中考数学重难点题型-几何探究题解析

中考数学重难点题型一几何探究题解析

考点1三角形几何探究

1.如果三角形的两个内角a与0满足2a+0=9O。，那么我们称这样的三角形为“准

互余三角形二

(1)若^ABC是“准互余三角形”，ZC>90°,ZA=60°,则/B=H。；

(2)如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是NBAC的平

分线，不难证明4ABD是“准互余三角形”试问在边BC上是否存在点E(异于点

D),使得4ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请

说明理由.

(3)如图2,在四边形ABCD中，AB=7,CD=12,BD1CD,ZABD=2ZBCD,

且^ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长

解：(I)'.'△ABC是“准互余三角形”,ZC>90°,ZA=60°,.*.2ZB+ZA=90°,

解得/B=15。.

(2)如答图1,在RtZ^ABC中,*.，ZB4-ZBAC=90°,ZBAC=2ZBAD,/.ZB

+2ZBAD=90°,

AABD是“准互余三角形”.

VAABE也是“准互余三角形”，

只有2NB+ZBAE=90°.

"：ZB+ZBAE+ZEAC=90°,/.ZCAE=ZB.

VZC=ZC=90°,

/.△CAE^ACBA,ACA^CECB,

图2

(3)如答图2,斗务ABCD沿BC翻折得至IJaBCF,

.,.CF=CD=12,ZBCF=ZBCD,ZCBF=ZCBD.

VZABD=2ZBCD,ZBCD+ZCBD=90°,

AZABD+ZDBC+ZCBF=180°,二点A,B,F共线，

AZA+ZACF=90°,.\2ZACB+ZCAB^90°,

二.只有2NBAC+NACB=90。，/.ZFCB=ZFAC.

VZF=ZF,AAFCB^AFAC,ACF2=FBFA,设FB=x,则有x(x+7)=122,

•*.x=9或x=—16(舍去)，

.'.AF=7+9=16,在RtZiACF中，AC=AF2+CF2=162+122=20.

2.将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB,

与AC相交于点G,BC=23cm.

(1)求GC的长；

(2)如图2,将4DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C,另一直角边

DE与AC相交于点H,分别过H,C作AB的垂线，垂足分别为M,N,通过观

察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想.

(3)在(2)的条件下，将4DEF沿DB方向平移得到当DE恰好经过(1)

中的点G时，请直接写出DD的长度.

图1图2图3

解：⑴在RtaABC中，VBC=23,ZB=60°,

.\AC=BCtan60o=6,AB=2BC=43,

An

在Rt^ADG中，AG==4,

cos30°

.\CG=AC-AG=6-4=2.

(2)结论：DM+DN=23.

理由：VHM±AB,CN±AB,

，ZAMH=ZDMH=ZCNB=ZCND=90°.

VZA+ZB=90°,ZB+ZBCN=90°,

.\ZA=ZBCN,AAAHM^ACBN,•••黑=黑①,

同理可证：ADHM^ACDN,②

MHDM

由①②可得AMBN=DN-DM,，DM=BN

AMDN

.DM+AM=BN+DN.AD=BD

AM—DN'**AM-DN

VAD=BD,.,.AM=DN,

.\DM+DN=AM+DM=AD=23.

第2题答图

(3)如答图，作GK〃DE交AB于K.

在AAGK中，AG=GK=4,ZA=ZGKD=30°,作GH_LAB于H.

则AH=AGcos3(r=23,

可得AK=2AH=43,此时K与B重合.

.•.DD'=DB=23.

考点2四边形几何探究

3.我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形.

概念理解

(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形;

性质探究

(2)如图1,在邻对等四边形ABCD中，ZABC=ZDCB,AC=DB,AB>CD,

求证:NBAC与NCDB互补;

拓展应用

(3)如图2,在四边形ABCD中，ZBCD=2ZB,AC=BC=5,AB=6,CD=4.

在BC的延长线上是否存在一点E,使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存

在，求出DE的长；如果不存在，说明理由.

(1)解：矩形或正方形.

(2)证明：如答图1,延长CD至E,使CE=BA,连接BE.

AB=EC,

在aABC和AECB中，,NABC=NECB,

IBC=CB,

，AABC^AECB(SAS),

BE=CA,ZBAC=ZE.

VAC=DB,.\BD=BE,AZBDE=ZE,

.•.NCDB+NBDE=NCDB+NE=NBAC+NCDB=180°,即NBAC与NCDB

互补.

