方程组求解的代数方法

22/28方程组求解的代数方法第一部分线性方程组的概念及其结构。 2第二部分消元法求解线性方程组的步骤。 4第三部分代入法求解线性方程组的步骤。 7第四部分克拉默法则求解线性方程组的步骤。 9第五部分矩阵法求解线性方程组的步骤。 13第六部分线性规划的建模过程。 16第七部分单纯形法求解线性规划的步骤。 18第八部分对偶单纯形法求解线性规划的步骤。 22

第一部分线性方程组的概念及其结构。关键词关键要点【线性方程组的概念】：

1.线性方程组由多个线性方程组成，每一个线性方程包含多个未知数。

2.线性方程组的解是指一组未知数的值，使每个线性方程都成立。

3.线性方程组的求解方法有很多，包括消元法、代入法、矩阵法等。

【线性方程组的结构】：

一、线性方程组的概念

线性方程组是指由一个或多个线性方程构成的方程组。线性方程的形式为：

$$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$$

其中，$a_1,a_2,\cdots,a_n,b$是常数，$x_1,x_2,\cdots,x_n$是未知数。

线性方程组的解是指一组数值$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，使方程组中的每个方程都成立。如果方程组有解，则称其为相容的；如果方程组无解，则称其为矛盾的。

二、线性方程组的结构

线性方程组的结构是指方程组中各方程的排列方式。线性方程组的结构可以分为以下几种：

*三角形结构：方程组中的方程按照从上到下的顺序，其未知数的个数逐次减少，形成一个三角形的结构。三角形结构的方程组容易求解，可以使用消元法或代入法求解。

*对角线结构：方程组中的方程按照从左到右的顺序，其未知数的个数逐次增加，形成一条对角线的结构。对角线结构的方程组也容易求解，可以使用消元法或代入法求解。

*一般结构：方程组中的方程没有特定的排列方式，形成一般结构的方程组。一般结构的方程组求解起来比较困难，可以使用高斯消元法或克拉默法则求解。

三、线性方程组的解法

线性方程组的解法有多种，常用的解法包括：

*消元法：消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。消元法通过对方程组中的方程进行代数运算，将方程组化简成一个或多个三角形结构或对角线结构的方程组，然后求解这些简化后的方程组即可得到线性方程组的解。

*代入法：代入法是求解线性方程组的另一种常用的方法。代入法通过将一个方程中的一个未知数代入另一个方程中，将方程组化简成一个或多个含有一个或多个未知数的方程组，然后求解这些简化后的方程组即可得到线性方程组的解。

*高斯消元法：高斯消元法是求解线性方程组的一种高效的数值方法。高斯消元法通过对方程组中的方程进行一系列的初等行变换，将方程组化简成一个对角线结构的方程组，然后求解该对角线结构的方程组即可得到线性方程组的解。

*克拉默法则：克拉默法则是一种求解线性方程组的代数方法。克拉默法则通过计算方程组中未知数的系数行列式和增广矩阵的行列式，得到未知数的解。克拉默法则适用于求解系数行列式非零的线性方程组。

