中职数学基础知识8

中职数学基础学问汇总

预备学问：

1.完全平方和（差）公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

2.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

3.立方和（差）公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

第一章集合

i.构成集合的元素必需满意三要素：确定性、互异性、无序性。

2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

3.常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N+（正整数集）

4.元素与集合、集合与集合之间的关系：

（1）元素与集合是上”与的关系。

（2）集合与集合是“I”"”“=”“厂’的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑中是否满意题意）

（2）一个集合含有n个元素，则它的子集有2n个，真子集有211个，非空真子集有2n-2

个。

5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）

（1）Ai6={«1矛挝4且矛B}:A与8的公共元素组成的集合

（2）/6={xlx挝4或xB}-.A与8的全部元素组成的集合（相同元素只写一次）。

（3）C.A：。中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。

注：C^ABXAUCUBG（4B）=CUA\CVB

6.会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。

7.充分必要条件:P是q的……条件P是条件，q是结论

假如pnq,那么p是q的充分条件;q是p的必要条件.

假如p=q,那么p是q的充要条件

第二章不等式

1.不等式的基本性质：（略）

注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。

（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

2.重要的不等式：

（1）a1+b2>2ab,当且仅当a=匕时，等号成立。

（2）a+b>24ab（a,b7?+）,当且仅当a=b时，等号成立。（3）

注：甘（算术平均数）>4ab（几何平均数）

3.一元一次不等式的解法（略）

4.一元二次不等式的解法

（1）保证二次项系数为正

（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

（3）定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。

5,确定值不等式的解法

\x\<ao-a<x<a

若a>0,则<

|x|>aox〉agJtx<-a

分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.

第三章函数

1.函数

（1）定义：设A、B是两个非空数集,假如根据某种对应法则九对A内任一个元素

X,在B中总有一个且只有一个值y与它对应，则称/是集合A到B的函数，可记为:

或/:x-y.其中A叫做函数/的定义域.函数/在x=a的函数值，记作/（a）,函数值的全体构

成的集合C（CUB）,叫做函数的值域.

（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简洁。

2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则

（1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x的取值范围

主要依据：分母不能为3偶次根式的被开方式20,

特殊函数定义域：y=x°,"0y=>0且aHl）,xwR

y=loga%,（a>。且aw1）,%>0

（2）值域的求法：y的取值范围

①正比例函数：y=kx和一次函数：y=入+6的值域为R

②二次函数：y=ax2+"+c的值域求法：配方法。假如x的取值范围不是R则还需画

图像

③反比例函数：》二:*■的值域为{yly*0}

X

④另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。

（3）解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。

3.函数图像的变换

（1）平移

向左平移〃、向右平移、

y=F(%)fy=/(x+a)片/⑴方析-八小一。）

。个单位

向上平移〃、向下平移〃、

y=f(x)—>=/(x)+a

a个单位

(2)翻折

沿X轴保留X轴上方图像

y=/(x)->y=-fM‘一=,”下方翻折到上方-y="(%)I

上、下对折

4.函数的奇偶性

(1)定义域关于原点对称

(2)若/(-X)=-/(X)f奇若/(—X)=/(x)f偶

注：①若奇函数在x=0处有意义，则/(0)=0

②常值函数/(x)=a(awO)为偶函数

③/(x)=0既是奇函数又是偶函数

5.函数的单调性

7(^)</(当),称/'(%)在a切上为增函数

对于Vxxe[a,句且再<芍,若<

P2/(%1)>/(々)，称/(X)在[。向上为减函数

增函数：X值越大，函数值越大；X值越小，函数值越小。

减函数：x值越大，函数值反而越小；x值越小，函数值反而越大。

6.二次函数

(1)二次函数的三种解析式

①一般式：/(x)=&+bx+c(awO)

②顶点式：f(x)=a(x-k)2+h("0),其中(仁丸)为顶点

③两根式：/(x)=G(X-xJCx-x2)("0),其中Xp%是/0)=0的两根

(2)图像与性质

二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

①开口a>0r■开口向上a<0->开口向下

②对称轴：x=-2顶点坐标：与生)

2a2a4a

A>0f有两交点

③与轴的交点：｛一有佼点

AxA=0④根与系数的关系：(韦达定理)

△<0—无交点

b

1]+%2=----

<a

c

%•芍二一

Ia

⑤/(X)=狈2+AX+C为偶函数的充要条件为b=0

⑥二次函数(二次函数恒大(小)于0)

