圆的综合问题-2024年中考数学临考押题（浙江专用）（全解全析）

押浙江卷第24题

(圆的综合问题)

押题方向：圆的综合问题

1命题探究卜

中/考/命/题/预/测

2023年浙江真题考点命题趋势

从近几年浙江各地中考来看，圆的综合问题

2023年绍兴卷、湖州卷、、衢州卷第21题

经常出现在压轴题；预计2024年浙江卷还将重视

台州卷、杭州卷、金华卷第23题圆的综合题

圆综合问题(圆的相关概念与定理、相似、勾股、

宁波卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第24题

三角函数、三角形、四边形等)的考查。

1真题顾i

中/考/真/题/在/线

1.(2023•杭州)如图，在。。中，直径垂直弦C。于点E,连接AC,AD,BC,作于点尸,

交线段02于点G(不与点O,2重合)，连接。尸.

(1)若BE=1,求GE的长.

(2)求证：BC2=BG'BO.

(3)FO=FG,猜想NC4O的度数，并证明你的结论.

【思路点拨】(1)由垂径定理可得NAEO=90°,结合可得ND4E=/FC。，根据圆周角定理

可得/DAE=/BCD,进而可得/2C£)=NPCD,通过证明△BCE0△GCE,可得GK=BE=1；

(2)证明△ACBs/icEB,根据对应边成比例可得8c2=BA•BE,再根据A8=2B。，BE=^BG,可证

2

BC2=BG'BO；

(3)方法一：设NZMEuNCAEna,ZFOG=ZFGO=^,可证a=90°-p,ZOCF=90-3a,通过

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SAS证明△COP会/XA。尸，进而可得NOC/=/OAF即90°-3a=a,则NCAD=2a=45°.方法二:

延长尸。交AC于点H,连接OC,证明是等腰直角三角形，即可解决问题.

【解析】(1)解：直径垂直弦CD,

AZA£D=90°,

：.ZDAE+ZD=90°,

CFLAD,

：.ZFCD+ZD=90°,

：.ZDAE=ZFCD,

由圆周角定理得ND4E=/BCQ,

：.ZBCD=ZFCD,

在△BCE和△GCE中，

，ZBCE=ZGCE

'CE=CE，

ZBEC=ZGEC

.♦.△BCE冬AGCE(ASA),

；.GE=BE=1；

(2)证明：TAB是。。的直径，

ZACB=90°,

ZACB=ZCEB=90°,

,?ZABC=ZCBE,

：./\ACB^/\CEB,

.BC=BA

"BEBC"

:.Bd=BA,BE,

由(1)知GE=BE,

：.BE=^BG,

2

\'AB^2BO,

:.BC?=BA-BE=2BO・、BG=BG,BO；

2

(3)解：ZCAD=45°,证明如下：

解法一：如图，连接OC,

\"FO=FG,

：.ZFOG=ZFGO,

;直径A8垂直弦CD,

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；.CE=DE,ZAED=ZAEC=90°,

AAACE^AADE(SAS),

・・・ZDAE=ZCAE,

设NDAE=NCAE=a,NFOG=NFGO=B，

则ZFCD=ZBCD=/DAE=a,

'：OA=OCf

：.ZOCA=ZOAC=a,

VZACB=90°,

：.ZOCF=ZACB-ZOCA-ZFCD-ZBCZ)=90°-3a,

・.・NCGE=NOG尸=0,ZGCE=a,ZCGE+ZGCE=90°,

/.p+a=90°,

・・・a=90°-p,

NC0G=N0AC+N0CA=a+a=2a,

・・・NCO/=NCOG+NGOb=2a+0=2(90°-0)+0=180°-0,

AZCOF=NAO尸，

在△COb和△AO/中，

<CO=AO

,NCOF=NAOF，

OF=OF

/.△COF^AAOF(SAS),

：.ZOCF=ZOAFf

即90°-3a=a,

/.a=22.5°,

：.ZCAD=2a=45°.

