中考数学一轮复习第三讲图形的平移、旋转与位似（解析版）

模块七图形变化

第三讲图形的平移、旋转与位似

知识梳理夯实基础

知识点1:图形的中心对称

1.中心对;务与中心对称图形

中心对称图形中心对称

定义把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后把一个图形绕着某一点旋转180。，如果它能

的图形能和原来的图形重合，那么这个图形够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关

叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中于这个点成中心对称，这个点叫做它们的对称

心.中心.

图示

对应AB=CD-,AD=CBAB=A'B',AC=A'C,BC=B'C.

线段成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行

相等(或在一条直线上)

对应ZB=____；ZA=_____ZA=_________,

角相ZB=__________,

等zc=__________.

对应△AOB丝________△ABC义_________,

图形△AOD^ACOB等成中心对称的两个图形是全等图形.

性全等

质对应(1)点A与点______,(1)点A与点_______，点B与点________，点C

点点B与点______.与点

(2)非重合对应点的连线均过对称中心且被(2)非重合对应点的连线均过对称中心且被对

对称中心平分.称中心平分.

区别中心对称图形是指具有特殊形状的一个图中心对称是指两个全等图形之间的位置关系.

形.

联系中心对称图形可分割为关于某点成中心对称的两部分；若把成中心对称的两个图形看作一个

整体，则它就是一个中心对称图形.

2.常见的中心对称图形及其对称中心

图形对称中心

平行四边形

矩形

菱形

正方形

圆

正2n边形(n为正整数)

知识点2:图形的平移与旋转变换

图形的平移图形的旋转

定义在平面内，把一个图形沿某个方向在平面内，把一个图形绕着定点0

移动一定的距离，会得到一个新图转动一个角度，得到另一个图形，

形，新图形与原图形的形状和大小这种变换叫做图形的旋转，点0叫

完全相同，图形的这种变换叫做平做______________，转动的角度叫

移.做___________.

图示

给直的方向

X<1♦

要素平移方向、平移距离旋转中心、旋转方向、旋转角

(1)平移不改变图形的大小和形(1)旋转前后的图形___________；

状，只改变图形的位置，平移前后(2)对应点到旋转中心的距

的两图形全等；离________;

(2)对应点所连线段平行(或在一(3)对应点与旋转中心所连线段的

条直线上)且相等.夹角_____旋转角.

网格作图步骤(1)根据题意，确定平移的方向和(1)根据题意，确定旋转中心、旋转

平移距离；方向及旋转角；

(2)找出原图形的关键点；(2)找出原图形的关键点；

(3)按平移方向和平移距离平移各(3)连接关键点与旋转中心，按旋

个关键点，得到各关键点的对应转方向与旋转角将关键点旋转，得

点；到各关键点的对应点；

(4)按原图形依次连接各关键点的(4)按原图形依次连接各关键点的

对应点，得到平移后的图形.对应点，得到旋转后的图形.

知识点3:位似图形

1.定义

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫

做，此时的相似比又称为.如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图

形.

2.性质

⑴对应点的连线或其延长线都相交于同一点(位似中心)；

⑵位似图形对应边平行或共线，且成比例；

⑶位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于，位似图形的面积比等于

(4)位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，具有相似图形的一切性质.

3.在网格中作位似图形的步骤

⑴确定位似中心；

⑵连接位似中心和原图形的关键点并延长或反向延长；

⑶根据位似比，确定原图形关键点的对应点；

⑷按原图形顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.

注意：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧,位似中心只有一个.

直击中考胜券在握

L(2023•重庆中考A卷)如图，0ABe与位似，点。是它们的位似中心，其中。£=2。8,则0ABe与

【答案】A

【解析】

【分析】

利用位似的性质得0ABCWDEROB：OE=1：2,然后根据相似三角形的性质解决问题.

【详解】

解：回EABC与配出尸位似，点。为位似中心.

0EL4BC00DEF,OB-.OE=1：2,

EEL4BC与回£)£厂的周长比是：1：2.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

2.如图，将周长为12的0ABe沿BC方向向右平移2个单位得到SDER则四边形ABED的周长为()

A

Are一

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长=^ABC的周长+AD

+CF代入数据计算即可得解.

