利用导数研究函数的极值与最值(重点)-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)

考向16利用导数研究函数的极值与最值

b

【2022・全国.高考真题(理)】当x=l时，函数f(x)=a\nx+-取得最大值-2,则(⑵=()

x

A.—1B.—C.—D.1

22

【2022・全国•高考真题(文)】函数〃x)=cosx+(九+l)sinx+l在区间［0,2可的最小值、最大

值分别为()

兀兀3兀兀_兀兀C3兀兀c

A.——B.---------9-C.——,一+2D.—,-+2

22222222

1.由图象判断函数y=/(x)的极值，要抓住两点：(1)由y=f(x)的图象与x轴的交

点，可得函数y=/(x)的可能极值点；(2)由导函数y=〃(x)的图象可以看出y=f(x)的值

的正负，从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.

2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0

和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值

点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

3.求函数在闭区间［a,b］内的最值的思路

(1)若所给的闭区间［4回不含有参数，则只需对函数求导，并求广(x)=0在区

间句内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与『("),”6)比较，其

中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

(2)若所给的闭区间［a,b］含有参数，则需对函数“X)求导，通过对参数分类讨论，

判断函数的单调性，从而得到函数/(x)的最值.

(1)若函数/(%)在区间。上存在最小值/(x)min和最大值/(X)3X,则

不等式/(X)>a在区间。上恒成立=/(x)min>a；

不等式在区间D上恒成立o/GL2a；

不等式/(x)<b在区间O上恒成立o/(%)m；ix<b；

不等式在区间。上恒成立=/(x)1raxWb；

(2)若函数/(九)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(办n),则

不等式〃x)>a(或f(x)Na)在区间D上恒成立om»a.

不等式f(x)<b(或f(x)Wb)在区间。上恒成立omWb.

(3)若函数/(x)在区间。上存在最小值/(力神和最大值/(%)1mx，即

则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(x)在区间。上有解0a〈/(戏做；

不等式aV/(x)在区间。上有解

不等式a>/(x)在区间O上有解=a〉/(XU.;

不等式。2/⑴在区间力上有解一。、〃)^；

(4)若函数/(%)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(m，〃)，则对不等式有

解问题有以下结论：

不等式0</(力(或24/(力)在区间0上有解04<〃

不等式匕>/(£)(或bN/(%))在区间O上有解=/?>m

(5)对于任意的石c[a,司，总存在/e[m,n\,使得

)(X)Wg(W)o/(%)111ax<g(W)1mx；

(6)对于任意的不e[a,可，总存在％e[m,n\,使得

/(%)*(%)0/(%需*(%2)111ta；

(7)若存在为e[a,可，对于任意的/4m,n\,使得

/(不)海(％)=/(%)1rali"HL；

(8)若存在%£]〃，b\,对于任意的％2£[m,AZ],使得

/(七)“(々)=/(%)3*(々)0；

(9)对于任意的石e[a,b],々e[m,生|使得

/(%)%(%2)0〃%)1mxWg⑷1nb；

(10)对于任意的％£[a,司，x2e[m,使得

/(%)々(%2)=/(%1)1ra/gKL；

(11)若存在玉£[。，可，总存在/4m,n\,使得

f(xl)<g(x2)<^f(xl)mio<g(x2)mia

(12)若存在石e[a,可，总存在马目加n\,使得

/(xj»g(为2)=/(七)侬*(%).•

,易嫌/

1.函数的极值

函数/(尤)在点X。附近有定义，如果对与附近的所有点都有/(%)</(%),则称/(x0)是

函数的一个极大值，记作y极大值=/(%)•如果对与附近的所有点都有了(尤)>/(/),则称

了(不)是函数的一个极小值，记作y极小值=/(%)♦极大值与极小值统称为极值，称不为极值

点.

求可导函数/(X)极值的一般步骤

(1)先确定函数“尤)的定义域；

(2)求导数((无)；

(3)求方程/''(x)=。的根；

(4)检验/'(X)在方程尸(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在

右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右

侧附近为正，那么函数丫=/(x)在这个根处取得极小值.

注①可导函数〃x)在点七处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即

f'(xo)=0,且在尤。左侧与右侧，尸(x)的符号导号.

②/'(尤o)=O是无。为极值点的既不充分也不必要条件，如/(尤)=尤3,尸(0)=0,但％=0

不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数/(尤)=W，在极小值点无。=0是不可

导的，于是有如下结论：不为可导函数/(x)的极值点=>/'(与片。；但f'(x0)=O^xo/(x)

的极值点.

2.函数的最值

函数y=/(尤)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(尤)最小值为

极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.

2

导函数为/(x)=ax+bx+c=a(x-xl)(x-x2')(m<xx<x2<ri)

(1)当a>0时，最大值是/(xj与/(w)中的最大者；最小值是Ax?)与/■(㈤中的最小

者.

(2)当。<0时，最大值是/(%)与/(附中的最大者；最小值是/(%)与/(〃)中的最小

者.

一般地，设y=/(x)是定义在刖，网上的函数，y=/(x)在(加，〃)内有导数，求函数

y=/(x)在［m,n\上的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求y=/(x)在(加，〃)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将y=/(x)的各极值与Am)和/(“)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一

个为最小值.

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值;

函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是

区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

1.(2022.山西太原.三模(文))已知函数〃x)=ee

(1)若g(x)=〃x)-左(左eR)在x=T时取得极小值，求实数上的值;

(2)若过点(。向可以作出函数y=/(x)的两条切线，求证：

2.(2022•湖北•模拟预测)已知函数=+也无+如，(meR).

(1)若了(%)存在两个极值点，求实数加的取值范围；

(2)若小演为“尤)的两个极值点，证明：/篁.

2\2J8

3.(2022•河南郑州•高三阶段练习(文))已知函数了(#=/丁.

(1)若4=0,求曲线y=/(x)在点(1,〃功处的切线方程；

(2)若/'(X)在x=-l处取得极值，求f(x)的单调区间及其最大值与最小值.

4.(2022•全国•高三专题练习(理))已知函数/'(x)=ln尤+如，其中meR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若Vxe(0,+oo),f(x)<x2-2x,求机的最大值.

5.(2022•山东荷泽•高三期末)设函数f(%)=喘+8$2%.

(1)求曲线y=/(x)在点弓，/弓))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)求函数“X)在区间［0,句上的最大值和最小值.

6.(2022•北京市第九中学模拟预测)已知f(x)=4sinx+2x.

(1)当％=2时，判断函数/(元)零点的个数；

(2)求证：-sinx+2x>ln(x+l),xe(0,g.

j提开帮

1.(2022•内蒙古・乌兰浩特一中模拟预测(文))已知函数

“X)=xe*-lnx-x-2,g(x)=J+lnx-x的最小值分别为，〃，〃，贝!J()

A.m<nB.m>nC.m=nD.孤〃的大小关系不

确定

2.(2022•北京.北大附中三模)如图矩形ABCD,AB=6,沿尸Q对折使得点8与AD边上的点

与重合，则PQ的长度可以用含a的式子表示，那么PQ长度的最小值为()

A.4B.8C.6eD.土

2

3.(2022・安徽•合肥一六八中学模拟预测(文))已知函数,⑺为定义在R上的增函数，且对

VxeR1(x)+/(f)=l,若不等式〃依)+/(-111劝21对\/%6(0,+00)恒成立，则实数。的取

值范围是()

A.(0,e]B.(-co,e]C.D.

4.(2022•江西省丰城中学模拟预测(文))已知函数"x)=e'+依?+2依在xe(O,E)上有

最小值，则实数。的取值范围为()

A.1,+8)B,1C.(-1,0)D,~，-1

5.(2022广东深圳.高三阶段练习)已知函数〃x)=V+依2-x+a有两个极值点占,吃,且

N=竿，则/（X）的极大值为（）

A.1B.史C.走D.6

993

6.（2022.广东广州•三模）设/'（x）为函数〃力的导函数,6知

x1f'[x）+xf（x）=\nx,f'（\）=-^,则（）

A.犷⑺在（0,+。）单调递增

B.#（x）在（0,+s）单调递减

C.3（x）在（0,+向上有极大值!

D.时■（X）在（0,+。）上有极小值g

7.（2022•全国•模拟预测（文））下列结论正确的是（）

A.设函数/卜）=丁+依+6,其中0,6eR,当a=—3,8>2时，函数有两个零点

B.函数/（x）=q（a>0）没有极值点

C.关于x的方程2尤3一3尤2+。=0在区间[-2,2]上仅有一个实根，则实数。的取值范围为

[-4,0）（1,28]

D.函数人"=三与.<0）有两个零点

8.（2022・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=gx3一3亦2+工在区间上既有极大值又

有极小值，则实数a的取值范围是（）

A.（2,-H=O）B.[2,+co）,。卜目D.（2,1J

9.（2022.安徽•蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知加为常数，函数/（x）=xlnx-2znr2有

两个极值点，其中一个极值点不满足%>1,则/■（%）的取值范围是（）

A.（-8,0）B.（0,+oo）C.10°,-JD.

10.（多选题）（2022•湖南・湘潭一中高三阶段练习）已知函数/3二+1,则下列结论正

e

确的是（）

A.函数/（X）只有一个零点

B.函数/（x）只有极大值而无极小值

C.当Y<左<0时，方程/。）=上有且只有两个实根

D.若当xw£+00）时，/（初厕=4，则r的最大值为2

e

11.（多选题）（2022.重庆八中模拟预测）设函数/（力的定义域为R,1（%70）是〃力的极

小值点，以下结论一定正确的是（）

A.%是f（x）的最小值点

B.%是-Ax）的极大值点

C.-%是/（-x）的极大值点

D.-%是x）的极大值点

12.（多选题）（2022.全国•高三专题练习）（多选）已知函数F（X）=X3-2X2-4X-7,其导函

数为/（X）,给出以下命题正确的是（）

A.Ax）的单调递减区间是

B./（元）的极小值是-15

C.当a>2时，对任意的x>2且xw。，恒有/'（x）>f（a）+r（a）（x-a）

D.函数/（x）有且只有一个零点

13.（多选题）（2022.全国.模拟预测）已知函数/（0=号,g（x）=—若

%,々«0,+助，不等式（f+e）g（9）〈（产+e2"&）恒成立，则正数，的取值可以是（）

A.6eB.（2+77）eC.（2+若）eD.2e

3

14.（多选题）（2022.全国.模拟预测）已知/（%）=3xlnx-（2%-1尸，则（）

A./（x）的定义域是；,+1

B.若直线>=加和/（X）的图像有交点，则me[-co,-}n2

「17,2君,

C.In—<--------1

63

D.ln|>|（2V2-l）

15.（2022・福建・福州三中高三阶段练习）如果两个函数存在零点，分别为若满足

\a-j3\<n,贝!）称两个函数互为“〃度零点函数”.若〃x）=ln（x-2）与g（x）=or2-lnx互为“2

度零点函数”，则实数々的最大值为.

16.（2022.浙江湖州.模拟预测）设P=同/（a）=0},。=伊|g（⑶=0},若存在aeR]wR,

使得1fK〃,则称函数/（X）与g（尤）互为“"度零点函数”.若/（X）=10g2X-l与

8。)=》-心2，互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为.

17.(2022•河南省杞县高中模拟预测(理))实数尤，y满足3y-则的

值为.

18.(2022•河南新乡•高三期末(文))已知函数/⑺二%3+疗%2-16%+m-1在尤=2处取得

极小值，则.

19.(2022•全国•高三专题练习(理))若函数/(x)=e'(sinx-a)在区间(0㈤上存在极值，

则实数。的取值范围是.

20.(2022•全国•高三专题练习(理))已知x=l是函数/(x)=Hn(分)+1的极值点，贝|=

e

21.(2022•江苏无锡・模拟预测)已知函数/(尤)=e'(l+mlnx),其中加>0,f'(x)为段)的导

函数，设〃(x)=/孕，且恒成立.

e2

(1)求机的取值范围；

(2)设函数兀V)的零点为X0,函数/'(X)的极小值点为X7,求证：XO>X1.

22.(2022・青海・海东市第一中学模拟预测(理))已知函数〃x)=(x+L)lnx-ax,a>0.

⑴若a=2,求函数的极值；

⑵设g(x)=；(e"?+以)，当x>。时，(g'(x)是函数g(x)的导数)，求a

的取值范围.

b

23.(2022•广东•大埔县虎山中学高三阶段练习)已知函数/(%)=办+—+c(a>0)的图象在点

x

(1,〃功处的切线方程为y=x-i.

⑴若c=3,求a,b；

⑵若/(X)21nx在［1,+co)上恒成立，求a的取值范围.

24.（2022・河南・开封市东信学校模拟预测（文））已知函数/（x）=lnx-ax+a（4>0）.

（1）当4=2时，求f3的单调区间；

⑵设函数/（刈的最大值为相，证明：“*0.

25.（2022•全国・郑州一中模拟预测（理））已知函数〃力=益±0（。工0）.

⑴讨论函数的单调性；

（2）当a=l时，证明：/（x）<ex+sinx-l.

26.（2022•广东深圳•高三阶段练习）已知函数/（尤）==（。#0）.

e

⑴若对任意的xeR,都有/（无）恒成立，求实数々的取值范围;

e

⑵设私〃是两个不相等的实数，且加=〃e"f.求证：m+n>2.

27.（2022・山东师范大学附中高三期中）设函数/（尤）=工-尤+alnx

X

⑴当a=3时,求〃x）的单调区间;

（2）任意正实数鼻三，当玉+3=2时，试判断〃为）+/■优）与-的大小关系并证明

28.⑵22・山东•德州市教育科学研究院三模）己知函数=曲线y=在（1J⑴）

处的切线与直线2x+y=。垂直.

X

⑴设g（x）=iR，求g（x）的单调区间;

（2）当x>0,且XW1时，/。）>半+匕，求实数上的取值范围.

x-1X

29.（2022.北京市大兴区兴华中学三模）设函数〃x）=ae'-x-l,aeR.

⑴当a=1时，求在点（。"（。））处的切线方程；

⑵当xeR时，〃x）20恒成立，求。的取值范围；

⑶求证：当x«0,y）时，吐幺』.

真题练）

b

1.（2022•全国•高考真题（理））当x=l时,函数/（x）=aln尤取得最大值—2,贝。/'⑵=

x

（）

A.—1B.—C.•D.1

22

2.（2022.全国.高考真题（文））函数〃x）=cosx+（x+l）sinx+l在区间［0,2句的最小值、最

大值分别为（）

7171—3717t„7t71.—371兀一

A.—,-