解法二：

如图，延长尸。交AC于点H,连接。C,

■:FO=FG,

:・/FOG=/FGO,

：.ZFOG=ZFGO=ZCGB=ZB,

:・BC〃FH,

TAB是。。的直径，

AZACB=90°,

AZACB=ZAHO=90°,

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'：OA=OC,

:.AH=CH,

：.AF=CF,

'：CFLAD,

...AAFC是等腰直角三角形,

AZCA£>=45°.

【点睛】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判

定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要

大胆猜想，再逐步论证.

2.(2023•湖州)如图，在RtaABC中，NAC3=90°,点。在边AC上，以点。为圆心，OC为半径的

半圆与斜边相切于点。，交OA于点E,连结08.

(1)求证：BD=BC.

(2)己知OC=1,ZA=30°,求AB的长.

B.

CoEA

【思路点拨】(1)根据切线性质得到/。。8=/。。2=90°,再根据HL证明之Rt^OCB,从

而得到结论；

(2)分别在RtZ^OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt^ABC中，利用三角函数求出即可求出

的长.

【解析】(1)证明如图，连结。£),

•半圆。与A2相切于点

J.ODLAB,

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VZACB=90a,

：.ZODB^ZOCB^90°,

在Rt/XODB和RtAOCB中，

rOB=OB,

"OD=OC,

ARtAODB^RtAOCB(HL),

:.BD=BC；

(2)解如图，VZA=30°,ZACB=90°,

AZABC=60°,

VRtAODB^RtAOCB,

ZCB0=ZDB0-j-ZABC=30o，

在RtZXOBC中，

OC=1,

•**BC=7_-=V3'

tan30

在RtZXABC中，

AB=.=2V3-

sinJU

【点睛】本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题

的关键.

3.(2023•金华)如图，点A在第一象限内，OA与x轴相切于点8,与y轴相交于点C,D,连结A2,过

点A作AH,CD于点"

(1)求证：四边形为矩形.

(2)已知OA的半径为4,OB=47＞求弦C£)的长.

【思路点拨】⑴根据切线的性质得到4?8轴根据垂直的定义得到/AHO=NHO8=/OBA=90。，

根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；

(2)连接AD,根据矩形的性质得到AH=OB=板,根据勾股定理得到DH=^AD2_AH2=

山2_(行)2=3,根据垂径定理即可得到结论.

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【解析】(1)证明：,；OA与x轴相切于点3,

轴

X".,AHXCZ),HOLOB,

：.NAHO=NH0B=N0BA=9Q°,

四边形AHOB是矩形；

(2)解：连接4£>,

•••四边形AHOB是矩形，

:.AH=OB=S，

'：AD=AB=4,

DH=VAD2-AH2="-47)2=3,

VAHXCD,

【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题

的关键.

4.（2023•绍兴）如图，是。。的直径，C是O。上一点，过点C作O。的切线C。，交的延长线于

点。，过点A作AEJ_C£）于点E.

（1）若NE4c=25°,求NACO的度数；

（2）若。8=2,BD=\,求CE的长.

E

【思路点拨】（1）由垂直的定义得到/AEC=90°,由三角形外角的性质即可求出NACO的度数；

（2）由勾股定理求出C。的长，由平行线分线段成比例定理得到型代入有关数据，即可求出CE

CE0A

的长.

【解析】解：（1）•..AEJ_C£）于点E,

ZA£C=90°

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AZACD=ZAEC+ZEAC=900+25°=115

(2)・.・CZ)是。。的切线，

・,・半径OCLDE,

・・・NOCD=90°,

VOC=OB=2,BD=\,

：.0D=0B+BD=3,

・•・CZ)=7OD2-OC2=正•

ZOCD=ZAEC=90°,

・•・OC//AE,

•.C•一DO二D,

CEOA

.娓3

••-----,

CE2

:.CE=^^-.