【详解】

H3ABC沿BC方向平移2个单位得到EIDEF,

E1AD=CF=2,

团四边形ABFD的周长，

=AB+BC+DF+CF+AD,

=I3ABC的周长+AD+CF,

=12+2+2,

=16.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平移的性质，主要利用了对应点的连线等于平移距离，结合图形表示出四边形ABFD的周长是解

题的关键.

3.（2023•广安中考）如图，将一ABC绕点A逆时针旋转55。得到ADE,若/E=70。且于点产，

则ZBAC的度数为（）

D

A.65°B.70°C.75°D.80°

【答案】C

【解析】

【分析】

由旋转的性质可得团比1。=55。，0E=EACB=7O°,由直角三角形的性质可得回ZMC=20。，即可求解.

【详解】

解：团将0ABe绕点A逆时针旋转55。得0AQE,

EBA4D=55°,ELE=EIACB=70°,

0AD0BC,

回回。4。=20°,

^EBAC=^BAD+^DAC=75°.

故选C.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键.

3

4.（2023•湖南省邵阳市中考）如图，在,403中，AO=1,BO=AB=~.将绕点。逆时针方向旋

转90。，得到"'。9，连接A4'.则线段A4'的长为（）

33

A.1B.\p2,C.—D.—A/2

22

【答案】B

【解析】

【分析】

根据旋转性质可知。4=。4',ZAOA'=90°,再由勾股定理即可求出线段AA的长.

【详解】

解：回旋转性质可知Q4=Q4'=1,ZAOAr=90°,

SiAA^ylOA2+A'O2=^，

故选：B.

【点睛】

此题主要考查旋转的性质和勾股定理求出直角三角形边长，解题关键是根据旋转性质得出二。3'是等腰直角

三角形.

5.（2023•天津中考）如图，在，ABC中，ZBAC=120°,将ABC绕点C逆时针旋转得到，DEC,点A,B

的对应点分别为。，E,连接AD.当点A,D,£在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）

A.ZABC=ZA£>CB.CB=CDC.DE+DC=BCD.AB//CD

【答案】D

【解析】

【分析】

由旋转可知NEDC=NBAC=120。，即可求出NA£>C=60。，由于NABC<60。，则可判断NABCwNADC,

即A选项错误；由旋转可知Q3=CE,由于CE>CD,即推出CB>C」D,即B选项错误；由三角形三边关

系可知DE+£>C>CE,即可推出DE+OC>CB,即C选项错误；由旋转可知DC=AC,再由NAT）C=60。，

即可证明二ADC为等边三角形，即推出NACD=60。.即可求出NACD+N54c=180。，即证明

ABHCD,即D选项正确；

【详解】

由旋转可知ZEDC=ABAC=120°,

回点A,D,E在同一条直线上，

团ZADC=180。一NEDC=60°,

0ZABC<6O°,

SZABC^ZADC,故A选项错误，不符合题意;

由旋转可知CB=CE,

El/EDC=120°为钝角，

SCE>CD,

BCB>CD,故B选项错误，不符合题意；

SDE+DC>CE,

^\DE+DC>CB,故C选项错误，不符合题意；

由旋转可知DC=AC,

0ZAT）C=6OO,

0ADC为等边三角形，

0ZACD=60°.

0ZACD+ZBAC=180°,

0AB//CD,故D选项正确，符合题意；

故选D.

【点睛】

本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定.利用数形结合的思

想是解答本题的关键.

6.（2023•绵阳中考）如图，在平面直角坐标系中，AB//DC,AC1BC,CD=AD=5,AC=6,将四

边形ABC。向左平移机个单位后，点8恰好和原点。重合，则加的值是（）

A.11.4B.11.6C.12.4D.12.6

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可得，加的值就是线段08的长度，过点。作DELAC,过点C作CFLOB,根据勾股定理求得DE

的长度，再根据三角形相似求得所,矩形的性质得到。尸，即可求解.

