2024年高考数学二轮复习：概率统计之选择填空（学生版）（新高考专用）

专题10-1概率统计（选填）

题型一：随机抽样、分层抽样

【典例分析】

例题1.（2024秋•广东潮州•高一饶平县其次中学校考期中）从某班60名同学中选出5人

参与户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01,02,…，60进行编号，

然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字起先从左往右依次选取两个数字，则选出的第5

个同学的编号为（注：表为随机数表的第1行与第2行）（）

03474373863696473661469836716297

74246292428114572042533237321676

A.24B.36C.46D.47

例题2.（2024春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考阶段练习）某日某火锅店进货了四种食

品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及葛笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中抽

取一个容量为20的样本进行食品平安检测.若采纳分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚

份数与葛笋份数之和是（）

A.7B.13C.8D.9

【提分秘籍】

随机数表法是常用的一种抽样方法，运用时做到不重复，不遗漏.

分层抽样留意分层，每层抽样比相同.

【变式演练】

1.（2024春•广东珠海•高二珠海市试验中学校考阶段练习）要考察某公司生产的500克

袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000,001,

002,…499,利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数起先，按3位数依次向右读取，

到行末后接着从下一行第一个数接着.则第四袋牛奶的标号是（）

（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）

84421755315724550688770474476721763

35025839212067663016478591695556719

98301071851286735807443952387933211

A.358B.301C.071D.206

2.（2024•全国•高三专题练习）某中学的高一、二、三这三个年级学生的平均身高分别为

焉%彳，若按年级采纳分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一、高二、高三的

学生人数分别为100、200、300,则估计该中学学生的平均身高为（）

题型二：用样本估计总体

【典例分析】

例题1.（多选）（2024•山东东营•成功一中校考模拟预料）某校实行劳动技能大赛，统

计了100名学生的竞赛成果，得到如图所示的频率分布直方图，已知成果均在区间[40,100]

内，不低于90分的视为优秀，低于60分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值

做代表值，则下列说法中正确的是（）

A.tz=0.15

B.优秀学生人数比不及格学生人数少15人

C.该次竞赛成果的平均分约为70.5

D.这次竞赛成果的69%分位数为78

例题2.（多选）（2024•山东德州•统考二模）教化部办公厅“关于进一步加强中小学生

体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣扬，

中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育熬炼、体育竞赛、班团队活动，家校协

同联动等多种形式加强教化引导，让家长和中小学生007科学相识体质健康的影响因素.了

解运动在增加体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，

提高学生体育与健康素养，增加体质健康管理的意识和实力，某学校共有2000名男生，为

了了解这部分学生的身体发育状况，学校抽查了100名男生的体重状况.依据所得数据绘制

样本的频率分布直方图如图所示，则（）

，频率

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

O556065707580体重/kg

样本的众数为67]B.样本的80%分位数为72万

样本的平均值为66D.该校男生中低于60公斤的学生大约为300

【提分秘籍】

频率分布直方图中的考点常常涉及到:

①平均数，众数，中位数估计值;

②各个小矩形面积之和等于1

【变式演练】

1.（多选）（2024•广东韶关•统考一模）某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类

体育节目的收视状况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40%.依据调查结果分

别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则（）

男观众收看节目时长女观众收看节目时长

A.m=0.08

B.女观众收看节目时长的中位数为6.5小时

C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长

D.收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的;

2.（多选）（2024•江苏南京•南京外国语学校校联考模拟预料）某校为了解学生体能素

养，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成果整理得到如下频率分布直

方图.依据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（）

A.a=0.012

B.这100名学生中成果在［50,70）内的人数为52

C.这100名学生成果的中位数为65

D.这100名学生的平均成果为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）

题型三：样本的数字特征

【典例分析】

例题1.（2024•黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔市第一中学校校考一模）己知一个容量为

