2024年中考数学复习：有关圆的解法和证明专项练习

有关圆的解法和证明专项练习

圆可以和直线型所有知识融合在一起，集几何之大成，中考中可以在选择题、填空题、解答题等试题中呈现.本专题主

要讲解圆中角度、线段、面积等基础知识的运用，并结合典型题的解证总结和概括解题规律和解题方法.主要知识点有：①圆

周角、圆心角、圆内角、圆外角及它们所对的弧之间的关系；②圆中的直角三角形，主要是作垂线运用垂径定理、直径所对

的圆周角是直角和切线性质；③切线的两种判定方法，三种位置关系向数量关系转化；④面积的计算等.

引例热身

1.如图,在0O中，ZABC=20°,ZDAC=24°,则NADO的度数为（）

第1题图第2题图第3题图

2.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在。O上,过点B作OO的切线交OA的延长线于点D.若。O的半径为1,则BD的长为（）

A.1B,2C.V2D.V3

3.如图,在4ABC中，ZACB=90°,ZABC=45°,AB=12cm,将4ABC绕点B顺时针旋转，使点C落在AB的延长线上的点D处，则

阴影部分的面积是（）

A.12KB.36兀C.27TtD.30兀

思路指引

L■观察角的位置-A|弧是圆心角和圆周角的联系桥—A|完成角的转化

2.■利用切线性质---►有切点，连半径，得垂直---►求出相关线段

根据旋转特点--通过割补转化--实现等积变形

点拨分析

1.给出的已知角都是圆周角，连接OA,OC构成圆心角，找圆心角与圆周角的关系是关键，而它们所对的同一条弧是桥

梁联想到同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，得乙40c=2AABC=40。,/COD=2ACAD=48。,可求得AAOD=88°

.由等腰三角开乡OAD,得NAD。=N04D=号X（180°-88°）=46。.故选D.

2.从图中可以看出，连接OB,可得.△OBD是直角三角形，由四边形OABC是菱形和同圆半径相等，得=60。根

据直角三角形的边角关系，得（OB=l,BD=V30B=VI故选D.

3.从图中可以看出，由旋转可知，寻找旋转中的不变量，可以把阴影部分的面积转化为一个扇面，即两个扇形面积的差.

确定两个扇形的半径，求出扇形所在的圆心角度数，可求出阴影面积为27兀（皿2）.故选c.

典例串烧

例1已知0O是^ABC的外接圆，过点A作。O的切线，与CO的延长线交于点P,CP与0O交于点D.

⑴如图①,若4ABC为等边三角形,求NP的大小.

⑵如图②,连接AD,若PD=AD,求/ABC的大小.

例1题图

思路指引

以弧为桥将圆周角连圆心和切点三角形外角等于和它不

⑴与圆心角互相转化得直角三角形相邻的两个内角的和

|得等腰卜

连半径求得目标角

⑵由切线

得垂直

迷津指点从条件出发,连接OA.由切线的性质,得NPAO=90。.

⑴由△ABC是等边三角形,得NB=60°,可推出."10C=120。,从而得出ZP=30。.

(2)由PD=AD,得NP=NPAD,而OA=OD,ZOAD=ZADO=2ZP=2ZPAD,且NPAO=90。,可得NP=/PAD=30。，ZAOC=1

20°,所以NABC=60。.

针对训练1.如图.AB为OO的切线,切点为A,OB交。O于点C,点D在。O上,且OD〃AC,若NB=38°,则NODC

的度数为()

A.46°B.48°

C.52°D.58°

例2如图,已知MN是。O的直径,P点是。O上的一点,NP平分/MNQ,且NQ1PQ.

⑴求证:直线PQ和OO相切.

(2)若NMNP=30。,PQ=V5,求＜30的半径.

路指引

例2题图

(1)因为点P在圆上，根据切线的判定定理，推断出要证明直线PQ和。O相切，需连接OP,构成角平分线加等腰三角

形的基本图形，从而得到OP〃NQ,而NQ1PQ,故可得OP1PQ,直线PQ是0O的切线.