【详解】

解：由题意可得，加的值就是线段。3的长度，

过点。作过点。作C尸，。3,如下图:

国CD=AD=5,DELAC

[?]CE=-AC=3,ZDEC=90°

2

由勾股定理得DE=ylCD2-CE2=4

ABIIDC

⑦NDCE=NBAC,ZODC=ZBOD=90°

ACIBC

国NACB=/CED=90。

回△DECS/\5C4

DECECD435

团——=——=——，BRPn一二一

BCACABBC6AB

解得5C=8,AB=10

^CFLOB

0/ACB=/BFC=90。

aABCF^ABAC

BCBF口口8BF

ABBC108

解得防=6.4

由题意可知四边形。内CD为矩形，^\OF=CD=5

OB=BF+OF=UA

故选A

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本

性质是解题的关键.

7.（2023•苏州中考）如图，在方格纸中，将RtZXAOB绕点3按顺时针方向旋转90。后得到RtaAO'B,则

下列四个图形中正确的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据绕点8按顺时针方向旋转90。逐项分析即可.

【详解】

A、Rt^ACXB是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意;

B、RtZXA'O'B是由绕点8按顺时针方向旋转90。后得到，故B选项符合题意；

C、RtAA,aB与RtZkA03对应点发生了变化，故C选项不符合题意；

D、是由RtAAOB绕点B按逆时针方向旋转90。后得到，故D选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查旋转变换.解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数.

8.（2023•河南中考）如图，"Q4BC的顶点。（。，。），A（l,2）,点C在x轴的正半轴上，延长私交》轴于点。.将

Y9/M绕点。顺时针旋转得到△OD0,当点。的对应点M落在。4上时，的延长线恰好经过点C,则

点C的坐标为（）

A.(2>/3,0)B.(26,0)C.(2括+1,0)D.(2君+1,0)

【答案】B

【解析】

【分析】

连接AC,由题意可证明△4。。/△。疗。，利用相似三角形线段成比例即可求得OC的长，即得点C的坐标.

【详解】

如图，连接A'C,因为轴，

VODA绕点0顺时针旋转得到△ODA,

所以/8'。=90°,OD'=OD

ZDOA+AD'OC=ZZ7CO+NDOC

:.ZDOA=ZD'CO

;./\ADO^/\OD'C

ADOP'

"~AO~~dc

.4L2)

.-.AD=\,OD=2

AO=Vl2+22=>/5,Oiy=OD=2

\OC=2s/5

故答案为B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，找到△WOsAayc是解题的关键.

9.（2023•龙东地区模拟）如图，在正方形ABCD中，M是A8上一动点，E是CM的中点，AE绕点E顺时

针旋转90。得ER连接。E,DF,CF.下列结论：①DE=EF；②/CDF=45。；③ZAEM=NFEC；

@ZBCM+ZDCF=45°.其中结论正确的序号是（）

A.①②③B.①③④

C.②③④D.①②④

【答案】D

【解析】

【分析】

延长AE交。C的延长线于点H,由"A4S"可证型"CE,可得AE=EH,由直角三角形的性质可得

AE=EF=EH,可判断①；由四边形内角和定理可求213A可得0AZ）R=135。，可判断②；M

为AB上动点，0AEM为动态变化的角，可判断③；连接AC,证明aDC/^HACM,即可得到aDCF=EACM,

即可判断④.

【详解】

解：如图，延长AE交。C的延长线于点X,

回点石是CM的中点,

^\ME=EC,

0A苑CD,

团团MAE二团”，^\AME=^HCEf

防AAffiMIHCE(A4S),

^AE=EH,

又函ADH=90。，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，

⑦DE二AE=EH,

财石绕点E顺时针旋转90。得到EF,

l?L4E=EF,0AEF=9O°,

^AE=DE=EF,故①正确；

^\AE=DE=EFf

团团D4E=她。E,^\EDF=^EFD,

00AEF+0DAE+0AD£+0E£>F+0EFD=36O°,

回20ADE+2回即尸=270°,

酿A。尸=135°,

fflC£>F=0AZ)F-0ADC=135o-9Oo=45o,故②正确；

假如③正确，则她画介附既7=(180。-她瓦卜2=45。，为确定的大小,

由于M为A3上动点，则0AEM为一个动态变化的值，故③错误;