图2

(3)解：存在这样一点E,使得四边形ABED为邻对等四边形，如答图2,在BC

的延长线上取一点E,使得CE=CD=4,连接DE,AE,BD,则四边形ABED

为邻对等四边形.理由如下:

VCE=CD,.\ZCDE=ZCED.

VZBCD=2ZABC,

/.ZABC=ZDEB,.,.ZACE=ZBCD.

AC=BC,

在AACE和ABCD中，,NACE=NBCD,

CE=CD,

Z.AACE^ABCD(SAS),

.,.BD=AE,四边形ABED为邻对等四边形.

ZCBA=ZCAB=ZCDE=ZCED,

/.△ABC^ADEC,

.AB6DEDE.224

..===,..DE=

BC5CE45

4.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0。VaV360。)，得到矩形AEFG.

D

BA

备用图

(1)如图，当点E在BD上时.求证：FD=CD；

(2)当a为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.

解：(1)由旋转可得，AE=AB,ZAEF=ZABC=ZDAB=90°,EF=BC=AD,

，ZAEB=ZABE.

ZABE+ZEDA=90°=ZAEB+ZDEF,

.,.ZEDA=ZDEF.

VDE=ED,/.△AEDAFDE(SAS),

.*.DF=AE,

VAE=AB=CD,.*.CD=DF.

(2)当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：

①当点G在AD右侧时，如答图1,取BC的中点H,连接GH交AD于M,

VGC=GB,AGHIBC,，四边形ABHM是矩形，

.\AM=BH=1AD=1AG,

22

，GM垂直平分AD,.,.GD=GA=DA,

...△ADG是等边三角形，，NDAG=60。，

.••旋转角a=60。；

图1图2

②当点G在AD左侧时，如答图2,同理可得4ADG是等边三角形，.'./DAG

=60°,

，旋转角a=360。-60。=300。.

综上，a为60。或300。时,GC=GB.

5.如图1,边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A,B重合),

点F在BC边上(不与点B,C重合).

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依此操作下去…

(1)图2中的4EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形,求此时线

段EF的长；

(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE=BF：

②以①中的结论为前提，设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x

的函数关系式及面积y的取值范围.

解：(1)如题图2,由旋转性质可知EF=DF=DE,则4DEF为等边三角形.

_AD=CD,

在RtAADE和RtACDF中，

[DE=DF,

RtAADE^RtACDF(HL)..\AE=CF.

设AE=CF=x,则BE=BF=4-x

•••△BEF为等腰直角三角形.

.*.EF=2BF=2(4-x).

/.DE=DF=EF=2(4-x).

在RtAADE中,由勾股定理得AE?+AD2=DE2,即X?+42=[2(4—X)R

解得xi=8—43,X2=8+43(舍去).

.\EF=2(4-x)=46-42.

△DEF的形状为等边三角形，EF的长为46-42.

图1

第5题答图

(2)①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF.理由如下：

依题意画出图形，如答图所示，连接EG,FH,作HNLBC于N,GM_LAB于

M.

由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE,

四边形EFGH是菱形,

由△EGMgZ\FHN,可知EG=FH,

・•・四边形EFGH的形状为正方形，••・NHEF=90。.

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,/.Z1=Z3.

VZ34-Z4=90°,Z2+Z3=90°,AZ2=Z4.

Z1=Z3,

在AAEH和4BFE中，.EH=EF,

.Z2=Z4,

A△AEH^ABFE(ASA),/.AE=BF.

②利用①中结论，易证△AEH,ABFE,ACGF,aDHG均为全等三角形,

.•.BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.

2

，y=S正方形ABCD—4s“£11=4x4—4x；，x<4—x)=2x2—8x+16,/.y=2x—8x+

16(0<x<4).

Vy=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,

，当x=2时，y取得最小值8;当x=0或4时，y=16.

••.y的取值范围为80yV16.

6.提出问题

如图，已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点P是线段AD边上的一动点（不

与端点A,D重合），连接PC,过点P作PE_LPC交AB于点E,在点P的运动

过程中，图中各角和线段之间是否存在某种关系和规律？

特殊求解

当点E为AB的中点，且AP>AE时，求证：PE=PC.

深入探究

当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中

BE的取值范围.

AD

BC

备用图

解：特殊求解

VPE±PC,,,.ZAPE+ZDPC=90°.