3

E

【点睛】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由

三角形外角的性质求出/ACD的度数，由勾股定理求出。的长，由平行线分线段成比例定理即可求出

CE的长.

5.（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置

刻画圆上点的位置.如图，A3是OO的直径，直线/是。。的切线，B为切点.P,。是圆上两点（不

与点A重合，且在直径A8的同侧），分别作射线AP,AQ交直线/于点C,点。.

（1）如图1,当A8=6,弧8P长为IT时，求8C的长；

（2）如图2,当迪旦，康=前时，求区的值；

AB4CD

（3）如图3,当sin/BAQ。^，BC=C。时，连接8尸，PQ，直接写出型的值.

4BP

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AAA

图1图2图3

【思路点拨】(1)连接。尸，设NBOP的度数为小可得未冗X3„=60,即乙BOP=60°,故/

180

BAP=3O°，而直线/是OO的切线，有乙48c=90°,从而BC=~^>=2我；

V3

(2)连接BQ,过点C作C/_LAO于点孔求出cos/BAQ=蚂=3,由第=前，得/BAC=/DAC,

AB4

有CF=BC,证明/八7。=/54。，即得受=3,故区=3；

CD4CD4

连接BQ,证明SAQC得里=理■①，证明△得及=_^巳②，由BC=

(3)△APQZ\,APBszXABC,

CDADBCAB

CD,将①②两式相除得：曳=旭，故西=YM.

BPADBP4

【解析】解：(1)如图，连接。P,

'：AB=6,而长为IT,

.nHX3

••-----------------IT,

180

：.n=60,即/BOP=60°,

：.ZBAP=3Q°,

:直线/是。。的切线，

AZABC=90",

.•.2C=tan30。乂2=2我；

(2)如图，连接BQ,过点C作CPLAZ)于点R

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A

••・AB为OO直径,

：.ZBQA=90°,

cosZBAQ=-^-=—,

AB4

••,BP=PQ，

：.ZBAC=ZDAC,

VCF±A£>,ABLBC,

：.CF=BC,

ZBAQ^ZADB=90°,ZFCD+ZADB=90°,

：.ZFCD=ZBAQf

cosZFCD=cosZBA2=—,

.CF-3

••一一~—,

CD4

.BC_3

••-;

CD4

（3）如图，连接BQ,

\*AB±BC,BQ±AD,

・・・NA5Q=90°-NQBD=NADC,

*.•ZABQ=ZAPQ,

：.ZAPQ=ZADC9

'：ZPAQ=ZDAC,

：.AAPg^AADC,

.・■里二空①，

CDAD

VZABC=90°=NAPB,ZBAC=ZPAB,

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AAPB^AABC,

.•.此^^②，

BCAB

由BC=a),将①②两式相除得:

PQ=AB

BPAD)

,.,cosN2AQ=岖=^5_,

AD4

•PQ_VTO

"BP~T'

【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解

题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用.

6.(2023•衢州)如图，在中，ZACB=90°,。为AC边上一点，连结08.以OC为半径的半

圆与A8边相切于点。，交AC边于点E.

(1)求证：BC=BD.

(2)若OB=OA,AE=2.

①求半圆。的半径.

②求图中阴影部分的面积.

【思路点拨】(1)连结OD.由切线的性质得出/。£>2=90°,证明RtAODB^RtAOCB(HL),由

全等三角形的性质得出BC=BD.

(2)①证出/O8O=/OBC=/A=30°,由直角三角形的性质得出答案；

②由勾股定理求出&。=2如，/4。。=60°,由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案.

【解析】(1)证明：如图，连结。D

ZODB=90°,

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VZACB=90°,OC=OD,OB=OB,

：.RtAODB^RtAOCB(HL),

：.BC=BD.

