辽宁省大连市2025届高三数学上学期第三次模拟考试试题文含解析

PAGE19-辽宁省大连市2025届高三数学上学期第三次模拟考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合M和集合N,取交集即可得答案.【详解】=,,则=,故选C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.设函数，则的值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为时，所以；又时，，所以故选A.本题考查分段函数的意义,函数值的运算.3.给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【详解】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C．4.设等比数列的公比，前n项和为，则（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【详解】,选A.5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图推知，几何体是下部是圆柱，上部是圆锥组成，依据数据求体积即可．【详解】解：几何体是一个组合体，下部底面半径为1，高为2的圆柱；上部是圆锥，其底面半径为1，母线为．该几何体的体积：故选：C．【点睛】本题考查三视图、组合体的体积；考查简洁几何体的三视图的运用；培育同学们的空间想象实力和基本的运算实力；属于基础题．6.函数的最小值和最大值分别为()A. B. C. D.【答案】C【解析】2.∴当时，，当时，，故选C.7.下列程序运行结果是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】依据已知中的伪代码可知，该程序的功能是利用直到型循环计算s，i，j并输出满意条件的j的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得，，满意条件，执行循环体，，，满意条件，执行循环体，，，满意条件，执行循环体，，，满意条件，执行循环体，，，满意条件，执行循环体，，，此时，不满意条件，退出循环，输出j的值为5．故选：B．【点睛】本题考查的学问点是循环结构和伪代码，当程序的运行次数不多时，我们多采纳模拟程序运行结果的方法进行解答．8.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形态颜色不全相同的概率为()第8题A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】基本领件的总数为中，三个形态颜色全相同为两种，三个形态颜色不全相同共6种，所以三个形态颜色不全相同的概率为，故选A.9.已知扇形OAB的半径为2，圆心角为，点C是弧AB的中点，，则的值为（）A.3 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】可以画出图形，连接OC，从而据题意得出，然后可得出，进行数量积的运算即可．【详解】解：如图，连接CO，点C是弧AB的中点，，且，，，．故选：C．【点睛】本题考查了向量垂直的充要条件，连接弧的中点和圆心的连线与弧所对应的弦垂直，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算实力，属于基础题．10.在实数的原有运算法则中，我们补充新运算“”，定义如下，当时，；当时，，则函数的最大值等于（“·”和“-”仍为通常的乘法和减法）A.-1 B.1 C.12 D.6【答案】D【解析】【详解】因为，所以，易知函数再上单调递增，所以，故选D.11.数列的，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为数列的，且，运用累积法可知=—100，选D.12.已知抛物线的焦点为F，以点为圆心，为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M，N两点，则等于（）A.8 B.18 C. D.4【答案】A【解析】【分析】设，依据抛物线方程可求得准线方程和焦点坐标，进而求得PF的长得到圆的方程，与抛物线方程联立消去y，依据韦达定理求得的值，再依据抛物线性质可知求得答案．【详解】解：设，依据抛物线方程可知，焦点坐标圆的方程为与抛物线方程联立消去y得，依据抛物线性质可知故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的性质和抛物线与圆的关系．解题的关键是敏捷利用抛物线关于抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离的性质．二、填空题（本大题共4小题）13.设变量x，y满意条件，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查线性规划的基本学问，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．【详解】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令，明显当平行直线过点时，z取得最小值为；故答案为：．【点睛】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14.已知数据，，，，的平均数为3，标准差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为______．【答案】14;400【解析】【分析】依据标准差的概念计算．先表示出数据、、、、的平均数，方差；然后表示新数据的平均数和方差，通过代数式的变形即可求得新数据的平均数和方差．【详解】解：由题意知，原数据的平均数方差另一组数据的平均数；方差，故答案为：14；400．【点睛】本题考查的是标准差的计算．计算标准差须要先算出方差，计算方差的步骤是：计算数据的平均数；计算偏差，即每个数据与平均数的差；计算偏差的平方和；偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；留意标差和方差一样都是非负数．15.已知数列的前项n和为，且满意，则______．【答案】【解析】【分析】依据题意，由数列的前n项和公式可得时，有，当时，有，综合两种状况即可得答案．【详解】解：依据题意，数列满意，当时，有，当时，有，不符合，故；故答案为：．【点睛】本题考查数列的前n项和与通项公式的关系，涉及数列通项公式的求法，属于基础题．16.已知函数，c为常数，当时，函数取得极值，若函数只有一个零点，则实数c的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题意可得可求b，代入后结合导数与单调性的关系即可求解．【详解】解：，，当时，函数取得极值，，即，，当，时，，函数单调递增，当2时，，函数单调递减，若函数只有一个零点，则或，或故实数c的取值范围为．故而答案：．【点睛】本题考查利用导数探讨函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题）17.已知函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）当，且时，的值域是，求，的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，利用降幂公式，和协助角公式化简函数，再求函数的单调递增区间；（2）类似于（1）的化简，先求的范围，再求的范围，再用表示函数的最值，列方程组求解.【详解】（1）当时，.由得：，所以的单调递增区间为；（2）因为，，所以，，又的值域是，所以，【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用，属于基础题型，本题的关键是娴熟驾驭降幂公式和协助角公式.18.如图，已知矩形ABCD中，，，将矩形沿对角线BD把折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．1求证：；2求证：平面平面；3求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）．【解析】【分析】1证明，结合，推出平面，得到；2说明由Ⅰ知，推出平面，然后证明平面平面；3利用转化求解即可．【详解】证明：1在平面BCD上的射影O在CD上，平面BCD，又平面BCD，，又，，平面,平面平面，又平面，，2为矩形，由1知，，平面,平面平面，又平面，平面平面．3解：平面，，，，，．【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象实力以及计算实力，属于中档题．19.已知函数．若1，2，，1，2，，求方程恰有两个不相等的实根的概率；若，，求方程没有实根的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】先把基本领件列出来，再找出符合条件的个数即可求解；依据条件画出总区域以及符合条件的区域，依据其面积比即可求解．【详解】解：若1，2，，1，2，，共有如下16种状况：，，，，，，，，，，，，，，方程恰有两个不相等的实根，，，可得且满意的有，，，共4种，所以方程恰有两个不相等的实根的概率；若，，方程没有实根，，符合几何概型，所以方程没有实根概率．【点睛】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形态和位置无关．解决的步骤均为：求出满意条件A的基本领件对应的“几何度量”，再求出总的基本领件对应的“几何度量”N，最终依据求解．20.已知函数．是否存在实数a，使得在上为单调减函数，若存在求出a的值，若不存在，请说明理由．若函数的图象在处的切线平行于x轴，对随意的，都有成立，求的取值范围．【答案】（1）存在，（2）．【解析】【分析】使得上为单调减函数，推出，求出函数的最大值即可．函数图象在处的切线平行于x轴，求出a，化为，即设，，利用函数的导数，推断函数的单调性求解函数的最值即可．【详解】解：使得上为单调减函数，可得

，函数在递减，所以当时最大值等于，所以，函数的图象在处的切线平行于x轴，，因为所以，即设，，单调递增，，单调递减；所以在上的最大值为，所以，．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及切线方程的应用，考查转化思想以及计算实力，属于难题．21.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线的焦点．若过点的直线斜率不等于零与椭圆交于不同的两点E、在B、F之间，求椭圆的标准方程；求直线l斜率的取值范围；若与面积之比为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】由题意离心率和椭圆的短轴上的顶点坐标，及之间的关系可得椭圆的标准方程；设直线方程与椭圆联立，用判别式大于零得有两个交点时的斜率的范围；面积之比高相同即是的比，用横坐标的关系得出的取值范围．【详解】解：设椭圆的方程为，则

，抛物线的焦点为

由解得，椭圆的标准方程为；如图，由题意知l斜率存在且不为0，设l

方程为，将代入

整理得：，由

得，；设，，则

令，则，由此可得

，且，，即，，，解得

又，，与面积之比的取值范围是．【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22.以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M点为圆心，4为半径．求直线l和圆C的极坐标方程；直线l与x轴y轴分别交于A，B两点，Q为圆C上一动点，求面积的最小值．【答案】（1）．．（2）．【解析】【分析】先求出直线l的直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程，先求出圆C的直角坐标方程，由此能求出圆C的极坐标方程．直线l与x轴交与，直线l与y轴交于，，圆心到直线l的距离为，由此能求出面积的最小值．【详解】解：点P的直角坐标为，直线l过点P，且倾斜角为，直线l的直角坐标方程为，即，直线l的极坐标方程为：．点M的极坐标为，的直角坐标为，圆C以M点为圆心，4为半径，圆C的直角坐标方程为，即，圆C的极坐标方程为：，即．直线l与x轴交与，直线l与y轴交于，，圆心到直线l的距离为，面积的最小值为：．【点睛】本题考查极坐标方程、三角形面积的最小值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础学问，考