VZD=90°,/.ZDPC+ZDCP=90°.

，ZAPE=ZDCP.

VZA=ZD=90°,

ADAF

AAPE^ADCP,，=

DCDP

设AP=x,则有DP=3—x.

而AE=BE=1,/.x(3—x)=2xl,

解得Xl=2,X2=l.

VAP>AE,；.AP=2,AE=PD=1,

AAAPE^ADCP,：.PE=PC.

深入探究

设AP=x,AE=y,由APDP=AEDC,

可得x(3—x)=2y.

；.y=4(3—x)=-^x2+^x=—\x—^)2+^.

222228

aQ

.,.在0<x<3范围内，当x=r时，y最大=.

28

•••当AE=y取得最大值时，BE取得最小值为2—

88

7

...BE的取值范围为：SBE<2.

O

7.已知Rtz^OAB,ZOAB=90°,ZABO=30°,斜边OB=4,将Rt^OAB绕点

。顺时针旋转60。，如图1,连接BC.

(1)填空：ZOBC=60°；

(2)如图1,连接AC,作OP_LAC,垂足为P,求OP的长度；

⑶如图2,点M,N同时从点O出发，在aOCB边上运动，M沿O一C-B路

径匀速运动，N沿O-B-C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M

的运动速度为L5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒,

△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值.最大值为多少?

图1图2备用图

解：(1)由旋转性质可知OB=OC,ZBOC=60°,

.,.△OBC是等边三角形,

(2)如答图1中,

V0B=4,ZABO=30°,

.,.OA=1OB=2,

2

AB=3OA=23,

.，.SAOC=1OAAB=1X2X2

A3=23.

22

VABOC是等边三角形,

.,.ZOBC=60°,ZABC=ZABO+ZOBC=90°,

.*.AC=AB2+BC2=2\r(3)2+42=27,

2SAOC

A=43=2：

AC~27-7

第7题答图2

Q

⑶①当OVxg时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NELOC

且交OC于点E.如答图2,

则NE=ON-sin60o=；x,

113

ASOMN=-OM-NE=x1,5xxx,

A222

o

②当;Vxa时，M在BC上运动，N在OB上运动.如答图3,

作MH_LOB于H.则BM=8—1.5x,MH=BMsin60°=；(8—1.5x),

，y=XONXMH=-X2+23X.

,28

当x=；时，y取得最大值，最大值为

第7题答图4

③当4Vxs4.8时，M,N都在BC上运动，作OG_LBC于G.如答图4,

MN=12-2.5x,0G=AB=23,

153

.\y=MN0G=123-x,

722

当x=4时，y有最大值，最大值为23.

综上所述，y有最大值，最大值为

8.在菱形ABCD中，NABC=60。，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右

侧作等边^APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.

(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE,BP与CE的数量关系

是PB=EC.CE与AD的位置关系是CELAD：

⑵当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明;

若不成立，请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)；

(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时，连接BE.若AB=23,BE=219,

求四边形ADPE的面积.

第8题答图1

解：（1）结论：PB=EC,CE1AD.

理由：如答图1中，连接AC

•・•四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,AAABC,4ACD都是等边三角形,

/ABD=/CBD=300.

•:△APE是等边三角形，

.*.AB=AC,AP=AE,ZBAC=ZPAE=60°,

/.△BAP^ACAE,

・・・BP=CE,ZABP=ZACE=30°,

延长CE交AD于H,

VZCAH=60°,.*.ZCAH+ZACH=90o,

.•.ZAHC=90°,BPCE1AD.

E

(2)结论仍然成立.

理由：如答图2,连接AC交BD于0,设CE交AD于H.

•四边形ABCD是菱形，NABC=60。，.'.△ABC,Z\ACD都是等边三角形,

ZABD=ZCBD=30°.

•「△APE是等边三角形，/.AB=AC,AP=AE,ZBAC=ZPAE=60°,

/.△BAP^ACAE,

.,.BP=CE,ZABP=ZACE=30°,

VZCAH=60°,.*.ZCAH+ZACH=90°,

.,.ZAHC=90°,即CE_LAD.

c

图4

第8题答图3

(3)如答图3,连接AC交BD于点O,连接CE交AD于点H,

由(2)可知ECLAD,CE=BP,

在菱形ABCD中，AD〃BC,

AECIBC.

