辽宁省大连市庄河市20242024学年高三数学上学期12月月考试题A卷

Page5辽宁省庄河市2024-2025学年度第一学期12月月考高三数学A一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则A． B． C． D．2．江宁为“六代豪华”之地、“十朝京畿”要地，享有“天下望县、国中首善之地”的美誉．江宁区的漂亮乡村示范区依据“一村一品、一村一景、一村一业、一村一韵”要求，打造了十大漂亮乡村，其中黄龙规村、大塘金村、周村、石塘村全国出名．现支配甲、乙、丙、丁、戊5名同学前往以上四个村考察乡村文化，每一位同学只去一个村，每个村至少去一人，则全部的支配方案总数为（

）A．96 B．480 C．240 D．1203．设、为锐角，，，则为（

）A． B． C．或 D．以上都不对4．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的全部零点之和为A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a5．李雷和韩梅梅两人都支配在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有A．16种 B．18种 C．20种 D．24种6．已知定义在上的函数在上是增函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是．A． B．C． D．7．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知数列满意，则A．当时，则 B．当时，则C．当时，则 D．当时，则二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的是（

）A．为了更好地开展创文创卫工作，须要对在校中小学生参与社会实践活动的意向进行调查，拟采纳分层抽样的方法从该地区ABCD四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知ABCD四校人数之比为7∶4∶3∶6，则应从B校中抽取的样本数量为80B．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6C．已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回来方程是，且由样本数据算得，则D．箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事务M={第一次取到红球}，N={其次次取到白球}，则M、N为相互独立事务10．悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）匀称、松软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形态，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在匀称引力作用下下垂相像而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为（，其中a为非零常数，e为自然对数的底数）．当a＝1时，记，则下列说法正确的是（

）A．B．是周期函数C．的导函数是奇函数D．在上单调递减11．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中随意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧围成的球面图形称为球面△ABC.已知R为地球半径，N为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（

）A．若P，Q在赤道上，且，则三棱锥O-NPQ的体积为B．若P，Q在赤道上，且，则球面△NPQ的面积为C．若，则球面△NPQ的面积为D．若，则由球面△NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所围成的几何体的体积为12．已知函数，若正实数满意，则下列说法正确的是（

）A．在函数上存在点，使得函数过该点的切线与只有一个交点B．过点可作两条切线与函数相切C．D．的值与2的关系不确定三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．由正整数组成的数列，分别为递增的等差数列、等比数列，，记，若存在正整数（）满意，，则__________．14．已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满意，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作.已知，，则__________．15．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，则三棱柱的外接球的体积为___________．16．若对随意正实数x，y，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量，，其中（1）若，求函数的最小值及相应的的值；（2）若与的夹角为，且，求的值．18．已知等差数列满意：，的前项和为.（1）求及；（2）令，求数列的前项和.19．如图，直三棱柱的底面是正三角形，分别是的中点.证明：（1）平面平面；（2）平面平面.20．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：0.250.51241612521（1）依据散点图推断,哪一个相宜作为关于的回来方程类型？（给出推断即可，不必说明理由）（2）依据（1）的推断结果试建立与之间的回来方程．（留意或计算结果保留整数）（3）由（2）中所得设z=+且，试求z的最小值．参考数据及公式如下：，，21．已知动圆既与圆：外切，又与圆：内切，求动圆的圆心的轨迹方程.22．已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;(2)当时,试问曲线与直线是否有公共点?假如有,求出全部公共点;若没有,请说明理由.参考答案1．A整理复数成，实部与虚部相等列方程求解．由题可知==，又复数实部与虚部相等，所以，故选A．本题考查了复数学问及复数运算，利用复数相关学问列方程求解．2．C先5人分成4组，其中一组2人，再安排到4个不同的村子即可.依据题意，5个同学分4组，其中一组有2名同学，共有种不同的分组方法，再支配4组同学去4个不同的村子，共有种不同的支配方法，由分步乘法计数原理可得，故选：C.3．A利用sin2α+cos2α＝1可求得cosα，同理可求得cosβ，再由两角和与差的余弦函数求得α+β的余弦，从而可求得α+β．、为锐角，且，，∴，，∴，又、为锐角，所以，∴．故选A本题考查sin2α+cos2α＝1的应用，考查两角和与差的余弦，考查运算实力，属于中档题．4．B试题分析：利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）=，x≥0时，f（x）=，画出图象，依据对称性得出零点的值满意x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，依据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选B考点：函数的零点与方程根的关系．5．C分析：依据分类计数原理，“东亚文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，随意相邻两天组合一起，一共有6种状况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分两种状况探讨即可．详情：随意相邻两天组合一起，一共有6种状况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×（4+6）=20，故答案为C点睛：本题主要考查计数原理，意在考查计数原理等基础学问的驾驭实力和分类探讨思想的运用实力.6．C依据是奇函数，确定函数图象的对称中心为，再依据函数在上是增函数，确定函数在上为增函数，由以及函数的对称性，得出.画出函数图象的草图，结合图象确定不等式的解集.是奇函数.函数图象的对称中心为．函数图象的对称中心为且．又函数在上是增函数.函数在上为增函数..由对称性，．画出函数图象的草图（如图）．结合图象可得的解集是．故选C．本题考查函数的单调性与奇偶性及其简洁应用，发展了学生的直观想象的核心素养，属于中档题.7．C依据平面对量的数量积运算得出的关系，代入椭圆方程，整理得出关于的方程，利用方程有解可建立关系求解.由题可知，设，，则，，，，代入椭圆，可得有解，令，，，，且对称轴满意，即，，，又，.故选：C.8．C依次推断每个选项的正误，得到答案.即当时，，故，A错误当时，，故，B错误对于D选项，当时，，，D错误用数学归纳法证明选项C易知恒成立当时，，成立假设当时成立，，即当时：即

