2024届厦门高三四检数学试题含答案

厦门市2024届高三毕业班第四次质量检测

数学试题

满分：150分考试时间：120分钟

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘

贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={%6叫——4x—5V0},B={1,3,5,7},则图中阴影部分所表示的集合为（）

cnz)

A.{0,2,4}B.{2,4}C.{0,4}D.{2,4,5)

2.已知随机变量X〜N(2Q2),p(x<l)=0.3,则尸(X<3)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

3.将函数/(%)=51!12%+石以)52%的图象向右平移出个单位后得到]v=g(x)的图象，则()

6

A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2sir

C.g(x)=2sin(2x+?]D.g(x)=2sit(2X+T)

4.圆Y+y2=i被直线丁=6%—1所截得劣弧的弧长为()

6.某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若

同学甲去A公司，则不同的安排方法共有()

A.18种B.30种C.42种D.60种

7.设A,B为随机事件，则P(A)=P(6)的充要条件是()

A.P(A\JB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(AB)=P(AB)D.P(AB)=P(BA)

22

8.已知双曲线C:二—斗=1(。〉0力〉0),过右焦点厂作一条渐近线的垂线，垂足为A,点3在C上,

a-b~

且丽=4丽，则C的离心率为()

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若a<Z?<0,贝!I()

A./>/B.ab<b-C.2a>2bD.-+—>4

ba

10.已知等边△ABC的边长为4,点0,石满足丽=2丽，BE=EC,AE与CD交于点O,则()

A.CD=-CA+-CBB.~BOBC=S

33

C.W=2ODD.\OA+OB+OC\^y[3

11.如图1,将三棱锥型礼盒A-BCD的打结点P解开，其平面展开图为矩形，如图2,其中A,B,C,D

分别为矩形各边的中点，则在图1中()

图1图2

A.AC=BDB.ADLBC

C.AC，平面BOPD.三棱锥A-BCD外接球的表面积为5乃

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.复数z满足z+N=2,zz=4,则|2—彳|=.

13.已知奇函数/(x)及其导函数/'(%)的定义域均为R,/⑴=2,当x>0时，xf\x)+f(x)>0,则

使不等式W(x)>2成立的龙的取值范围是.

QIt

14.记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cosc=-—0,则3的取值范围是________

ab

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

设S,为数列｛4｝的前“项和，已知。］=164=10,且［2］为等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式;

可,〃为奇数，

⑵若a=<1”为偶数求也｝的前物项和凡•

16.(15分)

某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据:

不达标达标合计

男300

女100300

合计450600

(1)完成2x2列联表.根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联?

42

(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为《，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为1.用

上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试,

n(ad-bc)2

求3人中合格的人数X的分布列及期望.(/对应值见下表.力2

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

n=a+b+c+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

17.(15分)

如图，在四棱台ABC。—中，底面ABC。是边长为2的正方形，B,Q=1.

(1)证明：A&〃平面BDG；

(2)若BQ=CC[=2,求平面3G。与平面片。2夹角的余弦值.

18.(17分)

平面直角坐标系X。)中，动点尸在圆好+/=4上，动点。(异于原点)在x轴上，且|PQ|=2,记P。

的中点M的轨迹为「.

(1)求「的方程；

(2)过点(3,1)的动直线/与F交于A,B两点.问：是否存在定点N,使得上]卷为定值，其中左,左2分别

为直线Ml,NB的斜率.若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.

19.(17分)

帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的

应用.已知函数/(X)在X=0处的[办川阶帕德近似定义为：=%+、/+…+区"：加,且满足：

1++***+b^x

/(0)=/?(0),广(0)=叱(0),/⑵(0)=R⑵(0),…,/"(0)=L)(0).

其中产)(©=[/(切/⑶(x)=[/⑵(X)],…，*+")(%)=，ET)(X)J.

a+bx-^—x1

已知/(x)=ln(x+l)在x=0处的[2,2]阶帕德近似为7?(x)=-------.

1+XH--

6

(1)求实数〃，人的值；

(2)设,(%)=/(%)-/?(%),证明：xh(x)>0；

(3)已知％,々,退是方程lnx=21x-的三个不等实根，求实数X的取值范围，并证明：

羽+12+%3>J__]

3I".

厦门市2024届高中毕业班第四次质量检查

一、单选题

1-4.ACAC5-8.CBDB

二、多选题

9.AD10.ABD11.ACD

三、填空题

12.2百;13.(-co,-l)U(l,+oo)；

四、解答题

15.解析：（1）设等差数列的公差为d,因为G=SI=1,

n

所以又—0L=3d,即W—i=3d,d=L,

4142

所以&=1+,(〃—1),即S"=〃(〃+D,

n22

文“、CH„ecn(n+V)n(n-l)

当“22时，an=Sn-Sn_x=--------------=

当〃=1时，％=1,满足上式，所以

小”为奇数,

(2)由(1)知"=<二1二，〃为偶数,

n{n+2）

则(〃=(伪+&+仇…+%”-1)+也+么+%…+2")

fl111)

=(1+3+5…+2〃-1)+——+——+------+-------------

(2x44x66x82〃x(2〃+2),

J(l+2〃-】)+¥」+」+…+J_—■一，

22(2446In2n+2)44n+4

所以数列也}的前2n项和为心=”2+：—1

4〃+4

16.方法一：（1）2x2列联表如下表

不达标达标合计

男50250300

女100200300

合计150450600

零假设为

Ho:体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关.

600(50x200-250x100)2

—»22.222>6.635.

―_300x300x150x450-9

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断Ho不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误

的概率不超过0.01.

3

(2)设事件A="随机抽取一人体育锻炼达标”，事件3=”随机抽取一人体能测试合格”，则P(A)=—,

4

,4I-2

尸⑷P(B\A)=~,P(B\A)=~.

所以P(B)=尸(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—

X的可能取值为：0,1,2,3

27

P(X=0)=

1000

189

1000

441

1000

I3343

P(X=3)=A'-T66o

所以X的分布列为

X0123

27189441343

P

1000100010001000

m一…、c27,189c441°343「

所以E(X)=Ox------+lx------+2x------+3x------=2.1.

1000100010001000

方法二：(1)同方法一

3

⑵设事件4=“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件八“随机抽取一人体能测试合格”，则尸⑷=屋

14-2

P(B)=-,P(B\A)=-,P(B\A)=-.

__7

所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—.

因为X~513,—

所以尸(X=A)=C；k=0,1,2,3.

7

所以E(X)=3x而=2.1.

17.方法一：(1)由棱台定义可知A&与Cq共面，且平面ABCD〃平面4月。12・

又平面A3cr>n平面ACGA=AC,平面4片。12口平面ACG4=AG，

所以AC〃AG.

连接AC交BD于点。，则。为AC中点.

因为3C=251G=2,所以4G=AO.

所以四边形AAOG是平行四边形，所以

又A4仁平面BDG，OGu平面3£>G，所以A&〃平面BOG，

(2)在正方形ABC。中，BD1AC,又§。，胴，AC[}A\=A,

所以平面ACGA-

因为。GU平面ACGA，所以LOG•

在Rt^BOG中，N3OG=90°,BO=41，BQ=2,所以OG=®.

在△OCC]中，OC=OC[=6,CC,=2,所以002+。。；=。。；，所以。C，OC「

以。为原点，分别以砺，灰，西为无轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

(65、(55、

5(^2,0,0)>2)(—V2,0,0),C(0,^2,0),B----,------,A/2，------,------,V2

x2222

____.(Sab、

所以函=(—0,0,0),BC=-—,—,-72.

X(22J

设平面BlCDl的法向量为n=(x,y,z),

五•BQ】=0[x=0

则1，即1，

h-BxC=Q[3y-2z=0

令y=2,则z=3,所以元=(0,2,3),

又因为平面BC.D的法向量玩=(0,1,0),

所以cos〈玩,n)=布行2V13

\m\\n\13

所以平面BCQ与平面BCD1所成角余弦值为型3.

方法二：(1)将棱台补形成棱锥P-A8CD,

由棱台定义知平面ABCD//平面•

又平面ABCDA平面BCC[B[=BC,平面0平面BCC,B{=BXCX,

所以BC〃4cl.

连接AC交BD于点。，则。为AC中点.

BCPC

又△BCPs^BCF，所以三=二=2,所以G为尸C中点,

11B©PC11

所以。G为△ACP的中位线，所以A4〃OG.

又441ct平面BDG，OCjU平面BDG，所以A&〃平面3DG

(2)在正方形ABC。中，BD1AC,又§。，明，ACC\AAi=A,

所以平面ACGA.