VBC=AB=23,BE=219,

・\在Rt^BCE中，EC=2\r(19)2-2\r(3)2=8,

BP=CE=8.

VAC与BD是菱形的对角线，

AZABD=1ZABC=30°,AC1BD,

2

BD=2BO=2ABcos30°=6,

.*.OA=1AB=3,DP=BP-BD=8-6=2,

2

.,.0P=0D+DP=5,

在RtaAOP中，AP=AO2+OP2=27,

四边形2

•\SADPE=SZiADp+SZiAEP=；DPAO+；AP2=|x2x3+jxQ7)=83.

考点3三角形、四边形混合几何探究

9.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1,图2,图3

中，AF,BE是aABC的中线，AF1BE,垂足为P,像AABC这样的三角形均

称为“中垂三角形"，设BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索

(1)如图1,当NABE=45。，c=2啦时，a=25,b=2&

如图2,当NABE=30。，c=4时，a=2j3,b=2Z

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a?,b2,c2三者之间的关系，用等式表示出来,

并利用图3证明你发现的关系式.

拓展应用

(3)如图4,在DABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE1EG,

AD=2®AB=3,求AF的长.

解：（1）：AFJ_BE,ZABE=45°,

.•.AP=BP=*AB=2.

2

VAF,BE是aABC的中线，

；.EF〃AB,EF=：AB=W,

ZPFE=ZPEF=45°,/.PE=PF=1.

在RtZSFPB和R3EA中，AE=BF=#+22=3,

/.AC=BC=2A/5,，a=b=2g

如答图1,连接EF.

同理可得EF=k<4=2.

2

•「EF〃AB,/.APEF^APBA,

.PF=PE=EF=1

•，Ap-PB~AB~2.

在RtZ^ABP中，AB=4,ZABP=30°,

/.AP=2,PB=2A/3,/.PF=1,PE=3.

在Rt^APE和RtZSBPF中，AE=V7,BF=\/13,

，a=213,b=27.

⑵猜想:a2+b2=5c2,证明如下:

如答图2,连接EF.

设/ABP=a,AP=csina,PB=ccosa,

由⑴同理可得PF=；PA=csma,pE=lpB=ccosa,

AE2=AP2+PE2=c2sin2a+CC0Sa,

4

2•2

BF『PB?+PF2=C2cos2a+°Sina,

4

.,b、，।c2cos2a/a、，c2sin2a.

..(r=cz9sin9za-|-,()z=十c/9cos'a?,

2424

.a2।b2c2sin2a.,.c2cos2a

..十=+c2cosz?a+czsinz?a+,

4444

:.a2+b2=5c2.

(3)如答图3,连接AC,EF交于点H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点

为P.

•・•点E,G分别是AD,CD的中点，.•・EG〃AC

VBE1EG,ABE1AC.

•四边形ABCD是平行四边形，，AD〃BC,AD=BC=25,/.ZEAH=ZFCH.

VE,F分别是AD,BC的中点,

.，.AE=1AD,BF=1BC,

22

.\AE=BF=CF=1AD=5.

2

•「AE〃BF,.•.四边形ABFE是平行四边形，

.\EF=AB=3,AP=PF.

ZEAH=ZFCH,

在AAEH和△CFH中，，/AHE=NFHC,

AE=CF,

.,.△AEH^ACFH,.\EH=FH,AEP,AH分别是AAFE的中线，

由(2)的结论得AF2+EF2=5AE2,

.\AF2=5(5)2-EF2=16,，AF=4.

或连接F与AB的中点M,证MF垂直BP,构造出“中垂三角形"，由AB=3,

BC='AD=5及(2)中的结论，直接可求AF.

10.我们定义：如图1,在AABC中，把AB绕点A顺时针旋转a(0oVaV180。)

得到AB1把AC绕点A逆时针旋转°得到AC,连接BC1当a+B=180。时，我

们称△ABC，是4ABC的“旋补三角形”,△AB，。边上的中线AD叫做4ABC

的“旋补中线''，点A叫做“旋补中心”.

特例感知

⑴在图2,图3中，△ABC是AABC的“旋补三角形"，AD是AABC的“旋补中

线”

①如图2,当AABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=jBC；

②如图3,当NBAC=90。，BC=8时，则AD长为生

猜想论证

(2)在图1中，当AABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予

证明.

