艺术生专用2025版高考数学总复习第六章不等式推理与证明第1节不等关系与不等式课时冲关

PAGEPAGE1第1节不等关系与不等式1．设a，b∈R，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[a＞1且b＞1⇒ab＞1；但ab＞1，则a＞1且b＞1不肯定成立，如a＝－2，b＝－2时，ab＝4＞1.故选A.]2．(2024·衡阳市一模)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是()A．ac2＜bc2 B.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C.eq\f(b,a)＞eq\f(a,b) D．a2＞ab＞b2解析：D[当c＝0时，ac2＝bc2，故选项A不成立；eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，∵a＜b＜0，∴b－a＞0，ab＞0，∴eq\f(b－a,ab)＞0，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故选项B不成立；∵a＜b＜0，∴取a＝－2，b＝－1，则eq\f(b,a)＝eq\f(－1,－2)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，∴此时eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，故选项C不成立；∵a＜b＜0，∴a2－ab＝a(a－b)＞0，∴a2＞ab.∴ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2.故选项D正确．]3．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)，q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是()A．p≥q B．p>qC．p<q D．p≤q解析：A[p＝a＋eq\f(1,a－2)＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．所以p≥q.]4．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论正确的是()A．a2＞b2 B．1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))aC.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＜2 D．aeb＞bea解析：D[由题意，b＜a＜0，则a2＜b2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＞1，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2，∵b＜a＜0，∴ea＞eb＞0，－b＞－a＞0∴－bea＞－aeb，∴aeb＞bea.]5．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：D[法一：(取特别值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．]6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的________条件．解析：∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分条件；而x2＋y2≥4不肯定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故“x≥2且y≥2”不是“x2＋y2≥4”的必要条件．∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(2024·邯郸市质检)对于实数a，b，c有下列命题：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)；⑤若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a>0，b<0.其中是真命题的是________(写出全部真命题的序号)．解析：若c>0，则①不成立；由ac2>bc2，知c≠0，则a>b，②成立；由a<b<0，知a2>ab，ab>b2，即a2>ab>b2，③成立；由c>a>b>0，得0<c－a<c－b，故eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)，④成立；若a>b，eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，则ab<0，故a>0，b<0，⑤成立．故全部的真命题为②③④⑤.答案：②③④⑤8．已知f(n)＝eq\r(n2＋1)－n，g(n)＝n－eq\r(n2－1)，φ(n)＝eq\f(1,2n)(n∈N*，n>2)，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是_____________________________________________________.解析：f(n)＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)<eq\f(1,2n)＝φ(n)，g(n)＝n－eq\r(n2－1)＝eq\f(1,n＋\r(n2－1))>eq\f(1,2n)＝φ(n)，∴f(n)<φ(n)<g(n)．答案：f(n)<φ(n)<g(n)9．已知12＜a＜60,15＜b＜36，求a－b，eq\f(a,b)的取值范围．解：∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15.又12＜a＜60，∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45，即a－b的取值范围是(－24,45)．∵eq\f(1,36)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,15)，∴eq\f(12,36)＜eq\f(a,b)＜eq\f(60,15)，∴eq\f(1,3)＜eq\f(a,b)＜4，即eq\f(a,b)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4)).10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“假如领队买一张全票，其余人可享受7.5折实惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折实惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试依据单位去的人数比较两车队的收费哪家更实惠．解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.所以y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq