河北省廊坊市三河市2024年中考一模数学试题含解析

河北省廊坊市三河市2024年中考一模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知

甲的路线为：A—C-B；

乙的路线为：A—D—E—F—B,其中E为AB的中点；

丙的路线为：ATI—J-K-B,其中J在AB上，且AJ>JB.

若符号［―］表示［直线前进］,则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（）

2.如图1,在矩形ABCD中，动点E从A出发,沿A-B-C方向运动，当点E到达点C时停止运动,过点E作EF±AE

交CD于点F,设点E运动路程为x,CF=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a

A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②对

3.如图，△ABC中,AB=AC=15,AD平分NBAC,点E为AC的中点，连接DE,若ACDE的周长为21,则BC

的长为（）

A

A.16B.1412D.6

4.计算（・2帆2）3的结果为（)

23

A.-mB.-1C.D.

44

5.下列图形中,不是中心对称图形的是()

A.平行四边形B.圆C.等边三角形D.正六边形

弦AC〃半径OB,ZBOC=50°,则NOAB的度数为（）

A.25°B.50°C.60°D.30°

7.2018的相反数是)

11

A.B.2018C.-2018D.--------

20182018

8.一、单选题

如图，△ABC中，AD是BC边上的高,AE、BF分另IJ是NBAC、NABC的平分线，ZBAC=50°,ZABC=60°,则

ZEAD+ZACD=()

C.85°D.90°

在函数y=正中，自变量X的取值范围是（）

9.

x-1

A.x>lB.xgl且x#0C.x>0且xrlD.x#0且xRl

10.如图是二次函数：—「图象的一部分，其对称轴为x=-L且过点（-3,0）.下列说法：①abcVO；②la

-b=0；③4a+lb+c<0；④若（-5,yi）,（7,yi）是抛物线上两点，则

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，在△ABC中，ZC=ZABC,BE±AC,垂足为点E,4BDE是等边三角形，若AD=4,则线段BE的长

为.

12.如图，点A、B、C是。。上的点，且NACB=40。，阴影部分的面积为2?r,则此扇形的半径为

13.如图，菱形A5CZ）的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点（点尸不与点A、C重合），且

交A3于E,2f〃。。交4。于月，则阴影部分的面积是.

14.将两块全等的含30。角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1,如图2,将RtABCD沿射线BD方向平

移，在平移的过程中，当点B的移动距离为时，四边ABGDi为矩形；当点B的移动距离为时，四

边形ABGDi为菱形.

A

图1图2

15.二次函数y=x2-2x+l的对称轴方程是x=.

16.如图，在AOAB中，C是AB的中点，反比例函数y=8（k>0）在第一象限的图象经过A,C两点，若△OAB

面积为6,则k的值为

3

17.如图，在菱形ABCD中，DE_LAB于点E,cosA=-,BE=4,贝！JtanNDBE的值是

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）化简：（a-b）2+a（2b-a）.

19.（5分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.分别写出图中点A和点C的坐标；画出△ABC绕点C

按顺时针方向旋转90。后的△A'B'C；求点A旋转到点A，所经过的路线长（结果保留兀）.

20.（8分）如图，在。O中，弦AB与弦CD相交于点G,OALCD于点E,过点B的直线与CD的延长线交于点F,

AC/7BF.

（1）若NFGB=NFBG,求证：BF是。。的切线；

3一

（2）若tan/F=—,CD=a,请用a表示。O的半径；

4

（3）求证：GF2-GB2=DF«GF.

21.（10分）如图，AD、BC相交于点O,AD=BC,NC=/D=90。.求证：△ACB丝ZXBDA；若NABC=36。，求

ZCAO度数.

22.（10分）初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图4、。是人工湖边的两座雕塑，AB.BC是

湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，8点在A点北偏东60。方向，C点在3点北偏东45。方向，C点在O点正东

方向，且测得AB=20米，5c=40米，求AO的长.（51.132,&H.414,结果精确到0.01米）

23.（12分）如图，在建筑物M的顶端A处测得大楼N顶端B点的仰角a=45。,同时测得大楼底端A点的俯角为0=30。.已

知建筑物M的高CD=20米，求楼高AB为多少米？（GM.732,结果精确到0.1米）

B

DA

24.(14分)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个

端点均在小正方形的顶点上.

