山西省太原市2025届高三数学模拟考试试题二文含解析

PAGE19-山西省太原市2025届高三数学模拟考试试题（二）文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．已知复数z＝，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i2．已知集合A＝{x|x（x﹣1）＝0}，B＝{x||x|＝1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{1}3．艺术体操竞赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差4．已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完备的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列（即a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*））的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在许多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为（）A． B． C． D．4π5．在等比数列{an}中，a1＝，a2a4＝2a3﹣1，则a5＝（）A．2 B．4 C．6 D．86．点P（m，m）（m≠0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为3，则p＝（）A．1 B．2 C． D．67．已知函数y＝f（x）部分图象的大致形态如图所示，则y＝f（x）的解析式最可能是（）A．f（x）＝ B．f（x）＝ C．f（x）＝ D．f（x）＝8．已知函数f（x）＝a2x3﹣x在点（1，f（1））处的切线经过点（2，6），则实数a＝（）A．±1 B．±2 C． D．±9．已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝3（a，b∈R）与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则下列错误的结论是（）A．•是定值 B．四边形OAMB的面积是定值 C．a+b的最小值为﹣ D．a•b的最大值为210．在直角△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，点G是△ABC的重心，若AG⊥BG，则cosC＝（）A． B． C． D．11．已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝BD＝DA＝2，BC⊥CD，BC＝CD，则当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，其外接球的表面积为（）A．48π B．28π C．16π D．20π12．已知直线x﹣2y+n＝0（n≠0）与双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P的坐标为（n，0），若|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设，为单位向量，且|+|＝，则|﹣|＝．14．已知sinα+cosα＝，则sin2α＝．15．已知点A（1，0）和B（2，m），点M（x，y）是函数y＝lnx图象上的一个动点，若对于随意的点M（x，y），不等式≥（其中O是坐标原点）恒成立，则实数m＝．16．已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边CD上的动点，将△ADE沿AE折起至△PAE，使得平面PAB⊥平面ABC，过P作PG⊥AB，垂足为G，则AG的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，△ABD的面积为．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）若∠BCD＝120°，求BC+CD的取值范围．18．2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2024年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查．已知该市这样的社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图．现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区．（Ⅰ）依据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值（精确到整数）；（Ⅱ）若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标”社区的个数．（Ⅲ）市环保部门确定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16，18]的社区的概率．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，CE＝DE，EF∥DB，DB＝2EF，平面CDE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面BCF⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求三棱锥A﹣CEF的体积．20．已知函数f（x）＝ax+1（a∈R），g（x）＝sinx+cosx．（Ⅰ）当a＝1时，证明：不等式f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在[﹣，+∞）上恒成立，求实数a取值的集合．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是点A，B，直线l：x＝与椭圆C相交于D，E两个不同点，直线DA与直线DB的斜率之积为﹣，△ABD的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P是直线l：x＝的一个动点（不在x轴上），直线AP与椭圆C的另一个交点为Q，过P作BQ的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N，使得|MN|为定值，若存在，恳求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝．（Ⅰ）求曲线C的一般方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A在曲线C上，且点A到直线l的距离为，求点A的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+m2|+|2x﹣m|（m＞0）．（Ⅰ）当m＝1时，求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为，且a+b＝m（a＞0，b＞0），求证：+2≤．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i解：复数z＝＝所以它的共轭复数为：1﹣i故选：A．2．已知集合A＝{x|x（x﹣1）＝0}，B＝{x||x|＝1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{1}解：A＝{x|x（x﹣1）＝0}＝{0，1}，B＝{x||x|＝1}＝{1，﹣1}，则A∩B＝{1}．故选：D．3．艺术体操竞赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差解：依据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故选：A．4．