小升初小学数学《分数和百分数》知识点(四)

小升初小学数学(分数和百分数)知识点汇总

185.为什么在分数的教与学中，单位“1”是一个重要概念？

单位“1”也称做整体“1”，在分数的教与学中，正确理解单位“1”

是正确理解什么是分数的前提。教材中对分数的定义是这样阐述的：把单

位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。由此可

见，不理解单位“1”，就不理解如何平均分份；更不理解几分之一或几分

之几，因此，单位“1”是分数中最基本也是最重要的一个概念。

单位“1”一般情况下，表示一个事物的整体。如：世界的人口数，

一个国家的面积，一个县播种小麦的亩数，一段路程，一个果园果树的棵

数，一个工厂产品的总产量，一堆煤的重量等，都可以作为单位“1”，

也就是把整体看作“1”。

但是，整体与部分是相对的，它们之间在一定条件下也是可以相互转化

的。当部分转化为整体时，单位“1”也可以表示原来的这个部分。如世

界人口是50亿，是个整体，中国人口是11亿，只是它的一部分，当说到

北京市人口占全国人口的一百分之一时，中国人口数又成为整体，当说到

某区人口是全市人口的十分之一时，全市人口又成了整体等。在这些不同

情况下，部分转化为整体时，都可以用单位“1”来表示。

例如：

(1)我国土地面积约960万平方千米；

⑵某县的土地面积约8万平方千米；

(3)红星小学全校有学生900人；

④五一班有学生42人；

⑤第二学习小组有学生8人；

(6)这条公路全长4800米；

⑺一根电线全长8.5米；

(8)一堆煤重3.2吨。

单位“1”包含的数量可以很大，也可以很小。大到有限数的任何事

物，都可以看作单位“1”；小到可分事物的某一部分，也可以看作单位

“1”。但是，无限多的事物不能看作单位“1”，因为无限多的事物是不

可分的。

在分数应用题中，单位“1”又是解题的关键。如：

修筑一条480米的公路，修了全长的指，没修的是多少米？按一般思路

解这道题，要求没修的是多少米，必须知道全长多少米和修了多少米。题

目中全长480米已知，未知条件是修了多少米。要求修了多少米，根据题目

中

的条件是修了全长的;，由于:是全长的，全长480米就必须看作单位“1

如果换一种思路进行分析：要求没修的是多少米，必须先知道没修的

米数是全长的几分之几，然后按求一个数的几分之几是多少的方法解答，

关键的问

题仍然是把全长看作单位“1”，修了J,没修的就是：有了这

444

个：，后面的问题就可以迎刃而解了。

4

综上所述，无论是在分数的基础知识中，还是在解答分数应用题的过程

里，单位“1”都是处于前提和关键的位置。因此，单位“1”在分数的教

与学中，是一个非常重要的概念。

186.什么是分数的基本计数单位？

任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重

量单位有：毫克、克、千克、吨等。具体到“数”，同样也是有单位的。自然数的

计数单位是1,任何一个自然数都是若干个1组成的。

例如：8是由八个1组成的；

73是由七十三个1组成的。

分数也有分数的计数单位，或称分数单位。根据分数的定义，把单位“1”

平均分成若干份，表示这样一份的数（几分之一就是原来这个分数的分数单位。

一个分数，它的分数单位是有个数的。

如图:

从图中可以看到：?是由3个:组成的，，是由5个:组成的。这里的

4488

扬加着与计量单位和自然数计数单位同样的作用因此我们就把:叫

做:3的分数单位；把1:就叫做53的分数单位。

488

分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的，所表示的份数（分

子）是表示有几个的分数单位。

711

如：（，分母15决定了分数单位是七，分子7则表示有7个上。

由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。如果分母用

n表示，分子用m表示，上的分数单位就是工。

nn

所以，自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，自然数的计数单位永远

是1,这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分母

不同而变化的。分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之一，

分母越大，分数单位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。

明确什么是分数单位和分数单位的大小，在学习分数大小比较、分数加、减

法时，都是不可缺少的基础知识。

186.什么是分数的基本计数单位？

任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重

量单位有：毫克、克、千克、吨等。具体到“数”，同样也是有单位的。自然数的

计数单位是1,任何一个自然数都是若干个1组成的。

例如：8是由八个1组成的；

73是由七十三个1组成的。

分数也有分数的计数单位，或称分数单位。根据分数的定义，把单位“1”

