高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）圆的方程

圆—的—方—程

1基础知识要打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

1.圆的定义及方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）

标准(X—a)2+(p—6)2二产

圆心：3_也），半径•,二

方程(r>0)

2'-1

圆心：

一般♦+炉+加+功+以=0

方程(4+片-4处0)

半径：0］毋+万一4F

2.点与圆的位置关系

点〃（Xo,㈤与圆（X-a），+（y-6）2=/的位置关系:

⑴若〃（xo,为）在圆外，贝（］（刘-a）2+（吐-6”>丁

⑵若〃（刘，丹）在圆上，贝（］（刘-a）2+（%-6）2=7A

⑶若〃（刘，㈤在圆内，贝（］（刘-a）2+（耳-6）2</.

［小题能否全取］

1.（教材习题改编）方程/+/+4腔-2了+57=0表示圆的充要条件是（）

1

<1B.m<（或m>1

4-

1

C<-

ZZ74D.勿>1

解析：选B由（4而*+4-4X5/>0得（或m>1.

2.（教材习题改编）点（1,1）在圆（x-〃）2+（y+〃）2=4内，则实数己的取值范围是（）

A.（-1,1）B.（0,1）

C.（-8,-1）U（1,+8）D.（1,+8）

解析：选A•••点（1,1）在圆的内部，

/.（1-5）2+（1+5）2<4,

-1<1.

3.圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(

A./+(y-2)2=lB./+(y+2)2=l

C.(x-I)?+5-3)2=1D./+(y-3)2=1

解析：选A设圆心坐标为(0,垃,则由题意知40-1z+廉2=I,解得6=2,故圆的方程

为/+(y-2)“=1.

4.(-潍坊调研)圆f-2x+/-3=0的圆心到直线x+小y-3=0的距离为一

1-3

解析：圆心(1,0),d=~r==l.

<1+3

答案：1

5.(教材习题改编)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为

解析：设圆的方程为/+y=a2(a>0)

J2।二a：.a=\[2,

x+y=2.

答案：f+y=2

1.方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F-0表不圆的充要条件是：

(1)彳=0；(2)2=今0；(3)方+]一4"尸>0.

2.求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算.

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

⑵圆心在任一弦的中垂线上.

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.

色|高叫(且、抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

圆的方程的求法

典题导入

[例1](1)(•顺义模拟)已知I圆c关于了轴对称，经过点(1,0)且被X轴分成两段弧长之比为1：2,

则圆。的方程为()

皿±丹+"B(x土丹+/J

41

2

Dr+

-3-X-3-

⑵已知圆。经过4(5,1),6(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆。的方程为

2兀

［自主解答］(1)由已知知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为工一，设圆心(0,6),半径

O

JI解得人者即6=±坐

为二贝IJ八打勺二1,rcos-=|b\,b\

4

故圆的方程为

3,

(2)圆。的方程为/+y+Dx+F=0,

26+5〃+分=0,

10+〃+尸=0,

f〃二-4,

解得「

圆，的方程为x+y-4x-6=0.

［答案］(DC(2)7+7-4^-6=0

由题悟法

「利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a,b,r或D,£,厂的方程组.

2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运

用.

以题试法

1.(•浙江五校联考)过圆f+/=4外一点尸(4,2)作圆的两条切线，切点分别为4B,则△/第的外

接圆的方程是()

A.(x-4)°+(y-2)2=1B.Y+(y-2)2=4

C.(x+2)?+(y+1尸=5D.(x-2)'+(y-1)2=5

解析：选D易知圆心为坐标原点。，根据圆的切线的性质可知小，OB1PB,因此产，40,8四

点共圆，△.为8的外接圆就是以线段。户为直径的圆，这个圆的方程是(X-2V+5-1尸=5.

与圆有关的最值问题

典题导入

［例2］⑴(•湖北高考)过点户(1,1)的直线，将圆形区域｛(x,y)|V+/W4｝分为,两部分，使得这两

部分的面积之差最大，则该直线的方程为()

A.x+y-2=0B.y-l=0

C.x-y=OD.x+3y-4=0

②P(x,力在圆C：(x-1>+(y-1)2=1上移动,则♦+)的最小值为.

［自主解答］(1)当圆心与尸的连线和过点尸的直线垂直时，符合条件.圆心。与尸点连线的斜率左

=1,，直线05垂直于x+y-2=0.

(2)由C(l,1)得|0C\则|明面,,=隹T,即+))皿=/_1.所以V+/的最小值为(.-

1y=3-2机

［答案］(DA(2)3-2/

由题悟法

解决与圆有关的最值问题的常用方法

y-b

(1)形如u=—;的最值问题，可转化为定点(a,6)与圆上的动点(x,力的斜率的最值问题(如/级To)；

(2)形如力=ax+6y的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))；

(3)形如(x-a¥+(y-6)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2)).

以题试法

2.⑴(•东北三校联考)与曲线C：f+y+2x+2y=0相内切，同时又与直线/：y=2-x相切的半

径最小的圆的半径是.

(2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1则2x-y的最大值为最小值为.

解析：(1)依题意，曲线。表示的是以点以-1,-1)为圆心，/为半径的圆，圆心以-1,-1)到直

l2J2+J23、历

线y=2-x即x+y-2=0的距离等于一忑——=29，易知所求圆的半径等于、？二堂

⑵令6=2x-y,贝1J6为直线2x-y=£在y轴上的截距的相反数，当直线2x-尸6与圆相切时，b

12X2+1—引I-I-I—

取得最值.由——忑——=1.解得6二5±4，所以2x-y的最大值为5+4，最小值为5-m.

答案：⑴芈⑵5+45-乖

与圆有关的轨迹问题

31

典题导入

［例3］(•正定模拟)如图，已知点2(-1,0)与点8(1,0),C是圆x+y=1

上的动点，连接正并延长至〃使得I5=\BC\,求〃与勿的交点P的轨迹方

程.

［自主解答］设动点户(莅力，由题意可知?是△/劭的重心

由」(-1,0),8(1,0),令动点以刘，㈤,

则〃(2为-1,2%),由重心坐标公式得

—1+1+2Ab-1〃3x+1

荀二一2一，

贝W.

3y

y<>=~

代入才2+/=1,整理得（x+；）+/="go）,

故所求轨迹方程为"廿+/Jgo).

由题悟法

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程.

(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程.

(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

以题试法

3.(•郑州模拟)动点尸到点4(8,0)的距离是到点8(2,0)的距离的2倍,则动点尸的轨迹方程为()

A./+y=32B./+/=16

C.(jr-l)2+y=16D./+(y-1)2=16

解析：选B设P(x、y),则由题意可得x-22+/=yjx-82+/,化简整理得/+/=16.

和j解题illl军委声装GAOXIAO抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

4级全员必做题

1,圆(x+2)2+/=5关于原点尸(0,0)对称的圆的方程为()

A.(^-2)2+y=5B./+(y-2)2=5

C.(x+2)'+(y+2)2=5.x+(y+2)2=5

解析：选A圆上任一点(x,y)关于原点对称点为(-x,-力在圆5+2-+/=5上，即(-x+21+(-

力-5.即(2-2产+p=5.

2.(•辽宁高考)将圆V+/-2x-4y+l=0平分的直线是()

A.x+pT=0B.x+y+3=0

C.x-y+1=0D.x-y+3=0

解析：选c要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2).A,B,C,D四个选

项中，只有C选项中的直线经过圆心.

3.(-青岛二中期末)若圆，的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该

圆的标准方程是()

A.(x-3)2+(y-，)=lB.(x-2)?+(y-1)2=1

C.(x-I)2+(y-3)2=1D.^-|^2+(/-1)2=1

4a-3

解析：选B依题意设圆心C(a,l)(a>0),由圆C与直线4x-3y=0相切，得一--=1,解得a=2,

U

则圆C的标准方程是(X-2)2+(y-1)2=1.

4.(•海淀检测)点户(4,-2)与圆V+/=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x-2>+(y+1)2=1B.(了-2尸+(y+1>=4

C.(x+4)?+(y-2)z=4D.(x+2)?+(y-1)、1

，4+xo

X=2'

解析：选A设圆上任一点为0(荀，㈤，制的中点为〃(x,y),贝N.解得

-2+用

、尸~2-'

[XQ-2X-4,

cC因为点。在圆f+V=4上，所以(2x-4)?+(2y+2)、4,gp(^-2)2+(y+l)2=l.

1%=2P+2.

5.(•杭州模拟)若圆f+炉-2x+6p+5z=0,关于直线y=x+26成轴对称图形，贝"女-占的取值范

围是()

A.(-8,4)B.(-8,0)

C.(.—4,+°°)D.(4,+8)

解析：选A将圆的方程变形为(x-l¥+(y+3)2=10-5a,可知，圆心为析-3),且10-5a>0,

即a<2.•.•圆关于直线y=x+26对称，丁.圆心在直线x+26上，即一3=1+2瓦解得6=—2,：.a-b

<4.

6.已知点"是直线3x+4y-2=0上的动点，点N为圆(x+lT+(y+l)2=l上的动点，贝小仞M的最小

值是()

9

A-B.1

5

|-3—4—21

解析：选C圆心(-1,-1)到点〃的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d=-----；-----

94

7,故点加到点"的距离的最小值为d-l=~

oo

7.如果三角形三个顶点分别是。(0,0),2(0,15),庾-8,0),则它的内切圆方程为.

\OA\+\OB\-\AB\15+8-17

解析：因为△/如是直角三角形，所以内切圆半径为-----------------=——=3,圆心坐

标为(-3,3),故内切圆方程为(x+3/+(y-3)2=9.

