.Z3=Z2,

Z3=Z2

在4CMD与XCNE中,2cMD=4CNE

CM=CN

：,ACMgACNE(AAS),CD=CE.

(3)①(1)中的结论仍成立.O£+QD=OC.

理由如下：方法一：如图3⑴，过点。作CW"CN1O8,

4

DD6\

3人

BOIEFB

图3(I)图3(2)

垂足分别为M,N,ZCMD=ACNE=90°,

又丫OC平分NNO3,CM=CN,

在四边形ODCE中，^AOB+/LDCE+Z1+Z2=360°,

又：ZAOB+ADCE=60°+120°=180°,二.Zl+Z2=180°,

又•「N2+N3=180。，/.Z1=Z3,

Z1=Z3

在ACMD与ACWE中，^CMD=ACNEACMD"4CNE(AAS),：,CD=CE,DMEN.

CM=CN

:.OE+OD=OE+OM+DM=OE+OM-iEN=ON+OM.

在Rt&CMO中，N4=90°-N5=90。-30。，

-OM=1(9C,同理ON」OC,OE+OD=LOC+1.OC=OC.

2222

方法二：如图3(2),以CO为一边作/尸CO=60。，交。8于点尸，

.OC平分乙405,Zl=Z2=60°,

Z3=180°-Z2-ZFCO=60°,Z1=Z3,Z3=Z2=AFCO,

二.ACO尸是等边三角形，.1CO=C/，

丁NDCE=N4+N5=60°,ZFCO=Z6+Z5=60°,Z4=Z6,

Z1=Z3

在kCDO与kCEF中，\CO=CFACDO^ACEF(ASA),

Z4=Z6

CD=CE,OD=EFOE+OD=OE+EF=OF=OC.

②在图4中，⑴中的结论成立，OE-OD=OC.

如图，以OC为一边，作NOCF=60。与OB交于F点

■.■ZAOB=120°,OC为NAOB的角平分线二/COB=NCOA=60°

又.:/OCF=60°ACOF为等边三角形.-.OC=OF

•••zCOF=ZOCD+ZDCF=60°,ZDCE=ZDCF+ZFCB=60°/.ZOCD=ZFCB

X•••zCOD=180°-ZCOA=180°-60°=120°ZCFE=180°-ZCFO=180°-60°=120°

ZCOD=ZCFEACOD^ACFE(ASA)；.CD=CE,OD=EF

；.OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC

在图5中，⑴中的结论成立，OD-OE=OC.

如图，以0c为一边，作NOCG=60。与OA交于G点

•.•/AOB=120。，0C为NAOB的角平分线二NCOB=/COA=60°

又-//OCG=60。ACOG为等边三角形,OC=OG

'.1/COG=ZOCE+ZECG=60°,ZDCE=ZDCG+ZGCE=60°ZDCG=ZOCE

又:：乙C0E=180°-ZCOB=180°-60°=120°ZCGD=180°-ZCGO=180°-60°=120°

ZCGD=ZCOE.-.△CGD^ACOE(ASA)

..CD=CE,OE=DG.-.OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC

【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.

4.(2022•江苏•九年级专题练习)如图，已知乙408=60。，在N/OB的角平分线OM上有一点C,将一个

120。角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线相交于点。,E.

(1)如图1,当/DCE绕点C旋转到与。/垂直时，请猜想与。C的数量关系，并说明理由；

(2)当NDCE绕点C旋转到CD与。4不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；

(3)如图3,当/DCE绕点C旋转到点。位于0/的反向延长线上时，求线段。2。石与OC之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】（1）OD+OE=y/3OC,见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）OE-OD=^OC

【分析】（1）先判断出NOCE=60。，再利用特殊角的三角函数得出0D=乎℃,同。£=步℃,即可

得出结论；（2）同（1）的方法得0F+0G=60C,再判断出4CFD织ACGE,得出DF=EG,最后等量

代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论.