(2)解：@'：OB^OA,

：.ZOBD=ZA,

VRtAODB^RtAOCB,

：.ZOBD=ZOBC,

：.ZOBD=ZOBC=NA,

ZOBD+ZOBC+ZA=90°,

：.ZOBD=ZOBC=ZA=30°,

在RtZ\OD4中，sin/A=?D,

OA

：.OD=^OA.

2

\"OD=OE,

：.OE=^-OA,

2

；*OE=AE=2,

半圆。的半径为2.

②在RtZ\OZM中，OD=2,OA=4,

：AD=22

-VOA-OD=2«,

S^OAD=-|OD-AD=yx2X2V§=2百，

VZA=30°,

ZAOD=6Q°,

•'•S阴影部分=SaOOA-S扇形。OE=2a-蚓81=2好空.

3603

【点睛】此题考查了切线的性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，全等三角形的判定与性质，勾股定

理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

7.(2023•宁波)如图1,锐角△ABC内接于。0,。为的中点，连结并延长交。。于点E,连结

BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点尸，点G在上，连结BG,CG,若BC平分NEBG且NBCG

=ZAFC.

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AA

EE

图1图2

(1)求/BGC的度数.

(2)①求证：AF=BC.

②若AG=DF,求tan/GBC的值.

(3)如图2,当点。恰好在8G上且0G=1时，求AC的长.

【思路点拨】(1)根据同弧圆周角相等得NEBC=/EAC,然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决

问题；

(2)①证明△ACB等ZiBGC(ASA),即可解决问题；

②过点C作C7/LEG于点H,设AG=D尸=2无，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；

(3)过点。作。于点连结0C交AE于点N,分别证明CASA),△COGg

/\OBM(AAS),得BM=OG=1,设03=0C=r,然后由△GONs^GBE,对应边成比例，求出r的

值，进而可求AC的长.

【解析】(1)解：平分NEBG,

.\ZEBC=ZCBG,

■:/EBC=NEAC,

：.ZCBG=ZEAC,

\'AC±FC,

：.ZAFC+ZEAC=90°,

:/BCG=NAFC,

：.ZBCG+ZCBG=90°,

ZBGC=90°；

(2)①证明：VZBGC=90°,D为8c中点，

：.GD=CD,

：.NDGC=ZDCG,

:ZBCG=ZAFC,

：./DGC=ZAFC,

：.CF=CG,

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VZACF=ZBGC=90°,

/.AACF^ABGC(ASA),

：.AF=BC；

②解：如图1,过点。作CH_LEG于点H,

设AG=DF=2x,

△ACF"ABGC,

：.AF=BC=2DG,

：.CD=DG=AG+DF=4x,

•：CF=CG,

：.HG=HF=3x,

:・DH=x,AH—5x,

CH=VCD2-DH2=V(4X)2-X2=后口

tanNGBC=tanNCAF=丝=

AH5

：.tanZGBC的值为IS；

5

(3)解：如图2,过点。作OMLBE于点M,连结。C交AE于点N,

'一E

图2

,.・OB=OC,

：.ZCBE=ZOBC=/OCB,

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・•・OC//BE,

•:BD=CD,NBDE=NCDN,

:•△EBD"ANCD(ASA),

:・BE=CN,

9：OC//BE,

:"GOC=/MBO,

9：ZCGO=ZOMB=90°,OC=OB,

•・•△COG咨LOBM(A45),

：.BM=OG=1,

OMLBE,

:・CN=BE=2BM=2,

设03=0C=r,

OC//BE,

:.AGONsAGBE,

.GO=ON

e，GBBE，

.1_r-2

••---------------,

r+l2

解得r=1WF或「=1-"17(舍去)，

22

由(2)知：AACF/△BGC,

：.AC=BG=BO+OG=r+\=^-^-.

2

.•.AC的长为5+3.

2

【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的

判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问

题.