/(%)〉0=<">°o图像位于x轴上方/(x)<0o<“<°o图像位于x轴下方

A<0[A<0

⑦若二次函数对随意X都有x)=/«+x),则其对称轴是尤=人

第四章指数函数与对数函数

1.指数幕的性质与运算

(1)根式的性质：

①〃为随意正整数，(折)"=。②当〃为奇数时，而=a；当〃为偶数时，^=\a\

③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。

(2)零次幕：a°=l(a/0)

⑶负数指数幕：a~n=\(awO-eN*)

a

m___

(4)分数指数幕：a"=Vfl™"(a>0wwN+且〃,>1)

(5)实数指数幕的运算法则：(a〉0,m,nGR)

(^)am-an=am+n②(a"')"=a""’③(a.»"=a"

2.幕运算时，留意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一

个数的〃次方。

an号/当a>00寸，y=在(0,+s)上单调递增

3.幕函数y=x<

>[当a<00寸，y=x0在(0,+oo)上单调递减

b

4.指数与对数的互化：a=N^\ogaN=b(a>0且awl)、(N〉0)

5.对数基本性质：①bg〃a=l②log〃l=0③*g*=N④log/N=N

⑤log”6与10gzl。互为倒数olog。A-log/,a=1olog.b=--—

log/

-n

n

⑥log/b=—logflZ?

m

6.对数的基本运算：

log“(M'N)=log0M+logaNloga"=logaM-logflN

N

7.换底公式：蜒*=也壮3>0且或1)

log/,a

8.指数函数、对数函数的图像和性质

指数函数对数函数

定y=ax(a>0,a的常数)y=log〃x(a>0,a/l的常数)

义

\

图20<a<l\

像i

(1)x&R,y>0(1)x>0,ye7?

性(2)图像经过(0,1)点⑵图像经过(L0)点

(3)(3)

质

。>1,y=优在R上为增函数；a〉1,y=log”x在(0,+co)上为增函数；

0<a<l,y=a”在尺上为减函数。0<a<l,y=logax在(0,+co)上为减函数

9.利用幕函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幕(次)

或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。

10.指数方程和对数方程：指数式和对数式互化同底法换元法④取对数法

注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

第五章数列

等差数列等比数列

每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数

定a?Q]—a?~~a'a〃一]—"d&=旦==&=4(什0)

%。2%-1

义注：当公差4=0时，数列为常数列注：等比数列各项和公比均不能为

0；

当公比为1时，数列为常数列

n—1

通%=6+(几一l)d=%q

项

公

式

/.、a—a

(1、j-nm(1)qn-m

推

n-mam

/C\n—m

(2)an=am+(n-rri)d(2)an=amq

论

(3)若m+n^p+q,则(3)若〃?+"=p+q,贝！=a?4

am+an=ap+aq

中三个数a、b、c成等差数列，则有三个数a、b、c成等比数列，则有

7a+c

项2b=a+c=b=------b2=ac

2

公

式

刖〃(%+%)n(n-1)=%一

S"=2=叫+2dsn=(qW1)

ni-q1-q

项

和

公

式

1.已知前〃项和S“的解析式，求通项明

S（〃=1）

"也-S“T（心2）

2,弄懂等差、等比数通项公式和前〃项和公式的证明方法。（见教材）

第六章三角函数

1.弧度和角度的互换

180"=》弧度1°=左弧度B0.01745弧度1弧度=(一)°«57°18,

lot）n

2.扇形弧长公式和面积公式

=1«I-rS扇=（记忆法：与S蠲c

3.随意三角函数的定义:

对边_y邻边tana=H)

sinacosa=

W7斜边邻边x

4.特殊三角函数值

a0=0°-=30°-=45°-=60°-=90°

6432

To73V4

sina~T~2~T~T~2~

V3

cosa■\l~4Vf“Vo

~T~T~T~2~T

tan。073

V1不存在

5,三角函数的符号判定

（1）口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）

（2）图像记忆法

6.三角函数基本公式

tana=垩里（可用于化简、证明等）

cosa

sin2tz+cos2a=l（可用于已知sine求cos（z;或者反过来运用）

7.诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。

说明：指左彳+成左"），若k为奇数,则函数名要变更，若左为偶数函数名不变。

7.已知三角函数值求角1：

（1）确定角a所在的象限；（2）求出函数值的确定值对应的锐角优；（3）写出满意条件的

0~21的角；⑷加上周期(同终边的角的集合)