的样本数据的平均值为90,方差为10,若去掉其中5个为90的样本数据，剩余样本数据的

平均值为，方差为s2,则下列结论正确的是（）

A.x=90,s?>10B.尤=90,s?=10

C.%>90，?=10D.篷90，s?<10

例题2.（2024春•四川成都•高三统考期末）若数据9,加，6,n,5的平均数为7,方

差为2,则数据11,9,2m-l,17,2〃-1的平均数和方差分别为（）

A.13,4B.14,4C.13,8D.14,8

【变式演练】

1.（2024•湖南长沙•统考模拟预料）某地区连续六天的最低气温（单位：。C）为：9,8,7,

6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为

58o

A.7和§B.8和§C.7和1D.8和］

2.（2024•上海•高三专题练习）若数%,%，%，%，%的标准差为2,则数

3%-2,3a2—2,3a3—2,3（z4—2,3%—2的标准差为.

3.（2024•上海•高三专题练习）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,

13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小，则a、6的取值分别

是

题型四：百分位数

【典例分析】

例题1.（2024春•浙江绍兴•高三绍兴一中校考期中）从2,3,4,5,6,7,8,9中随

机取两个数，这两个数一个比加大，一个比加小的概率为三，已知机为上述数据中的x%分

14

位数，则X的取值可能为（）

A.50B.60C.70D.80

例题2.（2024春•河南开封•高三统考开学考试）已知甲、乙两组按从小到大依次排列的

数据：甲组：14,30,37,a,41,52,53,55,58,80；乙组：17,22,32,6,45,47,51,59.若甲组数据的

第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则。-6等于.

【提分秘籍】

①按从小到大排列原始数据.

②计算i=”xp%.

③若，不是整数而大于，的比邻整数J,则第P百分位数为第，项数据；若i是整数，则第。

百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数.

【变式演练】

1.（2024春•山东聊城•高三山东聊城一中校考期末）2024年2月20日，在党史学习教

化动员大会上，习近平总书记强调这次学习教化“总的来说就是要做到学史明理、学史增信

、学史崇德、学史力行，教化引导全党同志学党史、悟思想、办实事、开新局”.某单位为了

解该单位党员开展学习党史学问活动状况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时

间进行了统计，统计数据如下表所示：

党史学习时间（小时）7891011

党员人数610987

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（)

A.8,8.5B.8,8C.9,8D.8,9

2.（2024•上海•高三统考学业考试）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高

样本，数据从小到大排序如下（单位：cm）.

152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,

171,x,174,175,若样本数据的第90百分位数是173,则x的值为.

3.（2024春•湖北•高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）在我市今年高三年级期

中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成果依次是：

143,140,144,142,142,145,148,147,147,150,

这10名同学数学成果的60%分位数是.

题型五：线性回来

【典例分析】

例题1.（2024秋•北京朝阳•高二统考期末）已知一组样本数据（占,%）,（%，%），'（%，％），

依据这组数据的散点图分析龙与V之间的线性相关关系，若求得其线性回来方程为

夕=0.85元-85.7,则在样本点（165,57）处的残差为（）

A.-2.45B.2.45C.3.45D.54.55

例题2.（2024秋•江苏盐城•高二盐城市田家炳中学校考期中）已知某种商品的广告费支

出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：

X24568

y3040506070

依据上表可得回来方程§=鼠+）计算得6=7,则当投入10万元广告费时，销售额的预报

值为

A.75万元B.85万元

C.99万元D.105万元

例题3.（2024秋•河南洛阳•高二校联考阶段练习）已知变量V与无（尤＞0）的一组数据如

表所示，依据数据得到y关于X的回来方程为y=—4尤+4.

X23456

y2030506070

若y=152,贝”=

【提分秘籍】

回来直线方程y=Z?x+a肯定经过样本中心（x,y）.