8.(2023•浙江)己知，A8是半径为1的。。的弦，。。的另一条弦满足CD=A8,且CDLA2于点

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(1)在图1中用尺规作出弦C。与点X(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)连结AD,猜想：当弦的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；

若不变，求出的长度；

(3)如图2,延长AH至点F,使得HF=AH,连结CF,ZHCF的平分线CP交AD的延长线于点P,

点M为AP的中点，连结若PD=LD,求证：MH±CP.

2

【思路点拨】(1)以42为圆心，大于工42长为半径画弧，交点为G,连接0G,与。。交点为E,

2

F,与AB交点、为M,则。GLA2,分别以E,尸为圆心，大于1所长为半径画弧，交点为N,连接ON,

2

则0N〃A2,以。为圆心，OAf长为半径画弧与ON交点为尸，则OP=OM,以尸为圆心，OP长为半径，

交直线CW于。，以。，。为圆心，大于工。。长为半径画弧，交点为R,连接PR,则PRLAB,PR与

2

O。交点为C,D,与AB交点、为H,即CZX点〃即为所求；

(2)如图2,连结A。，连接。。并延长交OO于E,连结AE,AC,过。作。凡LAB于尸，ON_LCD于

N,证明四边形0F8N是正方形，则可证△AC8是等腰直角三角形，则/C=45°,由俞=俞，可知/

£=ZC=45°,由。E是。。的直径，可得NE4£>=90°,则△AQE是等腰直角三角形，AD=DE-sm

Z£=V2；

(3)如图3,延长C。、FP,交点为G,由题意知MH是△AP尸的中位线，则切;〃尸尸，MH=^PF,

2

由尸£>=24。，可得M£)=工尸。，证明△Ws/VPDG,则圆■=•^1=1，BPGP=2MH=PF,如图3,

22GPPD2

作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N,连结GN、FN,由CP是/aCF的平分线，可得/GCP

=NFCP,贝i|GN=NF,证明AGPN丝LFPNCSSS),则NGPN=/"W=90°,即PFLCP,由MH

//PF,可得MH_LCP,进而结论得证.

【解析】(1)解：如图1,CD、点H即为所求；

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(2)当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；

如图，连结A。，连接。。并延长交0O于E,连结AE,AC,过。作OELAB于RONLCD于N,则

四边形是矩形，

"：AB=CD,ABVCD,

：.OF=ON,

四边形OFHN是正方形，

：.FH=NH,

：.AF+FH=CN+NH,即AH=CH,

AACH是等腰直角三角形，

AZC=45°,

VAD=AD)

.\ZE=ZC=45O,

•.•DE是00的直径，

AZEAD=90°,

.♦.NAOE=45°,

.../XADE是等腰直角三角形，

：.AE=AD,

.*.A£>=£)E«sinZE=V2-

线段A。是定长，长度不发生变化，值为加；

(3)证明：如图3,延长CO、FP,交点为G,

"：HF=AH,

...点H为Af的中点，

又•••点M为AP的中点，

MH是△APF的中位线，

J.MH//PF,MH=LPF,

2

又•.•/>£>=PM=AM,

2

：.MD=—PD,

2

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'：MH//GP,

：.NMHD=/PGD,

又：ZMDH=ZPDG,

：.AMDHs/\PDG,

.MHMD1

••-------=2--,

GPPD2

即GP=2MH=PF,

如图3,作的外接圆，延长CP交外接圆于点N,连结GN、FN,

j♦<-'—--—

图2G-N

「CP是NHCF的平分线，

:"GCP=/FCP,

：.GN=NF,

"：GP=PF,GN=NF,PN=PN,

:.△GPN〈/\FPN(SSS),

：.ZGPN=ZFPN=90°,

J.PFLCP,

\'MH//PF,

：.MHLCP.