(1)如图1,点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、QC、CP、PA,并

直接写出四边形AQCP的周长；

(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、A

【解析】

分析：由角的度数可以知道2、3中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图2,图3中的三角形都和图1中的三角

形相似.而且图2三角形全等，图3三角形相似.

详解：根据以上分析：所以图2可得AE=5E,AD=EF,DE=BE.

.AE-BE=—AB,..AD=EF=—AC,DE=BE=—BC,..甲=乙.

222

同一同上一人一2.5，，b，，JKJBBKAIAJIJ

图3与图1中，二个二角形相似，所以—=—=—,—=—

AIAJIJACABBC

'：AJ+BJ=AB,：.AI+JK=AC,IJ+BK^BC,

.•.甲=丙..,.甲=乙=丙.

故选A.

C

图1图2图3

点睛：本题考查了的知识点是平行四边形的性质，解答本题的关键是利用相似三角形的平移，求得线段的关系.

2、A

【解析】

由已知，AB=a,AB+BC=5,当E在BC上时，如图，可得AABEs/\ECF,继而根据相似三角形的性质可得丫=-

-X2+^X-5,根据二次函数的性质可得-+—5-—5-5=-,由此可得a=3,继而可得y=-

aaa\2)al3

^X2+^X-5,把丫=工代入解方程可求得X产!，X2=2,由此可求得当E在AB上时，y=L时，X=—,据此即可

3342244

作出判断.

【详解】

解：由已知，AB=a,AB+BC=5,

当E在BC上时，如图，

DFC

\

；E作EF_LAE,

/.△ABE^AECF,

.ABCE

••一f

BEFC

a_5-x

••一,

x-ay

.12Q+5

••y--x+x5,

aa

.•.当x=-2=S时，-丫〃+5a+5_1

+------------------5=-

2a22Ja23

解得ai=3,az=—（舍去）,

・128,

・・y=--x-\—x—59

33

当y=L时，—=■—x2+—%—5,

4433

79

解得Xl=—,X2=—,

22

当E在AB上时，y=L时，

4

111

x=3——=—,

44

故①②正确，

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运

用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

3、C

【解析】

先根据等腰三角形三线合一知D为BC中点,由点E为AC的中点知DE为4ABC中位线，故4ABC的周长是小CDE

的周长的两倍，由此可求出BC的值.

【详解】

VAB=AC=15,AD平分/BAC,

；.D为BC中点，

•.,点E为AC的中点，

ADE为4ABC中位线，

1

/.DE=-AB,

2

.,.△ABC的周长是小CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.

/.AB+AC+BC=42,

.,.BC=42-15-15=12,

故选C.

【点睛】

此题主要考查三角形的中位线定理，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一定理.

4、D

【解析】

分析：根据嘉的乘方计算法则求出除数，然后根据同底数幕的除法法则得出答案.

详解：原式=6帚+（_8帚）=—：,故选口.

点睛：本题主要考查的是骞的计算法则，属于基础题型.明白塞的计算法则是解决这个问题的关键.

5、C

【解析】

根据中心对称图形的定义依次判断各项即可解答.

【详解】

选项4、平行四边形是中心对称图形；

选项5、圆是中心对称图形；

选项C、等边三角形不是中心对称图形；

选项。、正六边形是中心对称图形；

故选C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形的判定，熟知中心对称图形的定义是解决问题的关键.

6、A

【解析】

如图，,.,ZBOC=50°,

/.ZBAC=25°,

VAC//OB,

/.ZOBA=ZBAC=25°,

VOA=OB,

ZOAB=ZOBA=25°.

故选A.

7、C

【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.

【详解】2018与-2018只有符号不同，

由相反数的定义可得2018的相反数是-2018,

故选C.

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

8、A

【解析】

分析：依据AD是BC边上的高，ZABC=60°,即可得到NBAD=30。，依据NBAC=50。，AE平分NBAC,即可得到

ZDAE=5°,再根据△ABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,可得NEAD+NACD=75。.