平均分成若干份，表示这样一份的数（几分之一就是原来这个分数的分数单位。

一个分数，它的分数单位是有个数的。

如图：

从图中可以看到，:3是由3个1:组成的，5?是由5个1（组成的。这里的

4488

（和加着与计量单位和自然数计数单位同样的作用因此我们就把:叫

做?的分数单位；把!就叫做:的分数单位。

488

分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的，所表示的份数（分

子）是表示有几个的分数单位。

711

如：分母15决定了分数单位是七，分子7则表示有7个

由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。如果分母用

n表示，分子用m表示，巴的分数单位就是

nn

所以，自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，自然数的计数单位永远

是1,这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分母

不同而变化的。分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之一，

分母越大，分数单位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。

明确什么是分数单位和分数单位的大小，在学习分数大小比较、分数加、减

法时，都是不可缺少的基础知识。

187.分数和整数除法的关系是什么？

在教材中，学生是在学习整数的基础上，先学习小数而后学习分数的。如果把

小数划入十进分数的范围，那么分数是小学数学的第二个主要阶段，也是数的

一次重要扩展。从整数到分数中间有着密切的联系，特点是分数基本概念的建盘，

用到整数除法的知识。

例如：在整数范围内，当两个自然数相除不能整除时，由于商无法表示，而不

能计算，进入分数领域，这种情况将是不存在的。因为任何除法算式，都可以用分

数来表示它们的商。即使在整数范围内，被除数小于除数这种无法计算的情况，

用分数表示也不存在任何问题。

分数与整数除法的关系，下图可以揭示：

II

蕤分子=被一除数+除数

在分数中，分子相当于除法算式中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于

除号，分数值相当于商。

还应该看到，分数并不等于除法，两者还有着区别，这就是：分数是一种数，

而除法是一种数与数之间的运算。

在上述关系的基础上，分数和整数除法的联系，还表现在分数的基本性质上。分

数的基本性质是：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数

的大小不变。这个基本性质来源于整数除法中商不变的性质，即：被除数与除数同时

乘以或者除以相同的数（零除外），商不变。

除此之外，根据分数与整数除法的关系，假分数可以化为带分数，分子（被

除数）除以分母（除数），所得的商即为带分数的整数部分，余数为分子，原来

的分母不变。

153

如［7=15+4=3：.

44

将分数化为小数，或把繁分数化简，也都是依据分数与除法的关系。至于在

分数中分母不能是零的道理，只要沟通分数与除法的关系，即：除法中除数不能

是零，分数中分母自然不能是零。

总之，在分数教与学中，只要在分数与除法间建立起自然的联系和迁移，温故

而知新，许多属于算理的问题，都是比较容易得到解决的。

1

188.“5就是一半”这句话对吗？

把单位“1，，平均分成2份，表示其中的1份，叫做上这!是单位“1”