证法二：过点尸作尸G,HF于G点，

由PG//DH,

：.HG：AH=PD：AD=1：2,

,:AH=HF,

：.HG-.HF=\t2,即G是HF中点，

：.PH=PF,

：CP平分/OCR过点尸作PK_LCH于点K,PE_LCF于点E,

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，/KPE=135°,PK=PE,

：./\PHK^^PFE(HL),：.ZHPF=135°,/PFG=225,

在△CPB中，由内角和推得NCP/=90°,

C.MHLCP.

【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形

的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，角平分线等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

9.(2023•丽水)如图，在。。中，AB是一条不过圆心O的弦，点C,D是窟的三等分点，直径CE交

于点F,连结AO交CF于点G,连结AC,过点C的切线交BA的延长线于点

(1)求证：AD//HC；

(2)若里=2,求tan/朋G的值；

GC

(3)连结BC交于点N,若。。的半径为5.

下面三个问题，依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答.

①若。尸=5,求8C的长；

2

②若求△AA®的周长；

③若族・AB=88,求的面积.

【思路点拨】(1)根据题意可得众=&=宿，再由8C是O。的切线，即可求证.

(2)先证明△CAGg△9GCASA),设出CG,根据勾股定理即可求解.

(3)①根据题意，求出AG的长，再由正=而=加即可求解.

②根据题意可求得正=而=而，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解.

③作出辅助线，设出CG,利用勾股定理及相似三角形的性质可得方程IQr+x(5-2x)=22,进而可求

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得以四=8,再证明△CHAS/^HC,即可解答.

【解析】(1)证明：：点C,。是窟的三等分点,

•••AC=3=DB.

由CE是。。的直径可得CE±AD,

是。。的切线，

J.HCLCE,

J.AD//HC.

(2)解：如图1,连接A0,

图1

VBD=CD，

：.ZBAD=ZCAD,

:CE±AD,

：.ZAGC=ZAGF=90°,

：./\CAG^/\FAG(ASA),

：.CG=FG,

设CG=a,则尸G=a,

..OG门

•­=9，

CG4

：・OG=2a,AO=CO—3a.

在Rtz\AOG中，AO2=AG2+OG2,

J(3〃)2=AG2+(2〃)2,

,•AG=V^a，

tanZFAG=^~

AG5

答：tan/RIG的值为适.

5

(3)解：①如图1,VQF=1-,OC=OA=5>

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5

•CG=FG=『

•OG岑，

,AG=VOA2-OG2=平,

VCE±A£）,

：.AD=2AG=^^-,

2

VAC=CT=DB-

・・AD=CB»

.5A/7

••BC=AD=2^-

答：BC的长为色旦.

2

②如图2,连接CD,

：.AH=AF,

:NHCF=90°,

.,•AC=AH=AF=V10.

设CG=x,则FG=x,OG=5-x,

由勾股定理得AG?/。2_0G2=AC2-CG2,

即25-（5-尤）2=10-%2,

解得尤=1,

.".AG=3,AD=6,

VCD=DB«

:./DAC=NBCD,

第20页共79页

'：ZCDN=ZADC,

：./\CDN^/\ADC,

.NDCD

••---二,

CDAD

ZBAD=ADAC,ZABN=ZADC,

：.AANBs4ACD,

・ccAN_1313V102£

,，CAANB=CAACDvx而-(6+W而v又=-g—7

答：zXANB的周长为屿叵江.

53

③如图3,过点。作0M_LA2于点M,则AM=MB=^AB，

图3

设CG=x，则FG=x,OG=5-x,OF=5-2x,

由勾股定理得AG2=AO2_OG2=25-(5-X)2,

AF2=AG2+FG2=IOX-7+7=10x,

'：AD//HC,FG=CG,

-'-AH=AF=yHF>

；•AG-^HC，

AF-AM=vHFAB=vHF-AB=4X88=22，

2244

VZAGF=ZOMF=90°,ZAFG=ZOFM,

：./\AFG^/\OFM,

•.•AFGF,

OFFM

：.AF-FM=OF-GF,

：.AF'AM^AF'(AF+FM)^AF2+AF'FM^AF2+OF'GF=22,

第21页共79页

可得方程10x+x(5-2x)=22,

解得％1=2,X2=5.5(舍去)，

:.CG=FG=2,

：.OG=3,

・・・AG=4,

.,.HC=8,AH=AF=2>/5,

S/\CHA=8,

'：AD//HC,

：.ZCAD=ZACH,

1•,AC=CD.

・•・NB=NCAD,

:./B=/ACH,

•：/H=/H,

:•△CHAs^BHC,

••・S-HC=8XC>)2喈

答：△①/c的面积为」里.

5

【点睛】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答.

-------------------1解题秘籍।------------

临/考/抢/分/宝/典

1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；

2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；

3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的

圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；

4）注意圆的相关知识和相似、特殊四边形、三角函数、全等三角形、勾股定理等结合解决相关计算问题。

-------------------1押题预测।------------

中/考/预/测/押/题

1.如图，△ABC内接于O。，42是O。的直径，过点A的切线交BC的延长线于点。，E是。。上一点,

点C,E分别位于直径A8异侧，连接AE,BE,CE,且/ADB=NDBE.

第22页共79页

(1)求证：CE=CB；

(2)求证：/BAE=2/ABC；

(3)过点C作CFLA8,垂足为点尸，若S^BCF萼,求tan/A8C的值.

SAABE8

【思路点拨】(1)根据是。。的直径，A。为OO的切线，得AQJ_AB,ZAEB=90°,则NAOB+

ZABD=90°,ZA£C+ZCEB=90°,再根据NABO=NAEC得/AO8=NCEB,进而再由NA£)B=/

DBE得/CEB=NDBE,据此可得出结论；

(2)连接C。并延长交BE于H,则NAOC=2/A8C,由(1)的结论可知CE=CB,则宸=向，由垂

径定理得AHLBE,再根据AB是O。的直径得/AEB=90°,由此可得A£〃C8,则N54E=NA0C,

据此可得出结论

(3)证△ABE和△OCP相似得AE：OF=BE：CF^AB：OC=2,则AE=2O/，BE=2CF,设O。的半

径为r,OF=x,则AE=2x,BF=OB+OF=r+x,由也些空得史上=2,由此解出了=红，贝I]8尸=

SAABE84x87

r+x=9二，然后在Rt2\OC/中，由勾股定理求出。尸=芭&1,最后再根据锐角三角形的定义可得tan

77

ZABC的值.

【解析】(1)证明：TAB是。。的直径，A。为。。的切线，

：.AD±AB,ZAEB=90°,

AZADB+ZABD=90°,ZAEC-^ZCEB=90°,

ZABD=ZAEC,

：.NADB=/CEB,

ZADB=ZDBE,

：・NCEB=/DBE,

：.CE=CB；

(2)证明：连接CO并延长交BE于"，如下图所示：

第23页共79页

D

：.NABC=NOCB,

：.ZAOC=ZABC+ZOCB=2ZABC,

由(1)的结论可知：CE=CB,

.*.CE=CB，

：.AH±BEf

TAB是。。的直径，

AZAEB=90°,

即AELBE,

J.AE//CH,

・・・ZBAE=ZAOC9

：.ZBAE=2ZABC；

(3)解：TAB是OO的直径，CF±AB,

：.ZBEA=ZCFO^90°,AB=2OC,

又,.・AE〃C”,

・•・/BAE=NAOC,

：.△ABEs△OCR

：.AE：OF=BE：CF=AB：OC=2,

：.AE=2OF,BE=2CF,

设。O的半径为厂，OF=x,

贝BF=OB+OF=r+x,

/.S^BCF=-BF*CF=A(r+x)・CF,SMBE=—AE-BE=AX2x*2CF=2x*CF,

2222

・・SABCF9

•------=—，

SAABE*

y(r+x)-CF

・••号k号Q

第24页共79页

即也驾

4x8

解得：x=红，

7

BF=r+x=r+^~=里",

77

在Rt^OCF中，。/=X=2L,OC=r,

7

由勾股定理得：。尸=匹于=宜百工，

.'.tanZABC=史=-J—=遮.