连接AC,过尸碰AD,KVHPE交CD于。点，如下图所示：

EBFEN+0AEP=9O°,0EAP+0A£P=9O°,

^S\FEN=^EAP,

且0APE=I3ENF=9O°,EA=EF,

SBAPESEENF(AAS),

妫尸二NE,

胤AM0P£0OC,且£是"C的中点，

SiPE是梯形AMCD的中位线，

SPE=-(AM+CD)^-AM+-CD^-AM+-AD^-AM+AP,

222222

又PE=PN+NE,

EIPN=JAM,

又PN=DQ,国0。尸=45°,回£)0尸=90°,

回SD。尸为等腰直角三角形，

5

^DF=J2DQ=J2PN=—AM,

2

JFV2

AM2

在等腰直角她CD中，—,

AC2

DFDC

团---=---,

AMAC

JL0CDF=0M4C=45°,

^CDF^CAM,

00DCF=0MCA,

0ZBCM+0A/CA=0BCA/+0Z)CF=0BCA=45O,故④正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，旋

转的性质，梯形中位线的定理等知识，综合性较强，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

10.如图，在=ABCD中，AD=7,AB=26,0B=6O°.E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将AABE沿BC方向

平移到ADCF的位置，得到四边形AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为.

【答案】20

【解析】

【详解】

【分析】当AE回BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可.

【详解】当AEEIBC时，四边形AEFD的周长最小，

0AE0BC,AB=2jL0B=6O°,

0AE=3,BE=石，

EHABE沿BC方向平移到ADCF的位置，

I3EF=BC=AD=7,

回四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20,

故答案为20.

【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是确定出当AE回BC时，四边形AEFD的周长最小.

IL（2023•新疆中考）如图，已知正方形边长为1,E为A3边上一点，以点。为中心，将△D4E按

AE2

逆时针方向旋转得DCF,连接EF,分别交血。于点N.若丽=子则sin/EDM=----------------

【答案】@

5

【解析】

【分析】

过点E作EPI3B。于P,将EIEDM构造在直角三角形DEP中，设法求出EP和。E的长，然后用三角函数的定

义即可解决.

【详解】

解:回四边形ABCQ是正方形，

EL4B0DC,EL4=0BCD=EMDC=9OO,

AB=BC=CD=DA=1,BD=sfl.

EBDAE绕点D逆时针旋转得到回。CF,

EICF=AE,DF=DE,SEDF=SADC=90°.

设A£=CF=2x,DN=5x,

贝ljBE=l-2x,CN=l-5x,BF=l+2x.

EMB0DC,

@AFNC~"EB.

NCFC

团----------.

EBFB

l-5x2x

团

l-2xl+2x

整理得，6x2+5x-l=0.

解得，X[=J，七=-1（不合题意，舍去）.

o

团AE=2x=—,EB=1—2x=—.

33

过点£作“于点R如图所示,

设。P=y,贝1]BP=0—y.

团EB2-BP2=Ep2=DE1-DP1y

团在R的。EP中，

也

sinNEDP=--=2—=.即sin/EDM=.

EDV1055

亍

故答案为：县

5

【点睛】

本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数

学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义

是解题的关键.

12.（2023•吉林省中考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,3）,点8的坐标为（4,0）,连接

若将绕点8顺时针旋转90。，得到△4301则点4的坐标为.

【答案】（7,4）

【解析】

【分析】

根据旋转的性质可求得O'A和O'B的长度，进而可求得点A'的坐标.

【详解】

解：作ACLx轴于点C,

由旋转可得NO'=90。，O'BLx轴，

回四边形O'BOT为矩形，

SBC=A'O'=OA=3,A'C=O'B=OB=4,

回点A,坐标为（7,4）.

故答案为：（7,4）.