【变式演练】

1.（2024•全国•高三专题练习）某公交公司推出扫码支付乘车实惠活动，活动为期两周,

活动的前五天数据如下表：

第X天12345

运用人数（y）151734578421333

由表中数据可得y关于x的回来方程为9=55/+机，则据此回来模型相应于点（2,173）

的残差为（）

A.-5B.-6C.3D.2

2.（2024•全国•高三专题练习）已知变量x,，的关系可以用模型y=cb拟合，设z=lny,

其变换后得到一组数据如下：

X46810

Z2356

由上表可得线性回来方程z=0.7尤+a，则。.

3.（2024秋•四川成都•高三四川省成都市郸都区第一中学校联考阶段练习）2024年3

月成都市连续5天的日平均气温如下表所示：

日期尤89101112

平均气温y（℃）20.521.521.52222.5

由表中数据得这5天的日平均气温，关于日期方的线性回来方程为夕=045x+&,据此预料3

月15日成都市的平均气温为℃.

4.（2024•高二课时练习）某工厂为探讨某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）

的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（尤,y）如下表所示：

题型六：独立性检验

【典例分析】

例题1.（2024秋•北京朝阳•高二统考期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生

体育熬炼的常常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，依据性别和体育熬炼状况

整理出如下的2x2列联表：

熬炼状况

性别合计

不常常常常

女生/人14721

男生/人81119

合计/人221840

n(ad-be)2

注：/独立性检验中,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

常用的小概率值和相应的临界值如下表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

依据这些数据，给出下列四个结论：

①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育熬炼的常常性有影响；

②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育熬炼的常常性没有影响；

③依据小概率值c=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育熬炼的常常性有影响，这个推

断犯错误的概率不超过0.05；

④依据小概率值e=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育熬炼的常常性有影

响，因此可以认为性别对体育熬炼的常常性没有影响.

其中，正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

例题2.（2024•全国•高三专题练习）某市实行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会

的满足度，相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满足或不满足的评价,

得到下面列联表：

n(ad-be)2

附：/其中

(Q+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)，n=a+b+c+d.

a=尸（1.左）0.100.050.005

k2.7063.8417.879

【提分秘籍】

①能正确计算/=7

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）

②能读对表中对应数据，并能正确回答出结论

【变式演练】

1.（2024秋•广东梅州•高二统考期末）经探讨表明健康的饮食和科学的运动能够有效削

减低密度脂蛋白浓度.为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查

该地100名青年大，得到2X2列联表如下：

肥胖不肥胖总计

低密度脂蛋白不高于3.Immol/L106575

低密度脂蛋白高于3.Immol/L101525

总计2080100

由此得出的.声结论是（）

A.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有

关”

B.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无

关”

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有

关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无

关”

2.（2024秋•重庆九龙坡•高二四川外国语高校附属外国语学校校考阶段练习）在一次联

考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成果进行分析，规定：大于或等于120分为优秀,

120分以下为非优秀，统计成果后，得到如下2X2列联表：

优秀非优秀合计

甲班人数50

乙班人数20

合计30110

其中〃=，+/?+c+d.

附：小…黑

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

依据独立性检验，可以认为数学考试成果与班级有关系的把握为（）

A.95%B.99.5%C.99.9%D.99%

3.（2024•全国•高三专题练习）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中

学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的《，男生追星的人数占男生

人数的巳，女生追星的人数占女生人数的彳，若有95%的把握认为中学生追星与性别有关，

则男生至少有A.

参考数据及公式如下:

P〈K』）0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

2n(ad-bc\

K=------————------------,n=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

4.（2024•全国•高三专题练习）针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜爱

韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的g,男生喜爱韩剧的人数占男生

1?