四、线性方程组的应用

线性方程组在科学、工程、经济、管理等领域有着广泛的应用。例如：

*在物理学中，线性方程组可以用来求解电路中的电流和电压，以及机械系统中的力学平衡问题。

*在工程学中，线性方程组可以用来求解结构分析中的应力分布问题，以及流体力学中的流体流动问题。

*在经济学中，线性方程组可以用来求解经济模型中的均衡价格和数量。

*在管理学中，线性方程组可以用来求解运筹学中的优化问题。第二部分消元法求解线性方程组的步骤。关键词关键要点求解线性方程组的步骤

1.将方程组化为参数变量分离的形式。

2.分别求出每个参数变量的值。

3.将参数变量的值代入原方程组，可得到方程的解。

消元法求解步骤

1.将相应的行元素相加或相减，得到三角形或对角线形式的方程组。

2.由新方程组的第一行开始，若第一行无主元，则与下面一行的元素依次交换，直到出现主元。

3.将所有变量的系数都除以主元的系数，得到主元系数为1的行。

4.将所有非主元系数都变为0，得到指标形式的方程组。

5.由指标形式的方程组可知，变量的值。

消元法的优点

1.简便：消元法是一种简便的方法，可以直接得到方程组的解，无需使用其他复杂的数学方法。

2.适用范围广：消元法适用于任意线性方程组，包括有解、无解和无穷多解的方程组。

3.容易理解：消元法的步骤简单易懂，即使是数学基础较弱的学生也能轻松掌握。

消元法的缺点

1.计算量大：对于规模较大的方程组，消元法需要进行大量的计算，容易出错。

2.精度不高：由于计算机的有限精度，消元法可能会产生舍入误差，导致解的精度下降。

3.稳定性差：消元法对系数矩阵的顺序很敏感，不同的系数矩阵顺序可能会导致不同的解，甚至导致计算不收敛。消元法求解线性方程组的步骤

2.选择主元：选择方程组中的一个方程作为主元方程，主元方程应满足以下条件：

*主元方程的未知数\(x_j\)在其他方程中出现的次数较少。

3.消元：利用主元方程对其他方程进行消元，消元步骤如下：

*将主元方程两边同时乘以一个常数，使得主元系数变为1。

*将主元方程减去其他方程，使得其他方程中含有主元未知数的项都变为0。

4.回代求解：消元完成后，方程组变为一个上三角方程组，可以从最后一个方程开始，依次回代求解未知数\(x_j\)。

消元法的具体步骤如下：

1.整理方程组，使其成为标准形式。

2.选择主元。主元通常选择系数最大的未知数对应的系数，或者选择第一个非零系数对应的未知数。

3.利用主元消元其他方程中的未知数。从主元所在方程向下，依次用主元方程减去其他方程，使其他方程中含有主元未知数的项都变为0。

4.当所有未知数都被消元后，就可以利用回代法求解未知数的值。回代法从最后一个方程开始，依次向上，将未知数的值代入前面的方程，求出未知数的值。

消元法求解线性方程组的示例：

已知方程组：

1.整理方程组，使其成为标准形式。

2.选择主元。选择第一个方程的未知数\(x\)作为主元。

3.利用主元消元其他方程中的未知数。

$$-3(2x+3y-z=1)\rightarrow-6x-9y+3z=-3$$

$$-(x-y+2z=5)\rightarrow-x+y-2z=-5$$

$$-2(3x+2y-z=8)\rightarrow-6x-4y+2z=-16$$

4.回代法求解未知数。

$$-3x-9y+3z=-3\rightarrow3x+9y-3z=3$$

$$-x+y-2z=-5\rightarrowx-y+2z=5$$

$$-6x-4y+2z=-16\rightarrow6x+4y-2z=16$$

$$-(x-y+2z=5)+(-x+y-2z=-5)\rightarrow-2x=0$$

$$x=0$$

