2023-2024学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2023-2024学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷一、单选题（每题3分，共24分）1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）现有两根长度分别这3cm和6cm的木棒，若要钉成一个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（）A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm4．（3分）三角形的下列线中，能将三角形分成面积相等的两部分的是（）A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线5．（3分）如图所示，已知△ABC的五个元素，右侧甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙6．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A'的坐标为（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）7．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD＝（）A．45° B．50° C．40° D．55°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（每题3分，共24分）9．（3分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为．10．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则该三角形的周长是．11．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是．12．（3分）如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为°．13．（3分）如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，则DE＝cm．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，EF为AC的中垂线，若EC＝7，则BE的长为．15．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是．16．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为．三、解答题（共52分）17．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上的点．尺规作图：过点D作DE∥BC，与边AC交于点E．（保留作图痕迹）18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠DAE＝40°，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，求∠ACB的度数．19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2）、B（2，﹣4）、C（4，﹣1）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）在x轴上画一点P，使PA+PC最小．20．（5分）如图：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高．求证：AB+BD＝DC．21．（6分）如图，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．请你补全下述证明过程：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△DBE和Rt△DCF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF．（）∴DE＝DF．∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC．∴AD平分∠BAC．（）22．（6分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，CD∥AB，求证：CD＝AB．23．（6分）如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE．（1）求证：BC＝DB；（2）若BD＝8cm，求AC的长．24．（6分）如图1和2，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，（1）过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：△BDE为等腰三角形；（2）若AB＝AC，AF⊥BD，∠ACD＝∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．25．（8分）如图1所示，已知点P（3，﹣3），有以点P为顶点的直角的两边分别与x轴、y轴相交于点M、N．（1）试说明PM＝PN；（2）若点M坐标为（m，0），点N坐标为（0，n），请直接写出m与n之间的数量关系；（3）如图2所示，过点P作线段AB，交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，使得点P为AB中点，且OA＝OB，绕着顶点P旋转直角∠MPN，使得一边交x轴正半轴于点M，另一边交y轴正半轴于点N，此时，PM和PN是否还相等，请说明理由；（4）在（3）条件下，请直接写出S△PBN﹣S△PAM的值．26．（3分）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）A．12米 B．16米 C．18米 D．20米27．（3分）在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从（0，2）出发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2023次碰到长方形的边时，点P2023的坐标为．28．（8分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．29．（6分）新定义：如图1和图2中，点P是平面内一点，如果或，称点P是线段AB的友好点．（1）如图3，Rt△DEF中，∠E＝90°，∠D＝30°，问：点F是否是线段DE的友好点？请说明理由；（2）如图4，Rt△DEF中，∠DEF＝90°，F是线段DE的友好点（DF＞DE），FH是Rt△DEF的角平分线，求证：点H是线段DE上的友好点．

2023-2024学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题3分，共24分）1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．2．（3分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，故选：B．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．3．（3分）现有两根长度分别这3cm和6cm的木棒，若要钉成一个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（）A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．【解答】解：设第三根木棒长为xcm，则6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，∴四个选项中，第三根木棒长可以为5cm，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键．4．（3分）三角形的下列线中，能将三角形分成面积相等的两部分的是（）A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线【分析】根据三角形中线的性质可求解．【解答】解：三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积，三角形的中线，高线，角平分线，垂直平分线，根据三角形中线的性质可判定求解．5．（3分）如图所示，已知△ABC的五个元素，右侧甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【分析】根据三角形全等的判定定理即可进行解答．【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；故选：B．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是在熟练掌握三角形全等的判定定理．6．