的：，如果对单位“1”这个整体来说，■是整体的一半则是对的。但分数

中的单位“1”不仅表示自然数的一个基本计数单位，也表示一切可

分的事物。如：一堆苹果的个数、一个班的人数、一堆煤的吨数、一套丛书

的册数、一本书的页数等，单位“1”既可表示整体，也可以表示整体的

一部分。

例如।把8个苹果平均分成两份，每一份是8个苹果的：，实际上每一

份是4个苹果，如果说：“这;是8个苹果的一半”，则这句话是对的；如

因此，如果没有单位“1”这个明确标准，而笼统地说，就是一半”，

,一半也就不知道是谁的一半了。按后者说法，其结果很容易引起误解，

因

为没有明确谁是单位“1”这个前提，可能造成一个苹果的;，这样一半就

不是4个苹果，而是半个苹果。这与原来题意就相距太远了。

又如；六年级二班有学生48人，其中女生占：，这1是48人的女

生是24人。可以说成48人的;是24人；也可以说成48人的一半是24人。

这句话是不严密的，也是不妥当的。

189.为什么有的分数能够化成有限小数，有的能够化成纯循环小数或混

循环小数？

把一个分数化成小数，有三种情况：即：有限小数、纯循环小数和混

循环小数。至于什么样的分数化成什么样的小数，确有规律可循，这个规

律可通过下面各样分数化小数的实例来观察：

113

-=05-=0.25-=075

244

3

1=022=04^=0.6

555

1=0.1253

-=0.8-=0.375

588

7

-=0.625-=0.875—=0.1

8810

-1=00625

—=005—=0.04

162025

1-00251-001

—002

4050100

从上面分数化小数的三种情况看，什么样的分数化什么样小数，关键

不在分子，而在分母。因此，在分数化小数时，要观察分母的特点，其规律

是：

⑴分母只含有质因数2和5,这样的分数就可以化成有限小数。

89竺

如行、80^°

⑵分母里只含有2和5以外的质因数，这样的分数就可以化成纯

环小数。如［自、』等。

循133321

(3)分母里既含有质因数2和5,又含有2和5以外的质因数，这

样

的分数就可以化成混循环小数。如二、或等。

145594

有了上面这个规律，不需要通过计算，就能判断出一个最简分数能化

成什么样的小数。

例如：

(1)W，它的分母80=2X2X2X2X5,分母里只含有2和5,

所以《能化成有限小数.（1=0.0875）

（2）白，它的分母21=3X7,分母里只含有2和5以外的质因数，

所以《能化成纯循环小数。（2=0.190476）

（3）之，它的分母36=2X2X3X3,分母里既含有质因数2,又

36

含有2和5以外的其他质因数，所以之将化成混循环小数。（&=0.13K。

3636

掌握了分数化有限小数的规律，可以把常见分数化小数的数据汇集成

表，并且能熟练地背诵下来，这对于提高互化的准确度和速度，都是非常

有益的。

常见的分数与有限小数互化表

21.

0.5-=0.16

26

22..5..

04-=0.285714—=0.3571428

5714

5..

—=0.3—=0.45—=0.31§

101122

3..

—=0.352=0.230769—=0.192307^

201326

化有限小数化纯财小里化混循史邀

对于分数化纯循环小数或混循环小数，按照上述规律，可以事前根据

分数的分母特点，提早做出判断。

190.为什么分数不能化成无限不循环小数？

在不同的情况下，一个分数可以化成有限小数或者无限循环小数（包

括纯循环小数和混循环小数），但是不能化成无限不循环小数。

以5化小数为例，从竖式中可以看到，

0.2857142

7)Z0

余数6.............60

40

35

50

49___________

10

7_________

30

28

Fo

14

又出现余数6.....................6

用分子除以分母（7）,其余数必定小于分母，每次的余数只能是从

1至U6之间的一个自然数（如果余数是0,这个分数就能化成有限小数）；

或者说，除数是7,余数只能是1、2、3、4、5、6这六个数。如果在除的

过程中，有一个余数重复出现一次，那么后面所得的商与余数，也必定要重

复出现。也就是说，余数一重复出现，商的相应数位上的数字也重复出现，

循环就开始了，所得的商当然是循环小数。原来这个分数化成的是纯循环小

数。

2..

-=0.285714

7

根据上述分析可以得出，当一个分数化成无限小数时，只能得到循环

小数，而不可能化成无限不循环小数。

分数虽然不能化成无限不循环小数，但在数学中无限不循环小数还是

有的，如圆周率TT值就是一个无限不循环的小数。

TT=3.14159265358979323846...

无限不循环小数在数学上叫做无理数。

191.怎样把纯循环小数化成分数？

在小学数学课本中，分数与有限小数是可以互化的。分数可以化成纯循

环小数，但纯循环小数化成分数，并没有涉及。事实上，两者也是可以互化

的，比起有限小数化成分数，纯循环小数化成分数的方法要稍难一些。

例如：有限小数化成分数。

42

24=2—=2-

°冷;105

只要根据小数的最低位是什么数位，用10、100、1000等做分母，就

可以直接化成分数，不是最简分数的，要约成最简分数。

把纯循环小数化成分数，并不象有限小数那样，用10、100、1000

等做分母，而要用9、99、999等这样的数做分母，其中“9”的个数等于

一个循环节数字的个数；一个循环节的数字所组成的数，就是这个分数的

分子。

例如।0,6=-=-0,31=—

9399

0.817=—5.^=5—

99999

这是因为：-1=1*9=0.111……=0.1

9

1••

_L=1*99=0,010101……=0.01

99

1.•

—=1*999=0.001001……=0.001

999

这样，前面的四例可以得到证明。即：

(1)0,6=10,1jx6=|x6=

L__JL—一二rt

r1]

(2)0.3i=!0.0i|x31=!—|X31=—

'''[_99j99

⑶。带竹=?。。*817*翥'817=器

(4)5.29=5+(jO.Oiix29)=5+^-与^,"9)

192.怎样把混循环小数化成分数?

分数既然能化成混循环小数，同样，混循环小数也能化成分数。这种

化的方法，比起纯循环小数化成分数的方法，就显得更为复杂一些。

混循环小数化成分数的方法是：用第二个循环节以前的小数部分所组

成的数，减去不循环部分所得的差，以这个差作为分数的分子；分母的前几

位数字是9,末几位数字为0；9的个数与一个循环节的位数相同，0的

个数与不循环部分的位数相同。

例⑴o.16=黑15_2

90=6

箭头所指是说明：循环节有一位写一个9,不循环部分有一位写一个

0o

箭头所指说明：循环节有两位写两49,不循环部分有一位写一个0。

7245-72

=7173=797

(3)0,7245=9900-9900~1100

箭头所指说明：循环节有两位写两49,不循环部分有两位写两个0。

这种化的方法，比纯循环小数化成分数明显要复杂，但究其算理，仍依

据纯小数化成分数的方法。即：先把混循环小数化成纯循环小数的形然后

再化成分数。上面三个例题通过推导，都可以得到证明。

_15_16-1

=90=90

先扩大10倍I再缩小10倍

推导出来的与L与例Q）的中间脱式与1一致。

(2)03K=3.i&XW=31813151315318-3

“s9910990990

推导吉果与例（2）的中间脱式费好一致。

717317245-72

_X'■=--------------------

991009900

推导结果与例（3）的中间脱式一致。

由此可见，采用先扩大后缩小相同倍数的方法，根据纯循环小数化成

分数的方法，证明混循环小数化成分数的方法是完全成立的。

193.为什么分子相同的分数，分母大的分数比较小？

在小学数学课本中，涉及到分数大小比较时，经常遇到分子相同的分

数进行比较。

如：

结论是：分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。反过来说，分

子相同的两个分数，分母大的分数比较小。由于受到整数或小数大小比较的

影响，学生在理解这个结论时，有时会在算理上表现出困惑。解决这种困

惑，要从直观和分数单位两方面入手：

从圆形图和线段图中观察，凡是分子相同的分数，分母大的分数比较

小。这个结论在直观上是能够接受的，但这并非全部的算理。因此，除直

观外，还要从分数单位这个角度上进行具体的阐述。

根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，所分的份数是分母，

表示取出的份数是分子，既然两个分数的分子相同，说明它们含有各自的分

数单位个数是相同的，这时它们的大小就取决于分数单位的大小；而分数单位

的大小又取决于分母，分母越大，分数单位就越小。所以，分子相同的分数，

分母大的分数比较小。

以线段图的|和於为例，睛5个上卷有5个士，它们都含有5个分

812881212

数单位，这时，比较它们的大小就取决于《大，还是工大。由于所以

812812

812

194.什么是分数的相等和分数的不等？

分数的相等是指两个分数的分数值一样。其定义是：如果第一个分数

的分子与第二个分数的分母的积，等于第二个分数的分子与第一个分数的

分母的积，那么，这两个分数就相等。

设分数;和;

bd

如果ad=bc,那么，

bd

例如：分数卷和得

因为9X35=21X15

所嚓嘤

分数的不等是指两个分数的分数值不一样。其定义是：如果第一个分

数的分子与第二个分数的分母的积，大于（或小于第二个分数的分子与第

一个分数的分母的积，那么，第一个分数就大于（或小肉二个分数。这

两个分数就是不等的。

设分数;和;

bd

如果ad〉cb,那么，->-；

bd

如果ad〈cb,那么，——o

bd

例Q）;和W比较大小。

813

因为5X13〉7X8

所以I"

例⑵［和#匕较大小。

因为7X1K9X9

所吗4

195.有什么简便方法，来比较异分母分数的大小？

异分母分数由于分数单位不一致，在比较大小时，一般使用的方法，

都是先进行通分，使异分母分数转化成同分母分数，有了相同的分数单健;