8,和角、倍角公式

(1)和角公式：sin(67±%-sinacos/?±cosasino留意正负号相同

cos@±)3)=cos。cos/?不sinasin/?留意正负号相反

/.c、tana±tan£

tan(a±J3)=-----------

1+tanatanB

(2)二倍角公式：sin2a=2sinacosacos2a=cos2—sin2a—2cos2a—1=1—2sin2a

c2tan。

tan2a=--------

1-tana

⑶半角公式：sin|=±产乎

9.三角函数的图像与性质

性质

函数图像定义奇偶

值域同期单调性

域性

J

[2^--,2^+-]T

22

T=2TT

y=sinxxeR

[-1,1]奇[2k7T+-,2k7l+—]^

22

j

J

[2k/r-兀,2kilT

T=2TV

y—cosxxeR[-1,1]偶

0二\2kji,2k7i+»]J

0.5-

-1-Iu

9,正弦型函数,=Asin(@;+o)(A>0,>0)

⑴定义域R,值域［-又域

__27r

(2)周期：T=—

CD

(3)留意平移的问题：一要留意函数名称是否相同，二要留意将x的系数提出来，再看是

怎样平移的。

(4)y=asinx+bcosx=\a1+b2sin(x+o)

10.正弦定理

上7=刍=三=27?(R为AABC的外接圆半径)

sinAsinnsmC

其他形式：(1)a=27?sinAb=2RsinBc=2RsinC(留意理解记忆，可只记一个)

(2)<2:Z?:c=sinA:sinB:sinC

11.余弦定理

M上浮2

a2=b-+c2-2bccosAncosA=^^—~—(留意理解记忆，可只记一个)

2bc

12.三角形面积公式

SAABC=g"sinC=gz?csinA=gacsin3（留意理解记忆，可只记一个）

13.海伦公式：S诩c="（P—a）（P-b）（P-c）（其中P为AABC的半周长，P=£±|±£）

第七章平面对量

1.向量的概念

（1）定义：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示：书写时确定要加箭头！另起点为A,终点为B的向量表示为通。

（3）向量的模（长度）：|荔|或［7|

（4）零向量：长度为0,方向随意。

单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。

反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2.向量的运算

（1）图形法则

力口法：AB+BC=AC减法：AB-AC=CA

（3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律

3.数乘向量：（1）模为：I刈日I（2）方向：2为正与〉相同；2为负与）相反。

4.A8的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标。AB=（XB-xA,yB-yA）

5,向量共线（平行）：三唯一实数人使得。=动。（可证平行、三点共线问题等）

6.平面对量分解定理：假如1是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任

一向量都存在唯一的一对实数看,％,使得。=西,+巧02。

7.留意AABC中，重心（三条中线交点）、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内

切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）

8.向量的内积（数量积）

（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围［0,加。

（2）内积公式：a-ba\\b\cos<a,b>

9.向量内积的性质：

—*—»fi.h—*■—•—►—»

（1）cos<a.b>=——（夹角公式）（2）alb^a-b^Q

\a\\b\

（3）a•a=|a1或|a|=J）•a（长度公式）

10.向量的直角坐标运算：⑴AB=（xB-xA,yB-yA）

（2）设a=（）石=（%2，%），贝U。±3=（为±左2,必土%）（相，例）a-b=x1x2+y1y2

11.中点坐标公式：若Aa，x）,B（%,y2）,点M（x,y）是线段AB的中点，则x=与三，尸咤三

12.向量平行、垂直的充要条件：设。=（七,%）,办=（电,％），则

）//BO±=2（相对应坐标比值相等）

aJ_Boa%=0o=0（两个向量垂直则它们的内积为0）

11.长度公式

（1）向量长度公式：设a=（x,y）,则|a|=，尤2+产

⑵两点间距离公式：设点4（芯,％）,8（々,为），则IAB|=J（%2—%）2+（%>

12.向量平移

(i)平移公式：点P(x,y)平移向量1回，4)到PH"则户记忆法："新=旧

[y=y+a2

+向量”

a

(2)图像平移：y=/(x)的图像平移向量”=(%,“2)后得到的函数解析式为：y-2=f(x-al)

第八章平面解析几何

1.曲线C上的点与方程Wx,y)=O之间的关系：

(1)曲线C上点的坐标都是方程Wx,y)=o的解；

⑵以方程F(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上。

则曲线C叫做方程尸(x,y)=O的曲线，方程为＞,y)=0叫做曲线C的方程。

2.求曲线方程的方法和步骤：(1)设动点的坐标为(x,y);(2)写出动点在曲线上的充要

条件；(3)用的关系式表示这个条件列出的方程；(4)化简方程(不须要的全部约

掉)；(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程。假如方程化简过程是同解变形的话第五

步可省略。

3.两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4.直线：

(1)倾斜角。：一条直线/向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。

其范围是[0,万)

(2)斜率：①倾斜角为90。的直线没有斜率；②左=tanc(倾斜角的正切)