拓展应用

(3)如图4,在四边形ABCD,ZC=90°,ZD=150°,BC=12,CD=20DA

=6.在四边形内部是否存在点P,使APDC是aPAB的“旋补三角形”？若存在，

给予证明，并求^PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由.

解：（1）①:△ABC是等边三角形，

，AB=BC=AC=AB'=AC'.丁DB'=DC',

.,.ADIB'C；

VZBAC=60°,NBAC+NB'AC'=180。，

.•・NB'AC'=120。，.•.NB'=NC'=30。，

.•.AD=-AB'=-BC.

22

②•••/BAC=90。，ZBAC+ZBrACr=180°,

.•.NB'AC'=NBAC=90°.

VAB=AB\AC=AC,AABAC^AB'AC,

.*.BC=B,C;

：BD=DC,.*,AD=1B,C=1BC=4.

22

(2)结论：AD=；BC

证明如下：

如答图1,延长AD到M,使得AD=DM,连接BM,CM.

VB,D=DC,,AD=DM,，四边形ACMB，是平行四边形，，AC=B，M=AC.

第10题答图1

•・・/BAC+/B，AC=180。，

ZB,AC+ZAB,M=I8O°,

ZBAC=ZMB,A.VAB=AB;

.,.△BAC^AAB'M,

.•.BC=AM,.*.AD=1BC.

2

(3)存在.理由：如答图2,延长AD交BC的延长线于M,作BE1AD于E,作

线段BC的垂直平分线交BE于P,交BC于F,连接PA,PD,PC,作4PCD

的中线PN,

第10题答图2

连接DF交PC于O.

VZADC=150°,

.•.ZMDC=30°.

在Rtz^DCM中，CD=23,ZDCM=90°,ZMDC=30°,

/.CM=2,DM=4,ZM=60°.

在RtaBEM中，ZBEM=90°,BM=14,ZMBE=30°,.,.EM=^BM=7,ADE

=EM-DM=3.

VAD=6,.,.AE=DE/.,BE±AD,

.*.PA=PD,PB=PC.

在Rt/XCDF中，CD=23,CF=6,

.*.tanZCDF=3,AZCDF=60°=ZCPF,

易证△FCPgZ\CFD,/.CD=PF.VCD^PF.

••・四边形CDPF是矩形，•••NCDP=90。，

ZADP=ZADC-ZCDP=60°,

AADP是等边三角形，Z.ZADP=60°.

VZBPF=ZCPF=60°,/.ZBPC=120°,

AZAPD+ZBPC=180°,

APDC是aPAB的“旋补三角形”.

在Rt^PDN中，ZPDN=90°,PD=AD=6,DN=3,.*.PN=DN2+PD2=

\r(3)2+62=39.

考点4多边形几何探究

11.【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60。后，发现旋转前后两图

形有另一交点O,连接AO,我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕

点A逆时针旋转60。后，交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称/OAB为“叠

弦角"，AAOP为“叠弦三角形”；

【探究证明】

⑴请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(AAOP)是等边三角形.

(2)如图2,求证：ZOAB=ZOAE,；

【归纳猜想】

⑶图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为建，242;

(4)图n中，“叠弦三角形”是等边三角形(填“是”或“不是”);

⑸图n中，“鲁弦角”的度数为60。一侬2.(用含n的式子表示)

n

图3(m=6)

解：(I)、•四边形ABCD是正方形,

由旋转知，AD=AD;ZD=ZDz=90°,ZDAD,=ZOAP=60°,

/.ZDAP=ND'AO,△APD^△AOD^ASA),

/.AP=AO.

VZOAP=60°,.•.△AOP是等边三角形;

(2)如答图，作AMLDE于M,作ANJ_CB于N.

•.•五边形ABCDE是正五边形,

由旋转知，AE=AE\ZE=ZEf=108°,NEAE'=NOAP=60。,

：.ZEAP=ZE'AO.

在RtZ\AEM和RtZ\ABN中，ZAEM=ZABN=72°,AE=AB,

/.RtAAEMRtAABN(AAS),

NEAM=NBAN,AM=AN.

在RtAAPM禾口RtAAON中，AP=AO,AM=AN,

，RtAAPM^RtAAON(HL),

/.ZPAM=ZOAN,/.ZPAE=ZOAB,

二./OAE'=NOAB.

(3)由(1)知，AAPD^AAOD；

ZDAP=ZD,AO.