【详解】解：（1）QOM是乙4。5的角平分线

ZAOC=4BOC=LZAOB=30

2

,：CDLOA,:.NODC=90°,AOCD=60°

NOCE=Z.DCE-NOCD=60°

在放△OC。中，OQ=OCcos3（T=芋oc,

同理：OE=*OC;.OD+OE=®C

（2）（1）中结论仍然成立，理由：

过点C作CFLCM于尸，CG，。B于G

ZOFC=ZOGC=90°

,:NAOB=60°ZFCG=120°

由（1）知，OF=^_OC,OG=^_OCOF+OG=

■：CFLOA,CGLOB且点C是NN08的平分线OM上一点：.CF=CG

'：/DCF=120°,ZFCG=120°ADCF="CG,:.KCFD=XCGE

：,DF=EGOF=OD+DF=OD+EG,OG=OE—EG

OF+OG=OD+EG+OE—EG=OD+OEOD+OE=gC

（3）结论为：OE-OD=4k）C.

理由：过点C作CFLOA于F,CGLOB于G,ZOFC=ZOGC=90°,

•/ZAOB=60°,/.ZFCG=120°,

同（1）的方法得,OF=#OC,OG=?^OC,/.OF+OG=^OC,

vCFlOA,CG1OB,且点C是/AOB的平分线OM上一点，

・•.CF=CG,•./DCE=120。，ZFCG=120°,

.•./DCF=/ECG,/.ACFD^ACGE,，DF=EG,

/.OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE—EG,

.'.OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD,.'.OE-OD=小OC.

【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，

正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键.

5.（2022洁林白城•九年级期末）已知/AOB=90。，在NAOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的

直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA,OB（或它们的反向延长线）相交于点D,E.

当三角板绕点C旋转到CD与0A垂直时（如图①），易证：OD+OE="OC；

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若

成立，请给予证明：若不成立，线段OD,OE,OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】图②中OD+OE=J?0c成立.证明见解析；图③不成立，有数量关系：OE-OD=#OC

【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得ACKD组△CHE,进而可得出证明；判断出结

果，解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得

到结论.

【详解】解：图②中OD+OE=#OC成立•

证明：过点C分别作OA,0B的垂线，垂足分别为P,Q

有4CPD白△CQE,.-.DP=EQ,

•.OP=OD+DP,OQ=OE-EQ,

X/OP+OQ=V？0C>

即OD+DP+OE-EQ=/OC,

.'.OD+OE=^/2OC.图③不成立，

有数量关系：OE-OD=>/?OC

过点C分另ij作CK^OA,CH1OB,

,.OC为NAOB的角平分线，1.CK1OA,CH±OB,

.-.CK=CH,ZCKD=ZCHE=90°,

又.二/KCD与/HCE都为旋转角，

ZKCD=ZHCE,.-.ACKD^ACHE,，DK=EH,

.'.OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由(1)知：0H+0K=V20C,

.'.OD,OE,OC满足OE-OD=7IOC.

【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变,

两组对应点连线的交点是旋转中心.

6.(2022•湖北武汉・中考真题)已知是的角平分线，点E,厂分别在边NC,SC±,AD=m,BD=n,

△ADE与ABDF的面积之和为S.

图1图2图3图4

⑴填空：当N/1C3=90。，DELAC,。尸18c时，

①如图1,若NB=45。,m=5j2,贝/=,S=;

②如图2,若NB=60。,m=4^3,则"=，S=;

(2)如图3,当乙4cB=N瓦邛=90。时，探究S与加、〃的数量关系，并说明理由：

⑶如图4,当4C5=60。，NEZ卯=120。，m=6,〃=4时，请直接写出S的大小.

【答案】⑴①5卷，25；②4；852)5=；加"(3)S=60

【分析】(1)①先证四边形DECF为正方形，再证△/BC为等腰直角三角形，根据。平分N/C3,得出

CDLAB,且然后利用三角函数求出8P=2Dcos45o=5,r>F=5Dsin45°=5,/£=/Dcos45o=5即

可；②先证四边形DEC尸为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出/4=90。-/8=30。，利用30。直角三角

形先证求出DE=340=:*4事=2^/3，利用三角函数求出AE=ADcos3Q°=Q,DF=DE=2串,SF=r>Man30o=2,

8D=DF+sin60o=4即可；(2)过点。作。HB4C于H,DGLBC^G,在8C上截取m=BG,连接D/,先

证四边形。GCH为正方形，再证△。尸G组△。即(ASA)与ADBG94DIH(SAS),然后证明

/3=180。-/4-/。田=90°即可；(3)过点。作DP_L/C于尸，DQLBC^Q,在尸C上截取PR=02,

连接DR,过点/作/S_LD及于S,先证明△。。尸组△£>「£,△DBQ/ADRP,再证△D3尸织△。尺瓦求出

ZADR=ZADE+ZBDF=180°-ZFDE=60°即可.

(1)解：①CB=90。，DEVAC,DFIBC,CO是A4BC的角平分线，

.•.四边形。EC尸为矩形，DE=DF,二四边形DECF为正方形，

•••Z3=45°,.•.N/=90°-N3=45°=N8,..・△/8C为等腰直角三角形，

■:CD平分/4CB,：.CD±AB,且AD=BD=m,:m=5",BD=n=542,

:.BF=BDcos45°=5,DF=BDsin450=5,AE=ADcos45°=5,ED=DF=5,

-S=+=故答案为5#,25；

②•.•44c3=90。，DELAC,DF1BC,CO是A4BC的角平分线，

二四边形DECF为矩形，DE=DF,二四边形DECF为正方形，

ZS=60o,二//=90°-/8=30°,

：.DE=；AD=4卓=2*,/£=/Dcos30o=6,DF=DE=2p,

..•/2。斤=90°-/8=30°,：.BF=DFtan30°=2,：.BD=DF^sin60°=4,:.BD=n=4,

'S=S呼+$岫前=；义2?义6+；义2义2事=80,故答案为：4；8石；

△ADELBDFZZ

(2)解：过点。作ZWL/C于“，DGLBC^G,在HC上截取H/=BG,连接。/,

ZDHC=ZDGC=ZGCH=90°,：.四边形DGC”为矩形，

•rCO是A/BC的角平分线，DHLAC,DGLBC,：.DG=DH,

，四边形。GCH为正方形，.,./GD〃=90。，

AEDF=90。,ZFDG+ZGDE=ZGDE+ZEDH=90°,

ZFDG=ZEDH,在ADFG和LDEH中，

ZFDG=AEDH

-DG=DH,.-.^DFG^ADEH(ASA)：.FG=EH,在△DBG和△。田中，

ZDGF=ZDHE

DG=DH

ZDGB=ADH1:ADBG94DIH(SAS),:.NB=/DIH,DB=DI=n,

BG=IH

•；NDIH+//=/8+/N=90°,:.AIDA=A80°-/A-/DIH=90°,:.S^ADI=^AD-DI=^mn,

,-,S=S+S=S+S=S=Lmn.

⑶过点。作DPL4c于尸，DQLBC^-Q,在尸C上截取PR=Q8,连接。尺过点工作NSLDR于S,

;是A/BC的角平分线，DPLAC,DQLBC,:.DP=DQ,

ZACB=60°ZQDP^20°,■:NEDF=120°,NFDQ+NFDP=NFDP+/EDP=120。，：.NFDQ=NEDP,

在△。F°和△Z)EP中，

ZFDQ=ZEDP

'DQ=DP,.,.△DFQ0ADEP(ASA):.DF=DE,AQDF=£PDE,在△D8Q和△DR尸中，

ADQF=ADPE

DQ=DP

ADQB=ADPR.•.△DBQ94DRP(SAS),:.NBDQ=NRDP,DB=DR,

BQ=RP

ZBDF-ZBDQ+ZFDQ=ZRDP+