$$-(2x+3y-z=1)+(3x+9y-3z=3)\rightarrowy=2$$

$$-(2x+3y-z=1)+(6x+4y-2z=16)\rightarrowz=5$$

因此，方程组的解为：\(x=0,y=2,z=5\)。第三部分代入法求解线性方程组的步骤。关键词关键要点【代入法求解线性方程组的步骤】：

1.首先，将其中一个方程中的一个未知数代入到另一个方程中，并进行化简和运算。

2.其次，得到一个新的方程，其中只有一个未知数。

3.接着，求出这个未知数的值。

4.最后，将求出的未知数的值代入到其他方程中，求出其他未知数的值。

【消元法求解线性方程组的步骤】：

代入法求解线性方程组的步骤

1.选择一个方程作为主方程。主方程通常是方程组中变量最少或最容易求解的方程。

2.将主方程中的一个变量表示为另一个变量的函数。这是通过代数运算来完成的，通常涉及到将方程乘以一个常数或将两个方程加在一起。

3.将这个表达式代入方程组中的其他方程。这将产生一个新的方程组，变量更少，更容易求解。

4.重复步骤2和3，直到只剩下一个方程。这是方程组的最终方程，它只含有一个变量。

5.求解最终方程，得到该变量的值。

6.将该变量的值代入方程组中的其他方程，求出其他变量的值。

这里有一个例子，说明如何使用代入法求解线性方程组：

已知方程组：

```

2x+3y=7

x-y=1

```

1.选择方程\(x-y=1\)作为主方程。

2.将主方程中的\(x\)表示为\(y\)的函数：

```

x=1+y

```

3.将这个表达式代入方程组中的另一个方程：

```

2(1+y)+3y=7

```

4.化简这个方程：

```

2+2y+3y=7

```

```

5y=5

```

5.求解最终方程：

```

y=1

```

6.将\(y\)的值代入主方程，求出\(x\)的值：

```

x=1+1=2

```

因此，方程组的解为\((x,y)=(2,1)\)。第四部分克拉默法则求解线性方程组的步骤。关键词关键要点【克拉默法则求解线性方程组的步骤】：

1.将线性方程组写成矩阵形式：

-系数矩阵A=[a_ij]，其中a_ij是方程组中系数的值。

-常数向量b=[b_i]，其中b_i是方程组中常数项的值。

-未知向量x=[x_j]，其中x_j是方程组中未知变量的值。

2.计算增广矩阵：

-将系数矩阵A和常数向量b水平连接起来，得到增广矩阵[Ab]。

3.计算子矩阵：

-对每个未知变量x_j，计算子矩阵A_j，它是通过从增广矩阵[Ab]中删除第j列得到的。

4.计算行列式：

-计算系数矩阵A的行列式det(A)和每个子矩阵A_j的行列式det(A_j)。

5.计算解向量：

-求解向量x=[x_j]的每个元素x_j，如下：

-x_j=det(A_j)/det(A)

6.验证解向量：

-将解向量x=[x_j]代入原始方程组，检查是否满足所有方程。克拉默法则求解线性方程组的步骤

1.写出增广矩阵

将系数矩阵与常数向量连接在一起，形成增广矩阵。

2.计算代数余子式

对于增广矩阵的每个元素，计算其代数余子式。代数余子式是将该元素所在的行和列从增广矩阵中删除后，剩下的矩阵的行列式，再乘以-1的该元素所在行的行号加该元素所在列的列号的指数。

3.计算行列式

计算增广矩阵的行列式。行列式是一个数字，它可以用来判断线性方程组是否有唯一解。

4.计算未知数的值

对于每个未知数，将该未知数所在列的代数余子式除以增广矩阵的行列式。

示例：

求解以下线性方程组：

```

x+2y=1

3x-y=4

```

1.写出增广矩阵

```

[121]

[3-14]