③经过两点舄(々，为)的直线的斜率K=M~—(无产》2)

x2-Xj

⑶直线的方程

①两点式：上』=三』②斜截式：y=kx+b

为一必々一天

③点斜式：y-y0=k(x-x0)④一般式：Ax+By+C=0

注：1.若直线/方程为3x+4y+5=0,则与/平行的直线可设为3x+4y+C=0;与/垂直的直

线可设为4X-3Y+C=0

2.求直线的方程最终要化成一般式。

（4）两条直线的位置关系

(：y=kxx+&l2\y=k2x+b24Ax+ByX+C]=04：42%+B2%+C]—0

A_且w

4与，2平行h=左2且仿。b2

A2B2C2

A】_BI_J

4与4重合k]=左2且4—b2

4B2C2

k、wk?A*耳

乙与，2相交&B?

k[♦k2=—1

A1；2A4+一当=。

注：系数为。的状况可画图像来判定。

⑸点到直线的距离

①点P（x。,%）到直线Ax+By+C=Q的距离：d=鹭口

P”22

VA+fi

5.圆的方程

⑴标准方程：（龙一a）2'+（y—b）2=，2（厂>0）其中圆心（a万）,半径r。

（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

圆心（一§一半径：

（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径，•比较。

d<r今本目交；]=/今本目切；本目离

6.椭圆

动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数2a

几何定义

1PF)|+|PF?|=2a

2222

标准方程"为=】（焦点在“轴上）焦点在y轴上）

1y

图像“一》也

a,O,c的关系a2=b2+c2留意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心x轴：长轴长2Q;y轴：短轴长28；0（0,0）

顶点坐标(±4,0)(0,±»

焦点坐标（土G0）焦距2c注：要特殊留意焦点在哪个轴上

c[~P-

离心率e=—=11--T<1

a\a

7.双曲线

动点与两定点（焦点）的距离之差的确定值等于常数2a

几何定义

IIPF.\-\PF2||=2a

2222

标准方程焦点在x轴上）与-a=1（焦点在y轴上）

ab

图像J7

1r

a*,c的关系c2=a1+b2留意：通常题目会隐藏这个条件

对称轴与对称中心X轴：实轴长2a;y轴：虚轴长26；0（0,0）

顶点坐标(±a,0)

焦点坐标（土GO）焦距2c注：要特殊留意焦点在哪个轴上

4〉i

离心率

渐近线（焦点在无轴上）y=（焦点在y轴上）

ab

注：等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等na=b（2）离心率e=6（3）渐近线y=±x

8.抛物线

几到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

何

定\MF\=d（d为抛物线上一点加到准线的距离）

义

焦

点

X轴正半轴X轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴

位

置

I

NJ-p

4__:

图

---1--

p_?(Fpx

像-2

-2X-2-

标

准

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方

程

焦F皮,0)F(-^,0)时争F（0「与

点

坐

标

准

线

Pp

X=----X-P

22y=-2八5

方

程

顶

0(0,0)

点

对

称X轴y轴

轴

离

心e=l

率

注：(1)P的几何意义表示焦点到准线的距离。

(2)驾驭焦点在哪个轴上的推断方法

(3)圆锥曲线中凡涉和到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：

|AB|=Vl+k*J(X]+x7)—

(4)圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！！做题时应留意圆锥曲线上的点是满意圆锥曲

线的定义的!

第九章立体几何

1.空间的基本要素：点、线、面

注：用集合符号表示空间中点（元素）、线（集合）、面（集合）的关系

2.平面的基本性质

（1）三个公理：

①假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的全部的点都在这个平面内。

②假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的全部公共点组成的集合是过该点的一

条直线。

③经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（2）三个推论：

①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

②经过两条相交直线，有且只有一个平面。

③经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3.两条直线的位置关系：

（1）相交：有且只有一个公共点，记作

（2）平行：a过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。

尻平行于同一条直线的两条直线平行

（3）异面：

①定义：不同在任何一个平面内的两条直线

②异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于T的角。留

意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。

4.直线和平面的位置关系：

（1）直线在平面内：/=a

（2）直线与平面相交：ma=A

（3）直线与平面平行

①定义：没有公共点，记作：/IIa

②判定：假如平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。

③性质：假如一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交

线平行。

5.两个平面的位置关系

（1）相交：ccC\j3=I

（2）平行：

①定义：没有公共点，记作：II

②判定：假如一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行

（1）定义：直线与它在平面内的射影所成的角

（2）范围：呜］

7.直线与平面垂直

（1）判定：假如一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直

⑵性质：

①假如一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线;

②垂直于同一平面的两直线平行;