成立故恒成立，得证故答案选C本题考查了数列的单调性，数学归纳法，综合性强，技巧高，意在考查学生对于数学学问，方法，性质的敏捷运用.9．ABC利用抽样比即可推断从B校中抽取的样本数量；利用对立事务及古典概型即可得到至少取到1件次品的概率；依据线性回来直线必过样本中心点，可得的值；依据相互独立的定义即可作出推断.A.由分层抽样，应抽取人数为，A正确；B.至少取到1件次品的概率为，B正确；C.∵回来直线必过中心点，C正确；D.由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此M、N不是相互独立事务.故选：ABC10．ACD，代入法推断选项A中是否成立；依据函数的周期性定义推断选项B；依据函数奇偶性性定义推断选项C；利用导函数推断选项D，对于A：，故A正确；对于B：，不存在非零常数T，使成立，故B错误；对于C：的定义域为R，，满意，所以是奇函数，故C正确；对于D：当时，，所以在上单调递减，故D正确．故选：ACD．11．ABC依据题意画出图形，证明两两垂直，结合三棱锥的体积公式和球的表面积公式计算即可推断A、B；由构造正四面体，利用等体积法和余弦公式求出，结合对称性即可推断C；依据选项C的分析，结合球和三棱锥的体积公式，利用间接法即可求出几何体的体积，进而推断D.如图1，因为，所以，则，又赤道所在平面，所以两两垂直，则三棱锥的体积，故A正确；当时，，则球面的面积为，故B正确；如图2，当时，为正三角形，构造球内接正四面体，其中心为O，连接NO交SPQ于H，则NO=R，OH为正四面体内切球的半径，由等体积法可得，，则，在中，由余弦定理可得，即，得，由对称性可得，球面的面积为，故C正确；如图3，结合选项C的分析可知，则，，所在的截面将球分为大半球、小半球两部分，其中大半球的体积为，在中，由余弦定理得，，得，则，有，所以题意中构成几何体的体积为，故D错误.故选：ABC.12．AC求出在点处的切线，设，由导数推断其单调性，探讨函数的零点即可推断选项A；求出在点处的切线将和、代入，构造函数推断方程有无实根即可推断选项B；求出的单调性，构造函数，证明，即，即，依据的单调性可得出结论，可推断选项C和D，进而可得正确选项.对于选项A：的定义域为，设点处切线为，则切线为，设，所以，由可得：；由可得：，所以在单调递减，在单调递增，令则，可得在单调递增，而，所以在上只有一个零点，故选项A正确；对于选项B：设点则切线为，若切线过点，可得，即，令，则，由可得：；由可得：，所以在单调递减，在单调递增，，所以无解，所以不存在过点的切线，故选项B不正确；对于选项C和D：，所以可得在单调递增，由，，设，记，（），则，所以在单调递增，因为，，所以，即即，即，依据在单调递增，可得，所以，故选项C正确，选项D不正确，故选：AC.求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点，（2）求出在处导数，即在点处的切线斜率；（3）构建关系，解得；（4）由点斜式求得切线方程.13．262依据条件列出不等式进行分析，确定公比、、的范围后再综合推断.设等比数列公比为，等差数列公差为，因为，，所以；又因为，分别为递增的等差数列、等比数列，所以且；又时明显不成立，所以，则，即；因为，，所以；因为，所以；由可知：，则，；又，所以，则有依据可解得符合条件的解有：或；当时，，解得不符，当时，解得，符合条件；则.本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.依据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参变的取值范围，然后再去确定符合的解，肯定要留意带回到原题中验证，看是否满意.14．依据新定义结合向量数量积的坐标表示，可得结果.则由，则故答案为：本题考查对新定义的理解，还考查向量数量积的坐标表示，属基础题.15．先取两底面三角形的外心、，进而确定三棱柱的外接球的球心位置，再利用正弦定理和直角三角形求外接球的半径，再利用球的体积公式求其体积.分别取两底面三角形的外心、，连接，取的中点，连接、，则是三棱柱的外接球的球心，是外接球的半径.在中，利用正弦定理，得，即，在中，，则，所以外接球的体积为..故答案为：.16．可将已知不等式化为，设，令，转为求函数的最大值即可.对随意正实数x，y，不等式恒成立，即对随意正实数x，y，不等式恒成立．设，令，，由和在上单调递减，所以在上单调递减，又，当时，，时，，所以在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以在处取得极大值，且为最大值，则，即实数a的取值范围是．故答案为：17．（1）的最小值为，相应的的值为；（2）．（1）依据数量积公式可得，令，依据协助角公式将其化简变形可得的范围．由二次函数配方法可求得其最值．（2）依据与的夹角为，，由数量积公式可求得且，从而可得的值．解：（1）因为、且，所以．令，因为，由，所以，所以，则，因为，所以，．当时，，此时，即，，，得，即．的最小值为，相应的的值为．（2）由已知，，，，所以．由，得，即，即，即，由，得，，即，得，；18．（1），；（2）.（1）设等差数列的公差为，依据题中条件列出等式，即可解出和，从而求出的通项公式和前项和；（2）先求出的通项公式，然后利用裂项相消法求和即可.（1）设等差数列的公差为，则由，所以，，即，；（2）结合（1）可知，所以数列的前项和.本题考查求等差数列的通项公式及其前项和，考查裂项相消法求和，难度不大.利用裂项相消法求和时要留意是邻项相消还是隔项相消.19．（1）见解析

（2）见解析（1）依据直三棱柱的性质得到，依据等边三角形的性质得到，再依据面面垂直的判定得到平面平面.（2）连接，依据三角形中位线性质得到，从而得到平面.依据三棱柱的性质得到，从而得到平面.再依据面面平行的判定得到平面平面.证明：（1）因为三棱柱直三棱柱，所以.又是正三角形的边的中点，所以，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）连接