```

2.计算代数余子式

A11的代数余子式：

```

A11=-1

```

A12的代数余子式：

```

A12=-3

```

A21的代数余子式：

```

A21=4

```

A22的代数余子式：

```

A22=3

```

3.计算行列式

```

|A|=(1)(-1)-(2)(-3)=1-6=-5

```

4.计算未知数的值

x的值：

```

x=A11/|A|=-1/-5=0.2

```

y的值：

```

y=A12/|A|=-3/-5=0.6

```

因此，线性方程组的解为：

```

x=0.2,y=0.6

```

克拉默法则的优点和缺点

优点：

*克拉默法则是一种直接求解线性方程组的方法，不需要使用迭代方法。

*克拉默法则可以用来求解任意阶的线性方程组。

缺点：

*克拉默法则的计算量很大，不适用于求解大规模的线性方程组。

*克拉默法则不能用来求解齐次线性方程组。第五部分矩阵法求解线性方程组的步骤。关键词关键要点矩阵

1.矩阵是具有特定结构的数字数组，其元素排列成行和列，可用于表示线性方程组的系数和常数。

2.矩阵可以进行各种运算，如加、减、乘、转置、逆和行列式求解等，这些运算使得矩阵法成为求解线性方程组的有力工具。

3.矩阵法求解线性方程组的步骤包括：构造增广矩阵、化为阶梯形、利用初等行变换化为最简形、利用回代法求解变量值等。

增广矩阵

1.增广矩阵是将线性方程组的系数和常数组合而成的矩阵，其每一行对应一个方程，每一列对应一个变量。

2.构造增广矩阵时，将方程组的系数按顺序排列在矩阵中，常数项作为最后一列添加到矩阵中。

3.增广矩阵可以直观地表示线性方程组的结构和信息，便于进行后续的运算和变换。

阶梯形

1.阶梯形是指矩阵的一种特殊形式，其中每一行第一个非零元素所在的列比上一行第一个非零元素所在的列更靠右。

2.将增广矩阵化为阶梯形可以简化矩阵结构，便于后续的运算和变换，并可以清晰地看到方程组的解的情况。

3.将矩阵化为阶梯形可以通过初等行变换（如行交换、数乘行、行加减行）实现，这些变换不会改变方程组的解。

最简形

1.最简形是指阶梯形矩阵的一种特殊形式，其中对角线上的元素都是1，并且其他位置的元素都是0。

2.将阶梯形矩阵化为最简形可以进一步简化矩阵结构，便于求解变量值。

3.将阶梯形矩阵化为最简形可以通过初等行变换实现，这些变换不会改变方程组的解。

回代法

1.回代法是利用最简形矩阵求解变量值的方法，从最后一个方程开始，依次求出各变量的值。

2.回代法适用于求解具有唯一解或无解的线性方程组，当方程组存在多个解时，回代法不适用。

3.回代法计算简单，易于理解和操作，是求解线性方程组的常用方法之一。

线性方程组的解

1.线性方程组的解是指满足方程组所有方程的变量值的集合，即使得方程组等式成立的变量值。

2.线性方程组可能存在唯一解、无解或多个解，这取决于方程组的系数和常数的情况。

3.利用矩阵法求解线性方程组可以方便地确定方程组的解的情况，并求出变量的值。#矩阵法求解线性方程组的步骤

1.建立系数矩阵和常数向量。

将线性方程组的系数写成矩阵形式，常数项写成向量形式。例如，对于如下线性方程组：

```

2x+3y=7

4x-5y=9

```

可以将其写成矩阵形式和常数向量形式如下：

```

2&3\\

4&-5

x\\

y

7\\

9

```

其中，系数矩阵为

```

2&3\\

4&-5

```

常数向量为

```

7\\

9

```

2.求系数矩阵的逆矩阵。

如果系数矩阵是可逆的，则可以求出其逆矩阵。逆矩阵可以表示为

```

```

3.将常数向量与系数矩阵的逆矩阵相乘。

将常数向量与系数矩阵的逆矩阵相乘，即可得到解向量。即

```

```

4.将解向量中的元素代入原方程组，检验解的正确性。

将解向量中的元素代入原方程组，检验解的正确性。如果解满足原方程组的所有方程，则解是正确的。

矩阵法求解线性方程组的优势：

*矩阵法是一种系统的方法，可以有效地求解线性方程组。

*矩阵法可以很容易地推广到求解高阶线性方程组。

*矩阵法可以与其他数学方法相结合，如行列式和向量空间，从而更深入地理解线性方程组的性质和求解方法。第六部分线性规划的建模过程。关键词关键要点【线性规划的建模步骤】：