【点睛】

此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系.

3

13.（2023•湖南省益阳市中考）如图，RJABC中，ABAC=90°ZABC=-,将..ABC绕A点顺时针方

向旋转角。（。°<a<90。）得到△AB'C',连接BE,CC,则△C4C'与△氏烟的面积之比等于.

【答案】9:4

【解析】

【分析】

\r3

先根据正切三角函数的定义可得黑=4，再根据旋转的性质可得AB=AB',AC=AC',ZBAB'=ZCAC=a,

AB2

/io

从而可得然后根据相似三角形的判定可得一c4c'〜—区钻’，最后根据相似三角形的性质即可

ACAB

得.

【详解】

3

解：在MABC中，ZBAC=90°,tanZABC=-,

AC3

**-9

AB2

由旋转的性质得：AB=AB\AC=AC,ZBABf=ZCAC=a,

ACAB1

"ACAB'，

ACAB

在△C4C和ABW中，］AC7-AB7,

NCAC'=NBAB'

CAC-BAB',

.S-d9

"sBAB.UBJ"

即△G4C'与的面积之比等于9:4,

故答案为：9:4.

【点睛】

本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是

解题关键.

14.（2023•安徽中考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线

的交点）上.

（1）将ABC向右平移5个单位得到“，用弓，画出“，耳弓；

（2）将（1）中的△A4G绕点C1逆时针旋转90。得到△人为£，画出△&纥G.

【答案】（［）作图见解析；（2）作图见解析.

【解析】

【分析】

（I）利用点平移的规律找出A、B1、q,然后描点即可;

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点4,2即可.

【详解】

解：（1）如下图所示，"百弓为所求；

（2）如下图所示，为所求；

【点睛】

本题考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题的关键.

15.（2023•达州中考）如图，在平面直角坐标中，AABC的顶点坐标分别是A（0,4）,3（0,2）,C（3,2）.

（1）将AABC以。为旋转中心旋转180。，画出旋转后对应的

（2）将AABC平移后得到A4层C2,若点A的对应点4的坐标为（2,2）,求的（702的面积

【答案】⑴见解析；（2）11

【解析】

【分析】

(1)延长AO至A,使得4。=4。；延长80至⑸，使得8。=80；延长CO至G,使得CO=G。；再连接

A,稣G即得旋转后对应的A414cl；

(2)根据平移的规律求出与(2,0),C2(5,0),再连接点A，G，G，得AAGC2,将三角形分割乘两个三角形的

面积之和，求出公共边4。的长即可求解.

【详解】

解：(1)延长4。至4,使得4。=4。；延长30至耳，使得8。=用。；延长co至G,使得co=G。；再连

接A，耳,G即得旋转后对应的的用0,如下图所示:

(2)由题意4(0,4),8(0,2),C(3,2),平移后得到A&Bg,其中4(2,2),根据平移的规律知，平移过

程是向下和向右分别移动两个单位可得：刍(2,0),C?(5,0),

再连接点A，G，G，得AAGC2,其中GC?交y轴于点£>,如上图所示:

q-v_i_V

-ACC—4G。

由G(-3,-2),C式5,0)得出直线CC2的方程如下:

直线GG：尤-;

44

当％=0时，＞=一|",

4

..D(0,—■-),

4

q—Q_i_v

0AC©—AG。°\DC2

=5x4。.G4+—xA^D-OC2

111111

=—x—x3+—x—x5=11

2424

故SAC©二11

【点睛】

本题考查了图象的旋转和平移，求三角形面积，解题的关键是：掌握图象旋转和平移的性质，求不规则三

角形面积可以分割为两个规则的三角形面积之和.

16.(2023•江苏宿迁中考)已知正方形A8CQ与正方形AE/G,正方形AEFG绕点A旋转一周.

(1)如图①，连接BG、CF,求标的值；

(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CEBE,分别去CR8E的中点M、N,连接MN、试探究:

MN与的关系，并说明理由；

⑶连接BE、BF,分别取BE、8尸的中点MQ,连接。N,AE=6,请直接写出线段Q