因为。Gu平面ACG4，所以3。LOG

在Rt^BOG中，N3OCi=90°,B0=日BQ=2,所以OC]=VL

在△OCC]中，OC=OC[=6,CC,=2,所以OC2+OC；=CC]

所以。c，OG.

连接片。交3C]于点M,连接G。交CD]于点N,

则MN为平面BCQ与平面BCD1的交线，设MN交。6于点。.

由有空4=/=」，同理空=工，

11MBCB2ND2

所以MN〃BD,所以MN,平面ACGA.

又OQu平面ACGA，QCu平面ACG4，

所以2W，。。，MNLQC,

所以/OQC为平面BQD与平面Bg的夹角.

由得豆4=丝=工，所以。。=迪.

MBQO23

在RtAQOC中，。。=子，OC=41,。。=呼，所以cos/OQC=^p.

所以平面BCQ与平面B01夹角的余弦值为栗3.

18.解：(1)设点P(x',y'),M(x,y),

因为|。尸|二|尸。I，所以0(2%'。,(/£0),

Xf+2xrrc

x=---------,2x

由M为尸O中点得《,3，

y=yU=2y

2

代入x'2+y'2=4,得上+/=：!.

•9•

所以动点M的轨迹「的方程为、■+y2=l(x中0).

(2)存在N满足题意，证明如下：

依题意直线/的斜率存在且不为0,设/的方程：y=k(x-3)+l.

y=左(％-3)+1

%22得(1+9左2)_?+18左(1—3左)x+81左2—54左=0.

设fi(x2,y2),N(Xo，%)联立＜

3+y=

18次(1—34)8142—54左

贝!]%+%=—(1)

1+9左21+9左2

直线/方程化为x=3+I匚.

》=3+匚

联立2k

,得(1+9/)/+(6左—2)y—6左+1=0

X21

——+V=1

〔9■

6k-21—6左

则乂+%=—，%%=(2)

1+9/1+9左2

2।6k-2।1-6左

依题意：2=%75一%=%+179F为十….

2

xn-xxn-x918左(1一3左)81尸一54人

01+9k2°1+9左2

(1+%2)4+(6左一2)%+1-6左_毗/+6(%一1)上+(%一1『

(1+9用¥+18%(1—3k)/+81万一54%-9(3—3『左2+18(%—3伙+.

依题意直线24,N3与坐标轴不平行，又左/2为定值，

2

y-i_(y-i)

所以00

由乙广送3乂％-1).(3)

%T(为—1)一

无；=3伉-3)(%T)・⑷

3(%-3)

由(3)(4)得%=3%或％=-3%,

[33亚3^/2

“。=丁

代入(3)得或,或＜

1

卜。=丁V2V2

［几一2%一

31[或N02_后、

所以N或N12，2J满足题意.(答案不全扣1分)

2?222/

方法二：存在N满足题意，证明如下:

依题意直线/的斜率存在且不为0,设/的方程：y=k(x-3)+l.

设A(Xi，yJ,B(x2,y2),N(x0,y0),

y=k(x-3)+l

联立%22得(1+9左2)%2+18左(I—3左)x+81左2—54左=0.

~9+y—

因为为马为上式的两根，

则(1+9公卜2+18左(1—34口+8142—54左=0+9左2)(x——%)⑴

丁一1

直线/方程化为x=3+

x=3+3

联立

因为%，%为上式的两根，

依题意：左色二%—%%—%=—%!?°―"!

%f——%(1+9左乂.一%)(公-々)

22

_(1+9左+(6左一2)为+1-6左_9yg^+6(y0-l)/r+(y0-l)

一(1+9左2)X；+18左(1_3左)/+8旅_54左_9(%_3)2左2+18(/_3快+*

下同方法一

19.解：(1)依题意可知，f(0)=0,R(0)=a,因为/(0)=R(0),所以a=0.

6bx+3x?](18—6份/+36%+366

此时，R(x)=皿十"一因为了'(%)=—，R(x)=

6+6x+x1+x

所以/'(0)=1,R'(0)=b.

因为r(0)=R(0),所以b=L.

3x~+6x

(2)依题意，/?(%)=/(x)-R(x)=ln(l+x)--F——

x~+6x+6

如户上

故/z(x)在(-L+oo)单调递增,

由人(0)=0,故\/元£(一1,0),h(x)<0,Vx