1.首先，将现实世界的决策问题转化为数学模型。

2.接下来，找到要优化的目标函数，它可以是收益、成本、效率或其他可以被量化的目标。

3.然后，需要建立决策变量，它们是影响目标函数的值的未知数。

【线性规划的约束条件】：

线性规划的建模过程

线性规划建模过程主要分为以下五个步骤：

1.确定决策变量和目标函数

决策变量是线性规划模型中未知的变量，目标函数是线性规划模型中要优化的目标。决策变量和目标函数一般由实际问题中决策者的目标和相关因素决定。

2.建立约束条件

约束条件是线性规划模型中对决策变量的限制，约束条件一般由实际问题中的资源限制、技术限制等因素决定。

3.将问题标准化为线性规划形式

标准化的线性规划模型一般由目标函数、约束条件和非负性约束组成。

4.建立数学模型

数学模型是线性规划模型的数学形式。数学模型一般由目标函数、约束条件和非负性约束组成。

5.求解数学模型

求解数学模型一般可以使用单纯形法、内点法等方法。

以下是一个具体的例子：

一个公司生产两种产品A和B，产品的利润分别是10元和15元。公司的资源有限，生产一种产品A需要的原料为1单位，生产一种产品B需要的原料为2单位。公司的原料总量为100单位。现在公司想要知道如何分配原料，才能使总利润最大。

1.确定决策变量和目标函数

决策变量是分配给产品A和产品B的原料数量，分别用变量x1和x2表示。目标函数是总利润，用函数f(x)表示，f(x)=10x1+15x2。

2.建立约束条件

约束条件是原料总量的限制，用不等式表示，x1+2x2≤100。

3.将问题标准化为线性规划形式

标准化的线性规划模型如下：

```

目标函数：f(x)=10x1+15x2

约束条件：x1+2x2≤100

非负性约束：x1≥0,x2≥0

```

4.建立数学模型

数学模型如下：

```

maxf(x)=10x1+15x2

s.t.x1+2x2≤100

x1≥0,x2≥0

```

5.求解数学模型

可以使用单纯形法或内点法求解数学模型，得到最优解x1=50,x2=25，即分配给产品A50个单位原料，分配给产品B25个单位原料，此时总利润最大，为1000元。第七部分单纯形法求解线性规划的步骤。关键词关键要点单纯形法基本原理

1.单纯形法解决线性规划示意图。

2.迭代过程：解决线性规划问题步骤。

3.线性规划的基本概念包括可行域、可行解、最优解。

单纯形法步骤

1.将线性规划问题变换为标准形式。

2.找到初始可行解、基变量和非基变量。

3.构造初始单纯形表。

4.确定进基变量：从非基变量中选择进基变量。

5.确定离基变量：从基变量中选择离基变量。

6.依据进基变量和离基变量进行换基，更新单纯形表。

7.重复步骤4-6，直到找到最优解。

单纯形法的收敛性

1.单纯形法的收敛性：若目标函数是线性的，并且约束条件也是线性的，那么单纯形法一定能找到最优解。

2.单纯形法的终止判别：如果目标函数系数都为非负，则找到最优解；否则，目标函数无界。

单纯形法的复杂度

1.单纯形法的复杂度：单纯形法的最坏情况复杂度为指数级，但实际中通常收敛速度很快。

2.单纯形法的平均复杂度：单纯形法的平均复杂度通常是多项式级的。

单纯形法的改进

1.单纯形法改进方法包括变量定界法、分支定界法、切割平面法、外点法等。

2.单纯形法的改进方向包括提高收敛速度、解决大规模问题、提高数值稳定性等。

单纯形法的应用

1.单纯形法被广泛应用于经济学、运筹学、工业工程、管理科学等领域。

2.单纯形法用于生产计划、资源分配、运输问题、投资组合优化、金融衍生品定价等。单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤如下：

1.将线性规划问题转化为标准型线性规划问题

标准型线性规划问题是指满足以下条件的线性规划问题：

*目标函数是关于n个变量的自变量的线性函数。

*约束条件是m个关于n个变量的线性不等式。

*变量是非负的。

如果原线性规划问题不是标准型线性规划问题，则需要将其转化为标准型线性规划问题。转化方法如下：

*将目标函数转化为最小化目标函数。

*将变量转化为非负变量。

*将不等式约束条件转化为等式约束条件。

*将等式约束条件转化为两个不等式约束条件。

2.构造初始单纯形表

初始单纯形表是根据标准型线性规划问题的目标函数和约束条件构造的。初始单纯形表的形式如下：

```

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

|&&&&&&&|&&&|&&&|