详解：；AD是BC边上的高，NABC=60。，

/.ZBAD=30°,

VZBAC=50°,AE平分NBAC,

/.ZBAE=25°,

/.ZDAE=30°-25°=5°,

VAABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,

:.ZEAD+ZACD=5°+70o=75°,

故选A.

点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180。.解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义

的运用.

9、C

【解析】

根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可.

【详解】

由题意得：迂2且x-2先.解得：迂2且存2.

故x的取值范围是x>2且中2.

故选C.

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键.

10、C

【解析】

•.•二次函数的图象的开口向上，

•.,二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，...cCO。

,二次函数图象的对称轴是直线x=-L二-二二-1。...b=la>0。

/.abc<0,因此说法①正确。

Vla-b=la-la=0,因此说法②正确。

•.•二次函数-图象的一部分，其对称轴为X=-L且过点（-3,0）,

...图象与X轴的另一个交点的坐标是（1,0）o

二把x=l代入y=axi+bx+c得：y=4a+lb+c>0,因此说法③错误。

.二次函数=+1、-一图象的对称轴为x=-1,

•••点（-5,yi）关于对称轴的对称点的坐标是（3,yi）,

;当x>-l时，y随x的增大而增大，而<3

.,.yi<yi,因此说法④正确。

综上所述，说法正确的是①②④。故选C。

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11,1

【解析】

本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到NDBE=60。，NBEC=90。，再根据等腰三角形的性质可以得出

ZEBC=ZABC-60°=ZC-60°,最后根据三角形内角和定理得出关系式/C6（r+NC=90。解出NC,推出AD=DE,于是

得到结论.

【详解】

VABDE是正三角形，

:.NDBE=60°；

•在ZkABC中，ZC=ZABC,BE±AC,

/.ZC=ZABC=ZABE+ZEBC,贝！JNEBC=NABC6（F=NC-6O。，NBEC=90。；

.\ZEBC+ZC=90o,即NC-60°+NC=90°,

解得NC=75。，

.\ZABC=75°,

.*.ZA=30o,

,:ZAED=90°-ZDEB=30°,

，NA=NAED,

,\DE=AD=1,

/.BE=DE=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义，解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意

的简易方程，从而求出结果.

12、3

【解析】

根据圆周角定理可求出NAOB的度数，设扇形半径为x,从而列出关于x的方程，求出答案.

【详解】

由题意可知：NAOB=2NAC5=2X4()O=80。，

设扇形半径为x,

故阴影部分的面积为|x7rx2=2兀，

3609

故解得：xi=3,双=一3(不合题意，舍去)，

故答案为3.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x的方程，从而得到答案.

【解析】

根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面

积则不难求得阴影部分的面积.

【详解】

设AP,EF交于O点，

•.•四边形A5C。为菱形,

J.BC//ADAB//CD.

'：PE//BC,PF//CD,

：.PE//AF,PF//AE.

四边形AEFP是平行四边形.

ASAPOF=S4AOE.

即阴影部分的面积等于AABC的面积.

•••/XABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半,

菱形ABCD的面积=LAC，BD=5,

'2

...图中阴影部分的面积为5+2=3.

2

14、3,5

3

【解析】

试题分析：当点B的移动距离为无时，NGBBi=60。，则NABG=90。，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定

3

四边形ABCiDi为矩形；当点B的移动距离为行时，D、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形,

可判定四边形ABCiDi为菱形.

试题解析：如图：

当四边形ABGD是矩形时，ZBiBCi=90°-30°=60°,

VBiCi=l,

4G_1

tan60。一而一行

当点B的移动距离为X巳时，四边形ABGDi为矩形;

3

当四边形ABGD是菱形时，ZABDi=ZCiBDi=30°,

VBiCi=l,

BiG=L=6

/.BBI=tan30°色

T

当点B的移动距离为有时，四边形ABGDi为菱形.

考点：L菱形的判定；2.矩形的判定；3.平移的性质.

15、1

【解析】

利用公式法可求二次函数y=x2-2x+l的对称轴.也可用配方法.

