数列专题一等差数列知识点

数列专题一等差数列知识点第一篇：数列专题一等差数列知识点数列专题一等差数列知识点——等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘一、建构知识网络1．定义：an1and(常数)(nN*)2．通项公式：ana1(n1)d，推广：anam(nm)dd=ana1aam，d=n是点列（n，an）所在直线的斜率.n1nmddn(a1an)n(n1)na1dn2(a1)n2222变式：由于“mnpq,则amanapaq”，所以只要有pqn1，3．前n项的和：Sn则nan12224.等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+cSnn(apaq)，特别的，当n为奇数时，Sn5．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则(1)mnpq,则amanapaq(2)an,anm,an2m,组成公差为md的等差数列.(3)Sn,S2nSn,S3nS2n,组成公差为n2d的等差数列.6．等差数列的判定方法(n∈N*)(1)定义法:an+1-an=d是常数(2)等差中项法:2an1anan2(3)通项法:ana1(n1)d(4)前n项和法:SnAn2Bn7．a1,d,n,an,Sn知三求二,可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,三数:ad,a,ad；四数：a3d,ad,ad,a3d8.会从函数角度理解和处理数列问题，等差数列性质：单调性①当d0时，数列ana1(n1)d单调递增，前n项的和Sn有最小值；②当d0时，数列ana1(n1)d单调递减，前n项的和Sn有最大值；③当d0时，数列{an}为常数列；④|an|的性质。第二篇：数列四等差数列1、（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝{bn}的前n项和Sn2、（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）设数列{an}的前n项和为Sn,a11,an（1）求数列{an}的通项公式an;s11s22Snn2(n1),(nN).*b12b22b32...bn2n(n为正整数)，求数列snn（2）是否存在正整数n使得....求出n值；n12011？若存在，若不存在，说明理由．3、（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）在数列{an}中，a1bn1an(nN)．13，并且对任意nN,n2都有anan1an1an成立，令（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；ann（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．4、（江苏泰兴市重点中学2011届）已知数列an是等差数列，cnanan1nN（1）判断数列cn是否是等差数列，并说明理由；（2）如果a1a3a25130,a2a4a2614313kk为常数数列cn的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列cn得前n项和为Sn，问是否存在这样的实数k，使Sn当且仅当n12时取得最大值。若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。，试写出数列四大题练习第三篇：等差数列知识点精英辅导学校杨景勋专用2011年12月16日星期五（一）等差数列I1、等差数列{an}中，a1=1，公差d=3，an=2005则n=_____2、等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10-a12的值为______3、等差数列{an}中，a1=-5，前11项的平均值为5，若从中抽出一项，余下的10项的平均值为4，则抽取的（一）等差数列II等差数列{an}中，1、若a1=-6，a9=6，Sn是数列的前n项和，则（）A、S44、正项等差数列{an}中，公差d≠0，有（）A、a1a8>a4a5B、a1a8a4+a5D、a1a8=a4a55、（全国卷I）设{an}是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（A、120B、105C、90D、756、一个等差数列共10项；其中奇数项的和为125，偶数项的和为15，则第6项是_____7、已知数列{an}前四项为-1，3，-6，10，则{an}的一个通项式为_______________8、等差数列a-d，a，a+d的一个通项公式是____________9、已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m-n|=_______10、等差数列{an}中，若a1=25，从第10项开始小于1，则公差d的范围是________11、（2006全国卷II）已知等差数列{an}中，a2=7,a4=15，则前10项的和S10=_______12、一个等差数列{an}中前4项和为40，最后4项的和为80，所有项和210，求项数n.13、等差数列{an}中，若Sm=30，S2m=100，求S3m.2、a1=25，S17=S9，问数列的前多少项之和最大，并求出最大值。3、a3=12，S12>0，S13<0，①求公差d的取值范围；②指出S1，S2…S12中哪一个值最大，说明理由。）4、（2004年重庆考试卷）a1>0，a2003+a2004>0，a2003•a2004<0，则使前n项和S>0成立的最大自然数n是（A、4005B、4006C、4007D=40085、（2004年福建卷试卷）若a5Sa=5，则求939S=_______56、（2001年上海考试卷）设数列的通项为an=2n-7（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a15|=______n7、已知公差d>0，首项a1>0，Sn=1，则i1aiai1limSn=________n8、（2006北京卷）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn，（1）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；（2）若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式。/1）第四篇：等差数列数列练习题一、选择题35241.已知为等差数列，1A.-1B.1C.3D.7aaa105,aaa699，则a20等于（）2.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A．13B．35C．49D．633.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于5C.-2D334.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1,a3＝0,则公差d＝A．1B11C.D.2225.若等差数列{an}的前5项和S525，且a23，则a7()A.－2B.－A.12B.13C.14D.156.在等差数列an中，a2a84,则其前9项的和S9等于（）A．18B27C36D97.已知{an}是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列前10项和S10等于（）A．64B．100C．110D．1208.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11，S420，则S6（）2A．16B．24C．36D．489.等差数列an的前n项和为Sx若a21,a33,则S4＝（）A．12B．10C．8D．610.