后再比较大小。

如：比较二和匚的大小。

1220

73511=33

18.刀：—=—9——

12602060

因为王〉受，所以二〉U

60601220

除上述这一般方法外，还有一种较为简便的方法，即：异分母分数大

小比较时，不必通分，只要把两个分数的分子、分母交叉相乘，根据这两

个乘积进行比较就行了。

例Q）比较|和5的大小。

用第一个分数的分子（5）去乘第二个分数的分母（10）,所得的积

是5X10=50；再用第二个分数的分子（7）去乘第一个分数的分母（9）,

所得的积是7X9=63。

勒上得

因为5X10<7X9,所以5;<而7

例（2）比较搞9和色13的大小。

913

Ti^so

因为9X2O〉】3X11,所以.9〉若13

为什么这种简便方法也能比较异分母分数的大小呢？其算理与一般

方法先通分后比较是一样的，只不过是省略了通分的过程。两个分数的分

子、分母交叉相乘，所得的积是在取得公分母情况下的各自的分子，分数单

位既已一致，分子的大小就可以比较出分数的大小。但在这比较过程侑略

了通分，也就看不到公分母了。

仍以例⑴的|与（比较大小为例。

按一般方法先通分:

5=5x10=507=7x9=63

9-9x10-9010-10x9-90

喘＜得（实际上就是5X10C7X9）

910

196.同分母分数相加时，为什么原来的分母不变?

同分母分数的加法法则是：分子相加的和作分子，原来的分母不变。

即：*£=山Q卢0)

aaa

原来的分母不变的道理，在于分母是把单位“1”平均分成若干份的

数，它决定了这个分数的分数单位，只表示每一份的大小，而不表示所取份

数的多少；分子表示取了多少份的数，也就是有多少个分数单位。因阖分

母分数相加，由于是同分母，其分数单位也必然相同，相加的实质是几个相

同分数单位的相加，只是分子的相加，而分母是不能变的。

5M121+23

伊技口：-+—=-^—=-

相加的过程是：1个;加上2个等于3个，也就是

如果两个分母5也相加，那么分母就变成了10,这就表示把单位“1”