BF9rR

7

【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函

数，理解切线的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解

决问题的关键.

2.如图，A8是。。的直径，点C是直线43上方的。0上一点.点〃是△ABC的内心.连结AM,BM,

CM,延长CM交O。于点Z).

(1)若AB=10,AC=6,求BC的长.

(2)求NAMB的度数.

(3)当点C在直线A8上方的。。上运动时，求证：DMX^AB.

【思路点拨】(1)由AB是。。的直径，得/ACB=90°,而AB=10,AC=6,则BCRAB?-AC2=

8；

(2)因为点M是△ABC的内心，所以ZMBA=^-ZCBA,则(/

222

CAB+ZCBA')=45°,即可根据三角形内角和定理求得135°；

(3)连结A。、BD,则乙4。8=90°,因为CM平分/ACB,所以NACZ)=/BCZ)=工/ACB=45°,

2

则俞=俞,所以AO=B。，由勾股定理得AB=J5A。，由NZM8+NK4B=/ACQ+/MAC,得/D4M

=ZDMA,则。M=AD,所以A2=A/5£)M,即可证明。河=返4艮

2

第25页共79页

【解析】(1)解：是O。的直径，

AZACB=90°,

•：AB=1O,AC=6,

:，BC=VAB2-AC2=V102-62=8'

.•.8C的长为8.

(2)解:VZACB=9Q°,

：.ZCAB+ZCBA^90°,

•点M是△ABC的内心，

平分NCAB,平分NCBA,

Z.ZMAB=—ZCAB,ZMBA^—ZCBA,

22

/.ZMAB+ZMBA=^~CZCAB+ZCBA)=45°,

2

/.ZAMB=180°-(ZMAB+ZMBA)=135°,

的度数为135°.

(3)证明：连结A。、BD,贝iJ/ADB=90°,

丁点M是△ABC的内心，ZACB=90°,

平分/ACS,

AZACD=ZBCD=^ZACB=45°,

2

***AD=BD，

：.AD=BD,

・・・A5=JAD2+BD2=J2AD2=近AD,

VZDAB=ZACD=45°,ZMAB=ZMACf

：.ZDAB+ZMAB=ZACD-^-ZMAC,

9

：ZDAM=ZDAB-^-ZMAB.ZDMA=ZACD-^-ZMACf

：./DAM=/DMA,

：.DM=AD,

：.AB=42DM,

J?

：.DM=y-^-AB.

2

第26页共79页

c

D

【点睛】此题重点考查圆周角定理、三角形的内心的定义和性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识,

正确地作出辅助线是解题的关键.

3.（2024•临安区一模）在△ABC中，BC=10,以为直径的交AC于点。，过点。作。

交8c于点E.

（1）如图1,若NABC=90°,BE：EC=2：3,求OE的长.

（2）如图2,若NABC<90°,AB与O。相交于点E连接FD,当点E与圆心。重合时，

①求证：FD=DC；

②四边形EBC。的周长有最大值吗？请说明理由.

【思路点拨】（1）连接2。，在直角三角形BCD中，由射影定理可得。FngE.cE求出BC、CE即可

求QE；

（2）①连接。凡根据平行线的性质推导出/"）£>=NC。。，可得而=而，即可证明尸。=8；

②先求AB=2OZ）=10,设DF=y,再由⑵尸-（10-%）2=102-%2,推导出x=10"y2,

则四边形EBC。的周长=-看（厂5）2+25,当y=5时，四边形EBC。的周长有最大值为25.

【解析】（1）解：连接8D,

；BE：EC=2：3,BC=10,

：.BE=4,CE=6,

是圆0的直径，

：.ZBDC=9Q°,