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）A．63B．45C．36D．2711.已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是（）A．15二、填空题B．30C．31D．6412.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1221，则a2a5a8a1113.设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9=14.设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则S9S515.等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35,则a4已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3a712,a4a64，则前10项的和S1016.三、解答题17.在等差数列an中，a40.8，a112.2，求a51a52a80.18、设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S12>0，S13<0，①求公差d的取值范围；②S1,S2,,S12中哪一个值最大？并说明理由.19、设等差数列{an}的前ｎ项的和为Sn,且S4=－62,S6=－75,求：（1）{an}的通项公式an及前ｎ项的和Sn；（2）|a1|+|a2|+|a3|+……+|a14|.20.已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60求{an}前n项和sn.1第五篇：等差数列知识点解读等差数列一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。*1.设数列an的前n项和为Sn．已知a15，an1Sn3n，nN．设bnSn3n，求数列bn的通项公式；解：依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)．因此，所求通项公式为bnSn-3n2n。2．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为3．已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则a1a3a913．a2a4a1016【考点梳理】1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。2.补充的一条性质s奇n1）项数为奇数2n1的等差数列有：ssana中，s2n1(2n1)ans偶n1奇偶sa2）项数为偶数2n的等差数列有：奇n，s偶s奇nds2nn(anan1)s偶an1an1and（定义）2an1anan23.等差数列的判定：{an}为等差数列anAnB（关于n的“一次函数”）SAn2Bn（缺常数项的“二次函数”）n即：｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)anknbsnAn2Bn；4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=d·n+a1-d,an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=ana1aam，d=n，由此联想点列（n，an）所在直线的nmn1斜率.2）点(n,Sn)在没有常数项的二次函数Snpn2qn上。其中，公差不为0.6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）1）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0；a0n1q的非零自然数时Sn最大；2p2）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小an0；an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近q的非零自然数时Sn最小。2p题型1等差数列的基本运算例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．82a1aa14d103解：(1)方法一：151∴a60＝a1＋59d＝130．aa44d908451d3aaaa88方法2dnm4515，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．nm4515332A212A12B84(2)不妨设Sn＝An＋Bn，∴2B1720A20B460∴Sn＝2n－17n∴S28＝2×28－17×28＝1092(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，6(a1a6)6(a110)aa6(a10)∴15＝1即a1＝－5而d＝613222618(aa)∴a8＝a6＋2d＝16S8＝1844又S6＝变式训练1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+Sn}nn（n－1）d.∵S7=7，S15=75，27a121d7,a13d1,∴即解得a1=－2，d=1.15a105d75,a7d5.11Sn11n5=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.n222SSS11∴n1－n=.∴数列{n}是等差数列，其首项为－2，公差为.n1n2n2129∴Tn=n－n.44∴小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.题型2等差数列的判定与证明*例2已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.求数列{an}的通项公式；解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，a1＋2d＝5由a3＝5，S6＝36得，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.6a1＋15d＝36变式训练2在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2.设bn＝n－1，证明：数列{bn}是等差数列；nan＋12an＋2ann证明：由已知an＋1＝2an＋2得bn＋1＝nn－1＋1＝bn＋1.n2又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．小结与拓展：证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.题型3等差数列的性质例3设等差数列an的首项及公差均是正整数，前n项和为Sn，且a11，a46，nanS312，则a2010答案：4020变式训练3在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝________.答案：52解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝2＝8.13×(a1＋a13)13×(a5＋a9)13×8∴S13＝＝＝52.222小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.题型4等差数列的前n项和及最值问题例4设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，„，S12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13