平均分成了10份，其分数单位也变成了宗，与原分数单位J也是不相符的，

其错误结果是零=(，这在刚刚学习分数加法时，是一种常见的错误。通过

下面线段图，可以说明一旦分母也相加所造成的错误结果。

12

5-5

3

10

197.为什么在计算异分母分数加、减法时，要先通分？

在进行整数加、减法计算时，对不同计量单位的各个数量，都不能直

接进行加、减，必须化成相同单位的量，才能直接进行计算。

如：4公顷~30亩=4公顷~2公昵2公顷

或：4公顷-30亩=60亩-30亩=30亩

在整数中是这个道理，所以在计算异分母分数加、减法时，要先通分，

其理由与上述道理也类似。由于异分母分数的分母不同，因而它们的分数

单位也不一样。要直接进行加或减，必须把不同分母的分数转化成同分母分

数，才能使分数单位一样，完成这个转化的手段就是通分。

例如：

48

分数单位：分数单位？

4o

由于工和?的分母不同，分数单位也就不同，因此不能直接相加。要使

48

:和:这两个分数转化成分数单位一样的分数，就必须先进行通分，然后再

48

进行计算。

通分转化

从上图可以看到，在进行异分母分数加法时，不经过通分，就无法使

不同分数单位的分数转化成相同分数单位的分数。减法也是同样的道理。

198.有没有比较简便的方法来确定最小的公分母？

在进行异分母分数加、减法时，必须先通分，使异分母分数转化成同

分母分数，然后才能直接计算。通分首先要确定异分母分数的公分母，由于

数是无限多的，因此公分母也是无限多的。只有确定最小公分母，才能使

计算的过程变得简便。确定最小公分母就是求最小公倍数的应用，通常使

用的比较简便的方法有以下几种：

(1)当大分母是小分母的倍数时，大分母就是最小公分母。

例如,276713

515151515

15是5的倍数，最小公分母为15。

7_5_21A2

8-24=24-24=24=3

24是8的倍数，最小公分母为24。

(2)当几个分母是互质数时，这几个分母的乘积就是它们的最小公

分母。

例如,

7和5是互质数，最小公分母为(7X5=)35o

123354245_32

357105105105105

3、5、7两两互质，最小公分母为(3X5X7=)105。

(3)当几个分母有公约数时，这几个分母的最小公倍数，就是它们

的最小公分母。

8和12的最小公倍数是24,24就是最小公分母。

由于在实际计算异分母加、减法时，分母都不会太大，可以通过对分母

的观察，采用大分母翻倍法来确定最小公分母。所谓的大分母翻倍法，就

是当几个分母有公约数时，不采用求最小公倍数的方法，而是把大分母披大

倍、3倍、4倍、5倍、……。如果所得的结果是小分母的倍数时，这个结

果就是最小公分母。

135

例如，+f—F----1------

Q661012

8661012

16[i24

24-j36

48

2伪最小公5)^)____L60

60为最小公分母

上述确定最小公分母的过程，不要求书写出来，它只是口算过程的表

述。由于运用口算可以简化通分的程序，从而使确定最小公分母变得简便,

使异分母分数加、减法的准确计算提高了速度。

199.为什么分数乘以分数时，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分

母？

在分数乘法中，一般分为三种情况：分数乘以整数、整数乘以分数和

分数乘以分数。前两种法则是：整数与分子相乘的积作分子，原来的分母

不变。后一种的法则是：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。实际

上前两种法则与后一种法则是一致的，只要统一成分数乘以分数的法则就

可以了。

2,232x36

例如:

7717x17

c25210

1?1n14

由于任何整数都可以写成分母是1的假分数，所以任何整数与分数相

乘都可以转化成分数乘以分数的形式。至于分子相乘的积作分子，分母相

乘的

积作分母的算理，可以通过3公顷实验田的I种小麦，小麦是多少公顷为例,

其算式为gxg。图示如下:

1公顷1公顷表示单位“I”，这题为1公顷。

告公顷公顷表示把1公顷平均分成5

份，取其中4份。

表示把1■公顷再平均分成3份，

取其中2份。

由图示可以看到：x|这1公顷地在先平均分成淞的基础上，又平

均分成3份，两次均分成15份，根据所分的份数是分母的意义，分

母为(5X3=)15；原来取的4份又均分成2份，这样就变成了8份，分

子则为(4X2=)8,这8份是15份中的8份。

答：小麦是蔡公顷。

由此可见，分数乘以分数的计算法则，是由分数乘法的意义，即：求

一个数的几分之几是多少来决定的。其中分母相乘的积作分母，表示单位

“1”一共平均分成的份数；分子相乘的积作分子，表示一共取出的份数。

200.计算分数除法时，为什么要将除数的分子分母颠倒后用乘法计算？

分数除法的计算法则是：甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘以乙

数的倒数。或者说，被除数不变，除数颠倒变乘。这个算理在“教”与“学”中

都是重点和难点。正确地弄清这个算理，可以从以下五方面的任何一个方面

入手。

(1)从分数除法的原始法则进行分析:

分数乘法的法则是：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。根

据乘、除法的关系，分数除法的原始法则是：分子相除的商作分子，分母相

除的商作分母。

8_4_8+4_2

例如:

155-15*5-3

用颠倒变跖法也诙

使用这种法则的局限性很大，因为无论是分子相除，还是分母相除，

都能整除的情况是很少的，如果不能整除，其结果就会出现繁分数的情况，

这就使计算结果变得更为复杂。

根据除法中商变化的规律，被除数分子缩小几倍，商（分数值）也缩

小相同倍数，要保证商缩小相应的倍数，不采用被除数缩小而采用除数扩大

的方法，也同样达到被除数缩小的作用。除数缩小几倍，商反而扩大相同倍

数，如果除数不缩小几倍，被除数扩大相应的倍数，商所起的变化也是一致

的。除法有不能整除的情况，但换成乘法却没有乘不开的时候。为此，被

除数不变，除数一定要颠倒变乘。

例如：|+|如用原始法则都有不能整除的情况，采用颠倒变乘的方法

83

就可以顺利地进行计算。

525sz315

838216

（2）从分数除法的意义来分析：

分数除法的意义是：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。以下

题为例：

一本故事书看了60页，占这本故事书总页数的这本书是多少页？

4

6。页

?