⑵连接MP,如图,MN是0O的直径,所以NMPN=90。.在RtAPQN中.ZPNQ=ZMNP=30°,可求得.PN=2PQ=2V3.

在RtAMPN中,可求得MN=4,故。O的半径为2.

针对训练2.如图,AD是。O的直径,AB为00的弦,0E±AD,OE与AB的延长线交于点E,点C在0E上,满足“C

BE=ZADB.

⑴求证:BC是。。的切线.

⑵若NCBE=NADB=30。,OA=3,求线段CE的长

针对训练2题图

例3如图.在四边形ABCD中.AB\\DC,^B=ND.过点C作CH±AB交DA的延长线于点E,设垂足为点H.以CE为直径

作。O分别交AD,BC于点F,G,连接CF,CF=CH.

⑴求证:四边形ABCD为菱形.

(2)若tanB=：,OH=9,求AE的长.

思路指引

已知一组对边平行，

先证平行四边形再证邻边相等

(1)需证另一组对边平行一"

观察目标位置一»寻找相似关系--表示相关线段--列出有关方程

迷津指点⑴AB〃CD,/B=ND,可证得.ZB+"AB=180。,所以4D||BC,可得四边形ABCD是平行四边形.再由CE是

直径,(CHL4B得乙CFD=90°=NCHB,可证得△CFD空△CHB(AAS),所以CD=CB,所以四边形ABCD是菱形.

(2)由(1)可知,AB=AD,BH=DF,故AF=AH,

设AH=4a,贝UHE=3a,AE=5a,AF=4a,

△EAHS/XECF,

可得CF=12a,CE=15a.

因为(OH=9,CE=20E=2(0H+HE),

得方程15a=2(9+3a),

a=2,AE=5a=10.

针对训练3.如图.OO是.△ABC的外接圆,AB是。O的直径，点D在。O上,AC平分NBAD,过点C的切线交直径A

B的延长线于点E,连接AD,BC.

(1)求证：ZBCE=ZCAD.

⑵若AB=10,AD=6,求CE的长.

D.C

针对训练3题图

例4如图,AB为。O的直径,C为。O上一点,D是一BC的中点，BC与AD,OD分别交于点E,E

⑴求证:DO〃AC.AB

(2)求证:DE-DA=DC2.

(3)若tan^CAD=(求sinZCDA的值.例4题图

思路指引

迷津指点⑴因为点D是BC的中点,得OD1BC,AB是直径,得AC垂直于BC.故DO〃AC(也可以由圆心角与圆周角

的关系导出).

(2)由等弧所对的圆周角相等得至[].乙CAD=ZDCB,.'.ADCE~AD4C,由比例式证得CD?=DE-DA.

⑶连接BD,则BD=CD,ZDBC=ZCAD.在RtABDE中,tan/DBE=需=需=设DE=a,则CD=2a,而(CD2=DE-DA

，则AD=4a".AE=3a,二需=3,而^AEC^ADEF,即^AEC和ADEF的相似比为3,

设EF=k,则CE=3k,BC=8k,

1Q

tanZ.CADAC=6k,AB=10k,:.smZ-CDA=

针对训练4.如图,在RtAABC中,.乙4cB=90。,乙4=30°,BC=1,以边AC上一点O为圆心，OA为半径的G>O经过

点B.

(1)求。O的半径.

⑵点P为劣弧AB中点，作PQ14C,垂足为Q,求OQ的长.

⑶在⑵的条件下,连接PC,求tanZPCA的值

针对训练4题图

测试闯关

1.如图.。0是等边三角形ABC的内切圆.分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是存■上一点，则NEPF的度数是()

A.65°B.60°C.58°D.50°

第1题图

2.如图，在6x6的正方形网格中，0O经过格点A,B,C,点P是顶上任意一点，连接AP,BP,则tan/APB的值为()

「V3

AL.—D书

]崂35

3.如图①,在。。中,AB为直径,C为。O上一点,ZA=30°,过点C作。O的切线,与AB的延长线相交于点P.

(1)求NP的大小.

(2)如图②,过点B作CP的垂线,垂足为点E,与AC的延长线交于点F.

①求NF的大小;

②若。O的半径为2,求AF的长.