人数的：，女生喜爱韩剧的人数占女生人数的才若有95%的把握认为是否喜爱韩剧和性别

03

有关，求男生至少有一人

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

题型七：排列组合

【典例分析】

例题1.（2024•安徽蚌埠•统考一模）为实行《中共中央国务院关于全面深化新时代老师

队伍建设改革的看法》精神，加强义务教化老师队伍管理，推动义务教化优质均衡发展，

安徽省全面实施中小学老师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2024年暑

期某市教体局支配支配市区学校的6名骨干老师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少支

配1人，则不同支配方案的总数为（）

A.2640B.1440C.2160D.1560

例题2.（2024•江苏盐城•盐城中学校考模拟预料）设集合A={。,仇c},其中"c为自

然数且a+b+c=100,则符合条件的集合A的个数为（）

A.833B.884C.5050D.5151

例题3.（2024•河南•统考模拟预料）将中国古代四大名著一一《红楼梦》《西游记》《水

浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书依据如图所示的方式摆放，其中四大名著要

求放在一起，且必需竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本

竖放5本横放，则不同的摆放方法共有种.

例题4.（2024•山东济南•山东省试验中学校考模拟预料）支配高二年级一、二两个班一

天的数、语、外、物、体，一班的化学及二班的政治各六节课.要求体育课两个班一起上，但不

能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要支配在同一节；其他语、数、外、

物四科由同一任课老师分班上课，则不同的排课表方法共有种.

【提分秘籍】

排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）特殊元素优先支配；（2）合理分类与精确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）

相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题解除法处理；（7）分排问题直排

处理；

（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价条件.

【变式演练】

1.（2024•全国•模拟预料）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中46两盆花卉均摆放在

C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（）

A.360B.480C.600D.720

2.（2024•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预料）某地区支配4B,C,D,E,F六名

党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣扬活动，每个地区至少支配一人，至多支配三

人，且46两人支配在同一个社区，C,。两人担心排在同一个社区，则不同的安排方法总

数为（）

A.72B.84C.90D.96

3.（2024•四川成都•成都七中校考三模）有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人担当，

丙需2人担当且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生担当这三项任务，不同的支配方

法种数是.（用详细数字作答）

题型八：二项式定理

【典例分析】

例题1.（2024•青海西宁•涅川中学校考一模）（1+x）,石-{J的绽开式中的常数项

是（）

A.-160B.-100C.-20D.20

例题2.（2024•安徽芜湖•统考模拟预料）绽开式中，/项的系数为（）

A.5B.-5C.15D.-15

例题3.（2024•山东滨州•山东省北镇中学校考模拟预料）已知

23456

（无+1）（x—I），—a0+OyX+&X+a3x+a4x+a5x+a6x,则4+q的值为.

例题4.（2024•陕西宝鸡•宝鸡中学校考模拟预料）（f+x-2）7的绽开式中V的系数是

（用数字作答）

【提分秘籍】

二项式定理中，三项绽开式中详细某项，两个式子相乘绽开式中详细某项是考试的重点，通

项公式是重要解题工具.

【变式演练】

1.（2024•江苏盐城•盐城中学校考模拟预料）（x+l）5［：+l］的绽开式中，一次项的系数

与常数项之和为（）

A.33B.34C.35D.36

2.（2024•黑龙江大庆•大庆试验中学校考模拟预料）已知

（2%—3）+1）++%（%—1）,则。3二（）

A.280B.35C.-35D.-280

3.（2024•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预料）已知+-的绽开式中常数项

为121,则实数。=.

4.（2024•广东广州•统考一模）已知（a+x）（l+x）5的绽开式中一的系数是20,则实数

d—.

5.（2024•河南安阳•模拟预料）已知（工-2公）”（。＞0）的绽开式中只有第4项的二项式系

X

数最大，且全部项的系数和为1,则绽开式中/的系数为.