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A'的坐标为（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）【分析】利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣3，2）关于x轴的对称点为A′，∴A′点的坐标为：（﹣3，﹣2）．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．7．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD＝（）A．45° B．50° C．40° D．55°【分析】由翻折的性质可知∠AFE＝∠EFD，在Rt△EDC中，由三角形内角和求解即可．【解答】解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．∵ED⊥BC，∴△EDC为直角三角形，∴∠FDB＝30°，∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，∴∠EFD＝45°．故选：A．【点评】本题主要考查是翻折的性质，关键是根据等边三角形的性质和翻折的性质解答．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，证△ACM≌△BCN，推出AM＝BN，即可解决问题．【解答】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，则∠CMA＝∠CNB＝90°，∵C（5，5），∴CN＝CM＝5，∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°，∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠MCN，∴∠ACM＝∠BCN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（ASA），∴AM＝BN，∴OA+OB＝OA+0N+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝4+4＝8．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质和判定，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）9．（3分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为7．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）×180°＝900°，解得：n＝7，∴这个多边形的边数为7．故答案为：7．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．10．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则该三角形的周长是12．【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．11．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是5．【分析】根据三角形的中线将三角形面积分为相等的两部分可知，S△ABC＝2S△ADC，S△ADC＝2S△AEC，根据△ABC的面积是20解答即可．【解答】解：∵△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，∴AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，∴S△ABC＝2S△ADC，S△ADC＝2S△AEC，∴S△ABC＝4S△AEC，∵△ABC的面积是20，∴△AEC的面积为5，即阴影部分的面积是5．故答案为：5．【点评】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．12．（3分）如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为270°．【分析】由三角形的内角和定理求解∠A+∠B＝90°，再结合四边形的内角和定理可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故答案为：270．【点评】本题考查的是三角形的内角和定理与四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和与四边形的内角和是解本题的关键．13．（3分）如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，则DE＝3cm．【分析】全等得到BC＝BD，AB＝BE，即可得解．【解答】解：∵△ABD≌△EBC，∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝6cm，∴DE＝BD﹣BE＝3cm；故答案为：3．【点评】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，EF为AC的中垂线，若EC＝7，则BE的长为3．【分析】根据中垂线的性质可得AE＝EC＝7，最后计算BE＝AB﹣AE即可．【解答】解：∵EF为AC的中垂线，∴AE＝EC＝7，∵AB＝10，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣7＝3，故答案为：3．【点评】本题考查中垂线的性质，较简单，熟记性质是关键．15．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．【分析】由图可得，固定窗钩BC即，是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．故应填：三角形的稳定性．【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．16．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为3．【分析】以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE，先证出△ABE≌△ACO，根据全等三角形的性质可得BE＝OC，再根据垂线段最短可得当BE⊥x轴，BE的值最小，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【解答】解：如图，以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE，∴OA＝EA＝OE，∠OAE＝∠AOE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC﹣∠OAB＝60°﹣∠OAB＝∠OAE﹣∠OAB，即∠OAC＝∠EAB，在△ABE和△ACO中，，∴△ABE≌△ACO（SAS），∴BE＝OC，由垂线段最短可知，当BE⊥x轴，BE的值最小，∵点A的坐标是（0，6），∴OA＝6，∴OE＝6，又∵∠AOE＝60°，∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，则在Rt△BOE中，，所以在运动过程中，OC的最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．三、解答题（共52分）17．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上的点．尺规作图：过点D作DE∥BC，与边AC交于点E．（保留作图痕迹）【分析】以D为顶点，DA为一边，作∠ADE＝∠B，DE即为所求．【解答】解：以D为顶点，DA为一边，作∠ADE＝∠B，如图：DE即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法．18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠DAE＝40°，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，求∠ACB的度数．【分析】由AD⊥BC，可得出∠ADB＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠BAD的度，将其代入∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE中，可求出∠BAE的度数，由AE平分∠BAC，利用角平分线的定义，可求出∠BAC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠ACB的度数．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝60°﹣40°＝20°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×20°＝40°．在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2）、B（2，﹣4）、C（4，﹣1）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）在x轴上画一点P，使PA+PC最小．