这本书是多少页s

从图示中看出，这本书分成4等份，其中的3份是60页，求4份是

多少页。按照“归一”应用题的思路，可以得出下列算式：

①1份是多少页？604-3=20（页）

②4份是多少页？20X4=80（页）

所以,

60+—=60*3x4=—x4=‘°—=^0x—=8Q（页）

4333

_____________________________t

从箭头所指可以看出：这两个式子是相等的，即60+q=60X：。所表

示的意思也是一样的，先求1份是多少页，再求4份是多少页。

由此可以说明除数颠倒变乘的道理。

（3）从分数的基本性质来分析：

根据分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以相同的数（零除外）

分数的大小不变；按照分数除法的原始法则，为了使分子和分母都能整隗

以用除数中分子与分母的相乘积，分别去乘被除数的分子和分母。

拉-232x（4x3）+32x424

伊！I>?n：—+-=——x—=—=—x-

545x（4x3）+45x353

①②③④

从脱式中可见，②式分子部分的X3与+3可以消掉；分母部分的M

与+4也可以消掉，②式转化成③式，再转化成④式，从而证明①式等于

④式。这也可以说明除数颠倒变乘的道理。

（4）从求一个数的几分之几用乘法来分析：

可通过以下两道例题的解法做个比较。

①有20米布，平均分成5份，每一份是几米？

204-5=4（米）

②有20米布，求它的g是几米？

20X1=4（米）

第①题是整数除法，第②题是分数乘法，这两道题所表述的意义却是

一样的，都是把20米布平均分成5份，求一份是多少，其结果也是一样

的。

所以，20*5=20x1

由于任何整数都可以写成分母是1的假分数，2045可写成20+；

将;的分子分母颠倒所得到的分数就是依据这个道理，可以证明，除以

一个分数，可将这个分数的分子、分母颠倒位置后，用乘法计算。

(5)从“互为倒数的两个分数相乘等于1”来分析：

在乘法中，任何一个分数与它的倒数相乘结果都是1。如3x2=1。根

54

据积除以一个因数等于另一个因数，1+?=?。这个算式的意义是：1里

54

面包含着豹部如果要求荔除以整氤其意义就是艇面包含着3

的多少倍。既然1里面包含着2的2倍，因此W里面就包含着2的2X2倍。

54125412

按照乘法的交换律可以得出：

5szi111sz5114115

412124125124

从以上五个方面进行分析，分数除法与分数乘法在一定条件下是可以互

相转化的，这也是分数除法法则中，被除数不变而除数颠倒变乘的算理。

201.为什么分数除以整数时，整数只乘分母而不乘分子？

在分数乘法中，遇到分数乘以整数时，法则规定是只乘分子而不乘分母。

按照乘、除法之间的关系，分数除以整数时，也应该只除分子而不除分母，

这个法则本身是成立的。

从算理上分批那分数单位是小定解个:把8个5平均分成4

份，每份则是2个）也就是得。用乘法验算：由此可以证

1X4=^=A0

明，只除分子而不除分母是完全可以的。

但是，在实际计算中，用上述方法常常遇到整数除分子不能整除，甚至

不能除尽的情况，这就给计算留下一个并不明确的结果。

其结果为繁分数，繁分数本身又是分数除法，这样只能是越算过程越

繁琐。由于受到“分子除以整数一定能整除”这个条件的限制，所以，分子

除以整数的方法，就不能应用，如果改用只乘分母的方法，不仅可以得到

分子除以整数的同样结果，而且在任何情况下这种方法都可以使用。

仍以：+3为例，?+3==±

555x315

这样，既解决了分子除以整数不能整除的矛盾，同时也能较简便地得

出结果。至于只乘分母不乘分子的道理，可从以下几方面进行分析：

（1）如上例，1+3是把：平均分成3份，求每份是多少。实际上也

是求:的工是多少。所以，2+3=卜贤/=［分子与1相乘，分子原

535535x315

来的数没有任何改变，剩下的只是分母与整数相乘了。

（2）把分数看成除法，分子4看作被除数，分母5看作除数，:看作

商，1+3的算式意义，就是把商缩小3倍，依据“商的变化规律”，如果

被除数（分子）不变，除数（分母）扩大3倍，商不是反而缩小3

倍吗？从这个意义上讲，分子缩小几倍与分母扩大相同的倍数，所引起商

的变化是一致的。

因此，

（3）根据分数与除法的关系，分数可以直接写成除法的形式。g可以

写4+5,而5+3就可以写成4+5+3。而这个算式的意义是：把4缩

小5倍再缩小3倍，也就是等于把4缩小（5X3=）15倍。根据这个

推理和转化，原算式则为：

24+3=4+5+3

5

=4+（5X3）

4

-Ix3

从以上三方面的分析，都可以说明：为什么分数除以整数时，只乘分

母而不乘分子的道理。

202.在分数、小数混合运算中，为什么有时把分数化成小数，而有时又

把小数化成分数？

在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小

数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精

确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数

化成分数，或分数化成小数。

一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。

例⑴0.25+3--1.75--

54

=0.25+3.4-1.75-0.75

=1.15

如果把小数化成分数，运算过程则为:

23

025+3--175--

54

1,233

4544

5,8,1515

20202020

=12

从对比中可以看到：在加、减法中，如果分数化成小数，其计算要点

只是小数点对齐，而省去了小数化成分数后，中间需要通分的过程，最后

的结果，小数没有约分的要求，而分数有时还要约分。

不过，在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分

数化成小数。因为带着循环小数进行运算，不可能得到精确的结果。因此

在这种情况下，小数又只能化成分数了。

例（2）16+-+2.5-1-

36

,31JQ

=1-H—+2—1-

5326

,1810J5,25

30303030

=22

如果分数化成小数，i=0.5,if=1.83,其最后结果是2.57,与

36

正确的结果就有了一定的误差。

在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。这是因

为化成分数后，中间的过程可以约分，经过约分后，数字也变小，这样既

提高了准确性，也提高了计算的速度。

例⑶12-3|x|

48

1153

=1—十—sxz—

548

5158

3

~25

此题的分数如化成小数，其过程将是这样的:

12*33-x3i=l,2*3.75X0.375

48

=0.32X0.375=0.12

从形式上看，分数化成小数并不繁琐，实际计算时，有时需要大乘、

大除，运用口算是难以完成的，并且计算过程中易于出错。小数化成分数,

过程基本上都是在口算中进行的，所以，在实际计算时要简便得多。

上述只是一般情况，有些特殊情况，小数也不一定必须化成分数，这

就是小数和分母能直接约分时，小数不用化成分数，而看作整数直接进行

约分，但必须注意：小数点一定要保持原来的位置。

例(4)(5.24X3-+644X+0.5

1.31-0923

=(究4x—F-67WX-)+0.5

11

=(19,65+2,76)+0.5

=22.41+0.5

=44.82

通过以上各种情况的分析，在分数、小数四则混合运算中，要根据具

体情况，灵活地选择互化的方法，以达到运算简便，结果正确的目的。

203.在分数四则运算中，经常出现的错误有哪些？

在分数四则运算中，基础知识稍有缺欠，就会造成运算过程中的错误，

从而导致计算结果的严重误差，这对个别学生来说，则形成了久治不愈的

顽症。造成这种现象的原因，主要是单项计算不过关。一般来讲，其原因及

形式有以下几个方面：

(1)概念不清:

在带分数的减法中，整数械带分数时，就常出现这样情况，8-61=2|,

这反映出对带分数的概念是不清楚的，带分数是自然数与真分数的和

的一种

表达形式，由于对此理解不清，致便没有把6,看成一个完整减数，结果是

减去6而又加上了这也反映出做错题的学生，把8-6|与8|-6等同起

来，从而导致了上述错误。

⑵法则混淆:

运算是凭借法则来进行的，法则一旦发生混淆，是产生错误的普遍性

原因。在分数乘、除法中，表现尤为突出。

■2

如：/2=33

8x216

313x2_3

一一2=

~~R4

这两道题的结果都是错的，造成错的原因都是法则上的混淆。上题是

分数乘以整数，法则是：分子与整数相乘，分母不变；下题是分数除以

整数，法则是：分母与整数相乘，分子不变，从脱式的过程看，这两个法则

在运用上都颠倒了。

5535

又如:一—一X—

12841253

分数除法是将除数的分子、分母颠倒后相乘，结果是一看到第一个运

算符号是除号，立即把后面的两个分数的分子、分母都颠倒了，造成了分

数乘、除法法则的混淆。

(3)粗心大意:

由于学习作风的马虎和对计算结果缺乏认真负责的良好品质，出现这

类错误也是各式各样的。

如：抄错运算符号和数字。

2.8X?lx|*0,07,此题一抄在练习本上就变成了；2.8X3；

*1*0.07,或抄写成28X3；X：-07。运算符号或数字一旦抄错，

计算结果的错误则是必然的了。

又如：约分的错误