答案:一+3)2+5-3尸=9

8.(•河南三市调研)已知圆C的圆心与抛物线/=4x的焦点关于直线y=x对称，直线4x-3y-2=

。与圆C相交于46两点，且|朗=6,则圆C的方程为.

解析:设所求圆的半径是々依题意得，抛物线V=4x的焦点坐标是(1,0),则圆，的圆心坐标是(0,1),

|4XO-3X1-2|q.(\AB\\n

圆心到直线4x-3y-2=0的距离d=尸^-丁r=1,贝I]〃=/+广可-=10,因此圆。的方程是

/+(y-1)2=10.

答案：9+(y-1尸=10

y-2

9•(•南京模拟)已知x,y满足9+八1,则E的最小值为--------

y—2y—2

解析：一f表示圆上的点Plx,力与点0(1,2)连线的斜率，所以「的最小值是直线网与圆相切时

X—1X—1

12—用3y~2

的斜率设直线，。的方程为尸2=1)即小y+2*0,由后1得结合图形可知，口

33

力,故最小值为了

答案

10.过点c(3,4)且与X轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为心九求rs.

解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限，

且在直线P=x上，故可设两圆方程为

(x—d),+(y-a)2=a,(x-Z?)2+(y-芹=6、

且=2.由于两圆都过点C

则(3-a)2+(4-3)2=]，(3-6)2+(4-6)2=方

即才一14女+25=0,4-146+25=0.

贝1J己、6是方程*-14x+25=0的两个根.

故rii2=a6=25.

11.已知以点尸为圆心的圆经过点4(-1,0)和庾3,4),线段Z8的垂直平分线交圆尸于点。和么且

=4-\/10.

(1)求直线切的方程；

⑵求圆户的方程.

解：(1)直线4?的斜率A=l,46的中点坐标为(1,2).

则直线CD的方程为y-2=-(x-1),

即x+p-3=0.

⑵设圆心?(a,垃,则由尸在切上得a+6-3=0..①

又；直径I)=4①，|朋=2四，

J.(a+l)2+N=40.②

^二一3,乃二5,

由①②解得.或

b=6b=-2.

.••圆心户(-3,6)或一(5,-2).

・••圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40

或0-5)2+5+2)2=40.

12.(•吉林摸底)已知关于工y的方程C：后+/一2才-4/+7=0.

(1)当m为何值时，方程C表示圆；

(2)在⑴的条件下，若圆C与直线/：x+2y-4=0相交于〃、及两点，且1削=芈，求力的值.

解：⑴方程。可化为(X-1”+(y-2)2=5-〃，显然只要5-/>0,即/<5时方程C表示圆.

(2)因为圆。的方程为(x-1产+(y-2尸=5-0，其中/<5,所以圆心以1,2),半径

11+2X2-4|1

则圆心以1,2)到直线/：x+2y-4=0的距离为d=-

+2勺5

因为阴=与^,所以今融

所以5-勿伐卜殍卜

解得m=4.

B级重点选做题

22

1.(-常州模拟)以双曲线X至-会V=1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是()

A.(x—十)2+4=1B.(x-3)?+y=3

C.(x-y[3y+y=3D.(x-3)2+y=9

13I

解析：选B双曲线的渐近线方程为x土木y=0,其右焦点为⑶0),所求圆半径r=I,『

勺1+±yJ2

=事,所求圆方程为(x-3>+/=3.

2.由直线y=x+2上的点尸向圆C：(x-4y+5+2/=1弓|切线尸7(7为切点)，当।阳最小时，点?

的坐标是()

A.(-1,1)B.(0,2)

C.(-2,0)D.(1,3)

解析：选B根据切线长、圆的半径和圆心到点夕的距离的关系，可知］叼="用」-1,故//最小

时，即出。最小，此时比垂直于直线P=x+2,则直线产。的方程为y+2=-(x-4),即p=-x+2,联

\y=x+2,

立方程解得点尸的坐标为92).

ly=_x+2o,

3.已知圆〃过两点。(1,-1),2(-1,1),且圆心〃在x+y-2=0上.

(1)求圆〃的方程；

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、阳是圆〃的两条切线，A,6为切点，求四边形序场面

积的最小值.

解：⑴设圆〃的方程为程-"+(y-»£=/(r>0).

(1-a2+-1-b2=r,

根据题意，得|—-a2+\-b2=r2,

[a+b-2=0.

解得a=b=l,r=2,

故所求圆〃的方程为5-1)2+(y-1)2=4.

(2)因为四边形奶的面积S=SAPMI+SAPBM

=^\AM\•\PA\+||W|•\PB\,

又=I飒=2,I*=1阳，所以S=2|7H

而I当I=qi网27阴2=qi冏仆4