题型九：古典概型

【典例分析】

例题1.（2024•江苏连云港•江苏省赣榆高级中学校考模拟预料）某校为落实“双减”政

策；在课后服务时间开展了丰富多彩的体育爱好小组活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参

与篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选

择参与其中一项活动，则恰有两人参与同一项活动的概率为（）

例题2.（2024•全国•模拟预料）2024年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当

晚20点整在国家体育场隆重实行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按依次入场.入场

依次除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最终入场）、下届2026年冬季奥

运会主办国意大利（倒数其次位入场）外，其余代表团依据简体中文的笔划依次入场，诠释

了中文之美.现若以抽签的方式确定入场依次（希腊、中国、意大利依据传统出场依次，不

参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、

圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率

（）

例题3.（2024•内蒙古赤峰•统考模拟预料）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，

豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同.从中随意舀取4个汤圆，则每种汤圆都

至少取到1个的概率为.（用分数作答）

例题4.（2024•山东聊城•统考一模）第24届冬奥会于2024年2月4日至20日在北京

和张家口实行，中国邮政接连发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”

“雪容融”等，小明现有“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”〃雪容融”邮票各2张，他准备从这8

张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容

融”邮票的概率为.

【提分秘籍】

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事务A包含其中的左个样本

点，则定义事务A的概率尸（人）=工=黑".

nn（£2）

其中，H（A）和“（Q）分别表示事务A和样本空间。包含的样本点个数.

【变式演练】

1.（2024•山东烟台•统考三模）屈原是中国历史上第一位宏大的爱国诗人，中国浪漫主

义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九

章》、《天问》等.某校于2024年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，支配周一至周四

诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离

骚》的概率为（）

2.（2024•陕西西安•长安一中校考模拟预料）李生素数猜想是数学家希尔伯特在1900

年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数0,使得。+2是素数，素数对（p,p+2）

称为挛生素数.2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明白存

在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中随意取出不同的两个，则不

能组成挛生素数的概率为（）

3.（2024•上海•统考模拟预料）小明给挚友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数,

每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱

的概率为.

4.（2024•上海徐汇•统考二模）上海某高校哲学专业的4名探讨生到指定的4所高级中

学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想.若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则

4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是.（结果用最简分数表示）

题型十：条件概率

【典例分析】

例题1.（2024•湖南长沙•长沙县第一中学校考模拟预料）“双减”政策落实下提倡学生

参与户外活动，增加体育熬炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，支配从冰球、短

道速滑、花样滑冰三个项目中各自随意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为:，

且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为

（）

A.-B.-C.-D.-

7637

例题2.（2024•北京东城•统考三模）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）

接种率为60%,加强免疫接种（第三针）的接种率为36%,则在该地区完成新冠疫苗全程接

种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）

A.0.6B.0.375C.0.36D.0.216

例题3.（2024•天津南开•南开中学校考模拟预料）一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，

猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8,若第一

枪没有命中，猎人开其次枪，命中野兔的概率为0.4,若其次枪也没有命中，猎人开第三枪,

命中野兔的概率为0.2,若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下,

是猎人开其次枪命中的概率为.

例题4.（2024•重庆九龙坡•重庆试验外国语学校校考一模）李华应聘一家上市公司，规

则是从备选的10道题中抽取4道题测试,答对3道题及以上就可以进入面试.李华可以答对

这10道题目中的6道题.若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为.

【提分秘籍】

一般地，设A，8为两个随机事务，且P（A）＞0,我们称尸（3|4）=二里=里"为

P(A)“(A)

在事务A发生的条件下，事务6发生的条件概率，简称条件概率.