```

初始单纯形表的第一列是目标函数的变量，第二列是约束条件的变量，第三列是目标函数的常数项，第四列是约束条件的常数项，第五列是目标函数的系数，第六列是约束条件的系数，第七列是目标函数的变量的符号，第八列是约束条件的变量的符号，第九列是目标函数的变量的取值，第十列是约束条件的变量的取值，第十一列是目标函数的变量的取值，第十二列是约束条件的变量的取值。

3.选择主元素

主元素是指单纯形表中某个位置的元素，该元素满足以下条件之一：

*该元素是目标函数的目标系数的绝对值最大的元素。

*该元素是约束条件的约束系数的绝对值最大的元素。

选择主元素后，主元素所在的行叫做主行，主元素所在的行叫做主列。

4.进行一次单纯形迭代

进行一次单纯形迭代是指根据主元素对单纯形表进行以下操作：

*将主元素所在的行和主元素所在的行交换，使得主元素位于单纯形表的左上角。

*将主元素所在的行和主元素所在的行乘以一个系数，使得主元素等于1。

*将主元素所在的行和主元素所在的行减去主元素所在的行和主元素所在的行乘以一个系数，使得主元素所在的行和主元素所在的行中，除了主元素之外的元素都为0。

5.检查单纯形表是否达到最优解

如果单纯形表中满足以下条件之一，则说明单纯形表已经达到最优解：

*目标函数的目标系数的绝对值都是非负的。

*约束条件的约束系数的绝对值都是非负的。

如果单纯形表没有达到最优解，则需要继续进行单纯形迭代。

6.重复步骤3、4、5

重复步骤3、4、5，直到单纯形表达到最优解。第八部分对偶单纯形法求解线性规划的步骤。关键词关键要点对偶变换

1.对偶性原理：给定一个线性规划问题，如果该问题的目标函数是最大化，那么其对偶问题的目标函数是求解最小化，反之亦然。

2.对偶问题：对偶变换的基本思想是将原问题的变量替换为对偶变量，将原问题的约束条件替换为对偶变量的约束条件，从而形成一个新的最大化或最小化问题。

3.对偶变量：对偶变量是与原问题变量一一对应的非负变量，它们表示原问题目标函数中各个变量的系数。

构造对偶问题

1.目标函数：对偶问题的目标函数是原问题的目标函数经过对偶变换后的表达式，它是关于对偶变量的线性函数。

2.约束条件：对偶问题的约束条件是由原问题的约束条件经过对偶变换得到的，它们是关于对偶变量的线性不等式。

3.非负约束条件：对偶问题的变量都是非负的，这与原问题的非负约束条件相对应。

对偶定理

1.弱对偶定理：对偶问题和原问题的最优值之间存在着一定的联系。若原问题的可行解和对偶问题的可行解都存在，那么原问题的最优值不大于对偶问题的最优值。

2.强对偶定理：如果原问题的目标函数是凸函数，且约束条件是凸的，那么对偶问题和原问题的最优值相等，此时这两个问题的最优解也相对应。

对偶单纯形法

1.原问题的基本可行解：基本可行解是指原问题中所有非负变量所组成的向量，并且其中有一些变量为非零，其他为零。

2.对偶问题的基本可行解：对偶问题的基本可行解是指对偶问题中所有非负变量所组成的向量，并且其中有一些变量为非零，其他为零。

3.单纯形算法：单纯形算法是一种求解线性规划问题的迭代算法，它从一个基本可行解开始，通过不断地交换基本变量，直到找到一个最优解。

对偶单纯形法的步骤

1.构造对偶问题：首先需要构造线性规划问题的对偶问题，即根据原问题的目标函数和约束条件建立新的目标函数和约束条件。

2.求解对偶问题：利用单纯形算法求解对偶问题，以确定对偶问题的最优解和最优值。

3.根据对偶定理，可以得到原问题的最优解和最优值。对偶单纯形法求解线性