已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完备的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列（即a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*））的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在许多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为（）A． B． C． D．4π解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，依据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r＝5+8＝13，对应的弧长l＝2π×13×＝，故选：C．5．在等比数列{an}中，a1＝，a2a4＝2a3﹣1，则a5＝（）A．2 B．4 C．6 D．8解：依据题意，等比数列{an}中，有a2a4＝a32，则有a2a4＝a32＝2a3﹣1，解可得a3＝1，又由a1＝，则a1a5＝a32，解可得a5＝4，故选：B．6．点P（m，m）（m≠0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为3，则p＝（）A．1 B．2 C． D．6解：∵点P到该抛物线焦点的距离为3，∴+m＝3，点P（m，m）（m≠0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，可得2m2＝2pm，解得p＝2．故选：B．7．已知函数y＝f（x）部分图象的大致形态如图所示，则y＝f（x）的解析式最可能是（）A．f（x）＝ B．f（x）＝ C．f（x）＝ D．f（x）＝解：依据题意，由函数y＝f（x）的图象，其定义域为{x|x≠0}，f（x）为奇函数，依次分析选项：对于A，f（x）＝，有ex﹣e﹣x≠0，即x≠0，其定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数，符合题意，对于B，f（x）＝，有ex﹣e﹣x≠0，即x≠0，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），函数f（x）为偶函数，不符合题意，对于C，f（x）＝，ex+e﹣x≠0恒成立，其定义域为R，不符合题意，对于D，f（x）＝，ex+e﹣x≠0恒成立，其定义域为R，不符合题意，故选：A．8．已知函数f（x）＝a2x3﹣x在点（1，f（1））处的切线经过点（2，6），则实数a＝（）A．±1 B．±2 C． D．±解：函数f（x）＝a2x3﹣x的导数为f′（x）＝3a2x2﹣1，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为k＝3a2﹣1，由切线经过点（2，6），可得3a2﹣1＝，解得a＝±．故选：D．9．已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝3（a，b∈R）与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则下列错误的结论是（）A．•是定值 B．四边形OAMB的面积是定值 C．a+b的最小值为﹣ D．a•b的最大值为2解：圆M的圆心M（a，b），半径r＝，则△MAB为边长为的等边三角形，①：∵＝||•||•cos60°＝＝，∴A正确，②：∵OA＝OB＝1，AB＝，△OAB的高h＝，∴S△ABO＝＝，∵S△MAB＝×（）2＝，∴S四边形OAMB＝+＝，∴B正确，③：由②知S四边形OAMB＝×OM×AB，∴OM＝＝2，即＝2，∴a2+b2＝4，∵2（a2+b2）≥（a+b）2，∴（a+b）2≤8，∴﹣2a+b≤2，当且仅当a＝b时取等号，∴a+b的最小值为﹣2，∴C错误，④：由③得，∵a2+b2＝4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝b时取等号，∴ab的最大值为2，∴D正确．故选：C．10．在直角△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，点G是△ABC的重心，若AG⊥BG，则cosC＝（）A． B． C． D．解：建立平面直角坐标系，如图所示，设BC＝m，BA＝n，且m＞0，n＞0，由G是Rt△ABC的重心，得G（，）；所以＝（，），＝（，﹣），因为AG⊥BG，所以•＝﹣＝0，解得m＝n，又＝（m，﹣n），所以cos∠ACB＝＝＝＝．故选：B．11．已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝BD＝DA＝2，BC⊥CD，BC＝CD，则当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，其外接球的表面积为（）A．48π B．28π C．16π D．20π解：∵BC⊥CD，BC＝CD，BD＝2，∴BC＝CD＝，又AB＝AD＝，∴要使三棱锥A﹣BCD的体积最大，则AC⊥平面BCD或平面ABD⊥平面BCD，当AC⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的高为，当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的高为，故当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，如图，设△ABD的外心为O，则O到B、C、D的距离相等，即O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，可得外接球半径R＝OA＝．∴其外接球的表面积为4π×22＝16π．故选：C．12．已知直线x﹣2y+n＝0（n≠0）与双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P的坐标为（n，0），若|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是（）A． B． C． D．解：由题意，双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，联立，解得A（，），联立，解得B（，），AB的中点坐标为E（，），∵|PA|＝|PB|，∴PE与直线x﹣2y+n＝0垂直，即，整理得2a2＝3b2，又b2＝c2﹣a2，解得e＝＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设，为单位向量，且|+|＝，则|﹣|＝1．解：∵，，∴，∴，∴．故答案为：1．14．已知sinα+cosα＝，则sin2α＝．解：∵sinα+cosα＝，∴平方可得1+2sinαcosα＝1+sin2α＝，∴sin2α＝，故答案为：．15．已知点A（1，0）和B（2，m），点M（x，y）是函数y＝lnx图象上的一个动点，若对于随意的点M（x，y），不等式≥（其中O是坐标原点）恒成立，则实数m＝﹣2．解：∵•≥•恒成立，∴2x+my≥2，∵M（x，y）在y﹣＝lnx上，∴2x+mlnx﹣2≥0恒成立，设f（x）＝2x+mlnx﹣2，（x＞0），①当m≥0时，f（x）单调递增，∵f（1）＝0，∴当0＜x＜1时，f（x）＜0，不合题意，②当m＜0时，f′（x）＝2+＝，当x＞﹣时，f′（x）＞0，当0＜m＜﹣时，f′（x）＜0，∴f（x）min＝f（﹣）＝﹣2﹣m+mln（﹣）≥0，即﹣1﹣+ln（﹣）≤0，令g（m）＝﹣1﹣+ln（﹣），则g′（m）＝+＝，当﹣2＜m＜0时，g′（m）＞0，当m＞﹣2时，g′（m）＜0，∴g（m）≥g（﹣2）＝0，又∵g（m）≤0，∴g（m）＝0，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．16．已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边CD上的动点，将△ADE沿AE折起至△PAE，使得平面PAB⊥平面ABC，过P作PG⊥AB，垂足为G，则AG的取值范围为[，3）．