【变式演练】

1.（2024•江西•校联考二模）有甲乙丙丁4名人学生志愿者参与2024年北京冬奥会志愿

服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参与冰壶，短道速滑、花样滑冰3个竞赛项目的志

愿服务，假设每个项目至少支配一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲

被支配到了冰壶的条件下，乙也被支配到冰壶的概率（）

2.（2024•江苏南京•南京市第五高级中学校考模拟预料）有四位同学参与校内文化活动,

活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所

报选项各不相同的概率等于（）

3.（2024•湖南•校联考模拟预料）某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科

目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的

目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则接

着射击，3发子弹都没打中，移动目标消逝.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往

的训练成果发觉，李好第一枪命中目标的概率为0.8,若第一枪没有命中，其次枪命中目标

的概率为0.4,若其次枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下,

李好其次枪命中目标的概率是

题型十一：正态分布

【典例分析】

例题1.（2024•江苏•江苏省木渎高级中学校联考模拟预料）2012年国家起先实施法定节

假日高速马路免费通行政策，某收费站统计了2024年中秋节前后车辆通行数量，发觉该站

近几天车辆通行数量自〜N（1OOO,〃），若PC>1200）=a,P（800<J<1200）=6,则当

8必之b+2a时下列说法正确的是（）

1131

A.a=—B.b=—C.a+b=—D.a—b=—

2442

例题2.（2024•江苏扬州•统考模拟预料）山东烟台苹果因“果形端正、色泽明丽、果肉活

脆、香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm））

听从正态分布N%,52）,则直径在（70,85］内的概率为（）

附：若X吟,贝!JP（〃一b<XW〃+b）=0.6826,P（〃-2cr<X<"+2b）=0.9544

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

例题3.（2024•河北•校联考模拟预料）已知随机变量X听从正态分布N（2,〃），且

P（X2-4X+3<0）=0.6827,则尸（X<-1）=.（附：若XN出吟,则

-er<X<〃+b）=0.6827,P（/z-2（J<X<//+2cr）=0.9545,

尸（4—3b«XK〃+3b）=0.9973）

例题4.（2024•广东汕头•统考三模）某省2024年起先将全面实施新高考方案.在6门

选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采纳原始分计分；思想政治、地理、化学、生物

这4门科目采纳等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A,B，C,D,E

共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%和2%,并按给定的公式进行

转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科

目的原始分进行了等级转换赋分.假设该省此次高一学生化学学科原始分F听从正态分布

N（76.3,64）.若丫令”?，则〃〜N（0,l）.请解决下列问题：若以此次高

一学生化学学科原始分。等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为

分（结果保留1位小数）

附：若〃~N(O,1),P(〃W2.05卜0.98.

【提分秘籍】

假设X~N（〃，/），可以证明：对给定的左eN*,尸（〃一发+

是一个只与上有关的定值.

特殊地，P（从—bWX<//+cr）«0.6827,

尸（〃一2b<X«〃+2b卜0.9545,

尸(〃一3b<X<〃+3b)a0.9973.

上述结果可用右图表示.

【变式演练】

1.（2024•江苏常州•统考模拟预料）已知随机变量J听从正态分布N（〃,4）,若函数

f（x）=P（x<J<x+2）是偶函数，则实数〃=（）

A.0B"C.1D.2

2.（2024•河北石家庄•石家庄二中校考模拟预料）已知两个随机变量XK其中X~8，,；

（。>0）,若£（»=£（»,且尸阴<1）=0.3,则尸（y<-i）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1

3.（2024•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预料）为了监控某种食品的生产包装过程，检

验员每天从生产线上随机抽取左（々eN*）包食品，并测量其质量（单位：g）.依据长期的生产

阅历，这条生产线正常状态下每包食品质量听从正态分布假设生产状态正常，记自

表示每天抽取的发包食品中其质量在（〃-3b,〃+3b）之外的包数，若J的数学期望EG）>0.05,

则发的最小值为.

附：若随机变量才听从正态分布N（〃,4）,则尸（〃-3b<X<〃+3b）=0.9973.

4.（2024•河南•校联考模拟预料）若随机变量4的数学期望和方差分别为石信），0（4）,

则对于随意£>0,不等式P低-召团泊卜曾成立.某次考试满分150分，共有1200

名学生参与考试，全体学生的成果自〜%（90,62）34,则分数不低于110分的学生不超过

A.

题型十二：均值和方差

【典例分析】

例题1.（2024•山东济南•统考二模）已知数据不，巧，X3,…，x”的平均数为4,方差

为2,则数据2占+3,2%+3,2%+3,…，2%+3的平均