【详解】

b-2

■--="-=1，

2a2

，x=L

故答案为：1

【点睛】

本题考查二次函数基本性质中的对称轴公式；也可用配方法解决.

16、4

【解析】

分别过点4、点C作08的垂线，垂足分别为点〃、点N,根据C是的中点得到3为_9必的中位线，然

后设MN=NB=a,CN=b,AM=2b,根据=得到。0=a,最后根据面积

=3a-2b^-2=3ab=6求得ab=2,从而求得k=a-2b=2ab=4.

【详解】

分别过点4、点C作08的垂线，垂足分别为点〃、点N,如图

点C为AB的中点，

。丫为_人儿加的中位线，

:.MN=NB=a,CN=b,AM^2b,

OMAM=ONCN,

OM-2b^(OM+a)-b,

OM-a>

=67,

S.AUnrDt—3a-2b2—3ab

•*­ab—2,

•*-k-a-2b-2ab-4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，关键是正确作出辅助线，掌握在反比例函数的

图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是瓜，且保持不变.

2

17、1.

【解析】

求出AD=AB,设AD=AB=5x,AE=3x,贝！J5x-3x=4,求出x,得出AD=10,AE=6,在R3ADE中，由勾股定理求

DE

出DE=8,在R3BDE中得出tanNO3E=——，代入求出即可，

BE

【详解】

解：・・•四边形ABCD是菱形，

AAD=AB,

3

VcosA=-,BE=4,DE±AB,

5

・,•设AD=AB=5x,AE=3x,

则5x-3x=4,

x=l,

即AD=10,AE=6,

在中，由勾股定理得：22

RSADEDE=A/10-6=8,

DE8

在RtABDE中，tanZDBE=——=一=2,

BE4

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出DE的长.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、b2

【解析】

原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果.

【详解】

解：原式=a2-2ab+b?+2ab-a?

19、(1)A(0,4)、C(3,l)(2)见解析(3)哼

【解析】

试题分析：(1)根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；(2)根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；(3)

点A所经过的路程是以点C为圆心，AC长为半径的扇形的弧长.

试题解析：(1)A(0,4)C(3,1)

(3)根据勾股定理可得：AC=30,则/=也=90»乂3亚=逑、.

1801802

考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式.

25

20、(1)证明见解析；(2)r=—a；(3)证明见解析.

48

【解析】

(1)根据等边对等角可得NOAB=NOBA,然后根据OALCD得到NOAB+NAGC=90。，从而推出

ZFBG+ZOBA=90°,从而得到OB_LFB,再根据切线的定义证明即可.

(2)根据两直线平行，内错角相等可得NACF=NF,根据垂径定理可得CE=，CD=La,连接OC,设圆的半径为r,

22

表示出OE,然后利用勾股定理列式计算即可求出r.

(3)连接BD,根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得NDBG=NACF,然后求出NDBG=NF,从而求出

△BDG和4FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2,然后代入等式左边整理即可得证.

【详解】

解：⑴证明：；OA=OB,

.\ZOAB=ZOBA.

VOA1CD,

.,.ZOAB+ZAGC=90°.

又,.•NFGB=NFBG,ZFGB=ZAGC,

.\ZFBG+ZOBA=90°,即NOBF=90°.

.\OB±FB.

；AB是。O的弦，，点B在。O上.；.BF是。O的切线.

(2)VAC//BF,

AZACF=ZF.

VCD=a,OA±CD,

11

ACE=-CD=-a.

22

VtanZF=—，

4

AF3

・•・tanNACF=——=—,

CE4

AE3

即厂二，,

—a

3

解得AE=，.

8

3

连接OC,设圆的半径为r,贝！JOE=r—1a,

8

在RtAOCE中，CE2+OE2=OC2,

即

25

解得1中

(3)证明：连接BD,

,/ZDBG=ZACF,ZACF=ZF(已证),

/.ZDBG=ZF.

又；NFGB=NFGB,

.,.△BDG^AFBG.

即GB2=DG«GF.

GBGF

AGF2-GB2=GF2-DG«GF=GF(GF-DG)=GF・DF,即GF2GB2=DF»GF.

21、(1)证明见解析(2)18°

【解析】

(1)根据HL证明