解：设AG＝x，DE＝y，因为E为CD上的动点，平面PAB⊥平面ABC，因为PG⊥AB，PG⊂平面PAB，AB为平面PAB与平面ABCE的交线，所以PG⊥平面ABCD，所以PG⊥AG，在△PAG中，PA＝3，AG＝x，所以PG2＝PA2﹣AG2＝9﹣x2，①因为EG2＝9+（y﹣x）2，PE＝y，△PGE中，PG2＝PE2﹣EG2＝y2﹣9﹣（y﹣x）2，②联立①②可得9﹣x2＝y2﹣9﹣（y﹣x）2，即x＝，因为3＜y≤4，所以≤x＜3．故AG的范围是[，3）．故答案为：[，3）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，△ABD的面积为．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）若∠BCD＝120°，求BC+CD的取值范围．解：（Ⅰ）在△ABD中，△ABD的面积S＝＝AB•AD•sin∠BAD，所以AD＝1+，由正弦定理可得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝3，所以BD＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得BD＝，设∠BDC＝α，（0＜α＜60°），由∠BCD＝120°，利用正弦定理可得＝＝＝2，所以BC+CD＝2[sinα+sin（60°﹣α）]＝2sin（α+60°），因为0＜α＜60°，所以＜sin（α+60°）≤1，所以＜BC+CD≤2，所以BC+CD的取值范围为（，2]．18．2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2024年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查．已知该市这样的社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图．现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区．（Ⅰ）依据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值（精确到整数）；（Ⅱ）若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标”社区的个数．（Ⅲ）市环保部门确定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16，18]的社区的概率．解：（Ⅰ）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为：[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18）的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，∴估计当天这50个社区垃圾量的平均值为：＝5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08＝11.04≈11．（Ⅱ）由（Ⅰ）得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08＝0.2，∴这200个社区中“超标”社区的概率为0.2，∴这200个“超标”社区的个数为200×0.2＝40．（Ⅲ）由题意得样本中“超标”社区共有50×（0.12+0.08）＝10个，其中垃圾量为[14，16）的社区有50×0.12＝6个，垃圾量为[16，18）的社区有50×0.08＝4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14，16）的社区有3个，分别记为a，b，c，按垃圾量为[16，18）的社区有2个，分别记为d，e，从中选取2个基本领件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10个，其中所求事务“至少有1个垃圾量为[16，18]的社区”为：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共7个，∴重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16，18]的社区的概率为：P＝＝0.7．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，CE＝DE，EF∥DB，DB＝2EF，平面CDE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面BCF⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求三棱锥A﹣CEF的体积．解：（Ⅰ）证明：设点G、H分别是CD，CB的中点，连接EG，FH，GH，则GH∥DB，且DB＝2GH，因为EF∥DB，且DB＝2EF，所以EF∥GH，且EF＝GH，所以EFGH是平行四边形，可得FH∥EG，因为CE＝DE，所以EG⊥CD，因为平面CDE⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，所以FH⊥平面ABCD，因为FH⊂平面BCF，所以平面BCF⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接BG，由（Ⅰ）可得EG⊥平面ABCD，因为直线BE与平面ABCD所成角为45°，所以∠EBG＝45°，所以BG＝EG，设AC∩BD＝O，连接OE，可得OEFB是平行四边形，所以OE∥BF，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以三角形ABD和三角形BCD都是边长为2的等边三角形，所以BG＝，所以VA﹣CEF＝VF﹣ACE＝VB﹣ACE＝VE﹣ABC＝S△ABC•EG＝S△BCD•EG＝××4×＝1．20．已知函数f（x）＝ax+1（a∈R），g（x）＝sinx+cosx．（Ⅰ）当a＝1时，证明：不等式f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在[﹣，+∞）上恒成立，求实数a取值的集合．【解答】（Ⅰ）证明：当a＝1时，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x+1﹣sinx﹣cosx，x∈R，则h′（x）＝1﹣cosx+sinx，当0≤x＜时，h′（x）＝1﹣cosx+sinx＞0，所以h（x）在[0，）上单调递增，所以h（x）≥h（0）＝0，所以f（x）≥g（x），当x≥时，h（x）＝x+1﹣sin（x+）≥+1﹣＞0，所以f（x）≥g（x）．综上所述，当a＝1时，不等式f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立．（Ⅱ）令t（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax+1﹣sinx﹣cosx，x≥﹣，则t′（x）＝a﹣cosx+sinx，（1）当x≥0时，由题意得t（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，因为t（0）＝0，所以t′（0）＝a﹣1≥0，所以a≥1，当a≥1时，由（Ⅰ）得t（x）＝ax+1﹣sinx﹣cosx≥x+1﹣sinx﹣cosx≥0，所以当t≥0在[0，+∞）上恒成立时a≥1；（2）当﹣≤x＜0时，由题意得t（x）≥0在[﹣，0）上恒成立，因为t（0）＝0，所以t′（0）＝a﹣1≤0，所以a≤1，当a≤1时，t（x）＝ax+1﹣sinx﹣cosx≥x+1﹣sinx﹣cosx，由（Ⅰ）得h′（x）＝1﹣cosx+sinx＝1+sin（x﹣）＜0，所以h（x）在[﹣，0）上单调递减，所以h（x）≥h（0）＝0，所以t（x）≥0，所以当t（x）≥0在[﹣，0）上恒成立时a≤1．综上所述，实数a的取值集合为{1}．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是点A，B，直线l：x＝与