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置．【解答】解：（1）如图所示，∵B（2，﹣4）关于y轴对称的点B1（﹣2，﹣4），C（4，﹣1）关于y轴对称的点C1（﹣4，﹣1），∴连接AC1，AB1，B1C1，∴△AB1C1，即为所求，B1（﹣2，﹣4）；（2）如图所示，找点A关于x轴对称点D，连接CD交x轴于点P，∴PA＝PD，∴PA+PC＝PD+PC，即点D，P，C三点共线，∵两点之间线段最短，∴点P即为所求．【点评】此题考查了作图—轴对称，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质及两点之间线段最短．20．（5分）如图：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高．求证：AB+BD＝DC．【分析】先在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，利用∠B＝2∠C，求证△ACE是等腰三角形，然后利用等量代换即可求证结论．【解答】证明：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，∵AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠C＝2∠C﹣∠C＝∠C，∴AE＝CE，∴CE＝AE＝AB，∴DC＝DE+CE＝AB+BD，∴AB+BD＝DC．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，这也是此题的突破点．21．（6分）如图，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．请你补全下述证明过程：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△DBE和Rt△DCF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF．（HL）∴DE＝DF．∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC．∴AD平分∠BAC．（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）【分析】由DE⊥AB，DF⊥AC，得∠BED＝∠CFD＝90°即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△DBE≌Rt△DCF，得DE＝DF，再根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”证明AD平分∠BAC，于是得到问题的答案．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BED＝∠CFD＝90°在Rt△DBE和Rt△DCF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝DF，∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．故答案为：BE，CF，HL，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上等知识，证明Rt△DBE≌Rt△DCF是解题的关键．22．（6分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，CD∥AB，求证：CD＝AB．【分析】证明△CFD≌△BEA即可作答．【解答】证明：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，∴CF＝BE，又∵∠CFD＝∠BEA，∴△CFD≌△BEA（AAS），∴CD＝AB．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确全等三角形的判定是解答本题的关键．23．（6分）如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE．（1）求证：BC＝DB；（2）若BD＝8cm，求AC的长．【分析】（1）由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝BC；（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，得到AC＝BE，由E是BC的中点，得到BE＝．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴BD＝BC；（2）∵△ABC≌△EDB，∴AC＝BE，∵E是BC的中点，BD＝8cm，∴BE＝cm．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．24．（6分）如图1和2，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，（1）过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：△BDE为等腰三角形；（2）若AB＝AC，AF⊥BD，∠ACD＝∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠BDE＝∠DEB，可证得结论；（2）延长CD到M，使得CM＝BD，连接AM，过点A作AN⊥CM于点N，则△ABD≌△ACM，根据全等三角形的性质可得出AD＝AM，∠ADB＝∠AMC，利用全等三角形的判定定理AAS可证出△ADF≌△ADN，根据全等三角形的性质可得出DF＝DN＝MN，再结合BD＝CM即可找出BF＝CD+DF．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝∠ABE，∴BD＝ED，∴△DBE为等腰三角形；（2）解：在图2中，延长CD到M，使得CM＝BD，连接AM，过点A作AN⊥CM于点N，∵BE平分∠ABC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACM＝∠ABD．在△ABD和△ACM中，，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴AD＝AM，∠ADB＝∠AMC，∴∠AMD＝∠ADM，∴∠ADF＝ADN．∵AN⊥DM，∴DN＝MN．在△ADF和△ADN中，，∴△ADF≌△ADN（AAS），∴DF＝DN＝MN．∵BD＝CM，∴BF＝BC﹣DF＝CM﹣MN＝CN＝CD+DN＝CD+DF．即BF＝CD+DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（8分）如图1所示，已知点P（3，﹣3），有以点P为顶点的直角的两边分别与x轴、y轴相交于点M、N．（1）试说明PM＝PN；（2）若点M坐标为（m，0），点N坐标为（0，n），请直接写出m与n之间的数量关系；（3）如图2所示，过点P作线段AB，交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，使得点P为AB中点，且OA＝OB，绕着顶点P旋转直角∠MPN，使得一边交x轴正半轴于点M，另一边交y轴正半轴于点N，此时，PM和PN是否还相等，请说明理由；（4）在（3）条件下，请直接写出S△PBN﹣S△PAM的值．【分析】（1）过点P作PG⊥x轴于点G，PH⊥y轴于点H，证明△PGM≌△PHN，根据全等三角形的性质证明结论；（2）根据△PGM≌△PHN得到GM＝HN，根据坐标与图形性质解答即可；（3）连接OP，证明△PON≌△PAM，根据全等三角形的性质证明即可；（4）根据全等三角形的性质得到S△PAM＝S△PON，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，PH⊥y轴于点H，则四边形OHPG为矩形，∵点P的坐标为（3，﹣3），∴PG＝PH＝3，∴矩形OHPG为正方形，∴∠GPH＝90°，∵∠MPN＝∠GPH＝90°，∴∠GPM＝∠HPN，在△PGM和△PHN中，，∴△PGM≌△PHN（ASA），∴PM＝PN；（2）解：∵△PGM≌△PHN，∴GM＝HN，即3﹣m＝﹣3﹣n，整理得：m﹣n＝6；（3）解：PM＝PN，理由如下：如图2，连接OP，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，P为AB的中点，∴OP⊥AB，∠BOP＝∠POA＝45°，OP＝AB＝PA，∴∠PON＝∠PAM＝135°，∵∠OPA＝∠MPN＝90°，∴∠OPN＝∠APM，在△PON和△PAM中，，∴△PON≌△PAM（ASA），∴PM＝PN；（4）解：∵点P的坐标为（3，﹣3），∴OP＝＝3＝BP，∴S△OPB＝×3×3＝9，∵△PON≌△PAM，∴S△PBN﹣S△PAM＝S△PBN﹣S△PON＝S△OPB＝9．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．（3分）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）A．12米 B．16米 C．18米 D．20米【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多