③垂直于同始终线的两平面平行。

8.两个平面垂直

(1)判定定理：假如一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面相互垂直。

(2)性质定理：假如两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面

垂直。

9.二面角

(1)定义：过二面角的棱上一点。，分别在两半平面内引棱/的垂线。4OB,则

ZA03为二面角的平面角

(2)范围：［0,加

(3)二面角的平面角构造：

①按定义，在棱上取一点。，分别在两半平面内引棱的垂线。4OB,则ZAOB即是

②作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于。4、OB,ZAOB即是

第十章排列、组合与二项式定理

1.分类用加法：N=1%+m?+……+mn分步用乘法：N=mim2...mn

171

2.有序为排列：P：=n(n-l)(n-2)……(n-m+1)=-~

(n-m)l

无序为组合：+D〃！

mm!(n-m)!

阶乘：P：=n!=.......x3x2x1

规定：0!=lC°=l

注：(1)做排列组合题的原则：先特殊，后一般!

(2)在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思索方法：一般法、解除法、分类

探讨法、机会均等法等等。

3.组合数的两特性质：（1）C；=C；；-m（2）C：\=C：+C：T

4.二项式定理：

（a+b）"=C°anb°+C^b'+……+C；,a"-rbr+……禺％为"一+

nrr

通项：Tr+i=C'na-b,其中C：叫做第7+1项的二项式系数。

注：（1）二项绽开式中第「+1项的系数与第厂+1项的二项式系数C：是两个不同的概念。

（2）杨辉三角

1.二项式系数的性质

（1）除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即cL=c：+c3

（2）与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即c;=er

（3）〃为偶数，绽开式有奇数项，中间项的二项式系数最大；（第^+1项）

九为奇数，绽开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。（第一项和后一项）

7.C>c'+……C:+……C；=2"C>C>C>……=C：+C：+C：+……=2力

第十一章概率与统计

一、概率.

1.概率：随机事务A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2.等可能事务的概率：假如一次试验中可能出现的结果有年n个，且全部结果出现

的可能性都相等，那么，每一个基本领件的概率都是工，假如某个事务A包含的结果有m

n

个，那么事务A的概率P（A）=^.

n

3.①互斥事务：不行能同时发生的两个事务叫互斥事务.假如事务A、B互斥，那么

事务A+B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事务A、B分别发生的概率和，即

P(A+B)=P(A)+P(B)O

②对立事务：两个事务必有一个发生的互斥事务叫对立事务.

留意：L对立事务的概率和等于1：P(A)+P(A)=P(A+A)=1.

ii.互为对立的两个事务确定互斥，但互斥不确定是对立事务.

③相互独立事务：事务A(或B)是否发生对事务B(或A)发生的概率没有影响.这样的两

个事务叫做相互独立事务.假如两个相互独立事务同时发生的概率，等于每个事务发生的概

率的积，即P(A・B)=P(A)•P(B).由此，当两个事务同时发生的概率P(AB)等于这两个

事务发生概率之积，这时我们也可称这两个事务为独立事务.

④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依靠于其他各次试验

的结果，则称这n次试验是独立的.假如在一次试验中某事务发生的概率为P,那么在n次

kn-k

独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率：Pn(k)=C^P(l-P).

二、随机变量.

1.随机试验的结果应当是不确定的.试验假如满意下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的全部可能结果是明确可知的，并且不

止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试

验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2.离散型随机变量：假如对于随机变量可能取的值，可以按确定次序一一列出，这

样的随机变量叫做离散型随机变量。

设离散型随机变量§可能取的值为：…，巧，…

§取每一个值…)的概率则表称为随机变量§的概率分布，简称§

的分布列.

・・・5・・・

PlPlPi

P•..・・・

有性质①P20，i=L2,…；②Pl+?2+…+P"…=1.

留意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例

如：人05］即自可以取。〜5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事务可能发生也可能不

发生，在〃次独立重复试验中这个事务发生的次数f是一个随机变量.假如在一次试验中

某事务发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生左次的概率是

P,g=k）=C\pkqi,（左=0,1,2,…，77,q=l-p）.

于是得到随机变量f的概率分布如下：

J01kn

z-f1-1M—1

pC：P°q"CnPqC：pkqic,、pq

由于CP、""恰好是二项绽开式

（q+pY=C°p°qn+G；P%"T+…+C\pkq"-k+…+c：p"q。

中的各项的值，所以称这样的随机变量f听从二项分布，记作p）,

其中A，「为参数，并记=b（左;n,p）.

⑵二项分布的推断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事务是否是进行n次独立重复,

且每次试验只有两种结果，假如不满意此两条件，随机变量就不听从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时

又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

三、数学期望