2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a2•a3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a53．（3分）若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．8或104．（3分）五边形的内角和为（）A．720° B．540° C．360° D．180°5．（3分）如图，△ABD≌△ECB，点E在BD上，若BC＝11，DE＝6，EC＝7，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（3分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D7．（3分）已知a2﹣5＝2a，则代数式（a﹣2）（a+3）﹣3（a﹣1）的值是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣88．（3分）已知x2﹣mx+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为（）A．3 B．±3 C．6 D．±69．（3分）如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是（）A．105° B．110° C．115° D．120°10．（3分）如图，锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，则下列结论：①∠BOC＝120°；②连接ED，则ED∥BC；③BC＝BE+CD；④若BO＝AC，则∠ABC＝40°．其中正确的结论是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．③④二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）若（x﹣2）0＝1，则x的取值范围是．12．（3分）若点A（m，n）与点B（3，2）关于x轴对称，则m+n的值为．13．（3分）等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是．14．（3分）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为．15．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝8，则BE的长为．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝6，则△ABC的周长是．17．（3分）如图，B、C、D在一直线上，△ABC和△ADE是等边三角形，若CE＝15，CD＝6，则AC＝．18．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD＝10，则CM+MN的最小值为．三、解答题（共46分，第19、25-26题各7分，第20、22-23题各5分，第21题4分，第24题6分）19．（7分）（1）计算：（﹣x2y）3•（﹣2xy3）2；（2）先化简，再求值：3a（a2﹣2a+1）﹣2a2（a﹣3），其中a＝2．20．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．作法：①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F；③作射线BF交AC于点P．则点P即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明证明：连接DF，FE在△BDF和△BEF中，，∴△BDF≌△BEF．∴∠ABF＝∠CBF（）（填推理的依据）．∵∠ACB＝90°，点P在AC上，∴PC⊥BC．作PQ⊥AB于点Q．∵点P在BF上，∴PC＝（）（填推理的依据）．21．（4分）如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F．求证：重叠部分（即△BDF）是等腰三角形．22．（5分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．23．（5分）如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AC＝BF．求证：AE＝EF．24．（6分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式；（2）解决问题：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．25．（7分）已知：△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连接AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP＝30°，作点A关于射线DP的对称点E，连接DE、CE．（1）当点D在线段BC上运动时，①依题意将图1补全；②请用等式表示线段AB、CE、CD之间的数量关系，并证明；（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系，不需证明．26．（7分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（4，0），C（0，4），给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一点，且AP与△BCP的一条边相等，则称P为△ABC的友爱点．（1）在P1（0，3），P2（﹣1，1），P3（﹣2，1）中，△ABC的友爱点是．（2）如图2，若P为△ABC内一点，且∠PAB＝∠PCB＝15°，求证：P为△ABC的友爱点；（3）直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的三个友爱点，直接写出m的取值范围是．

2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a2•a3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题．【解答】解：A．根据幂的乘方，得（a2）3＝a6，故A符合题意．B．根据同底数幂的乘法，得a2•a3＝a5，故B不符合题意．C．根据积的乘方，得（2a）3＝8a3，故C不符合题意．D．根据同底数幂的除法，得a10÷a2＝a8，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解决本题的关键．3．（3分）若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．8或10【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为4时，周长＝4+4+2＝10；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为4，这个三角形的周长是10．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．（3分）五边形的内角和为（）A．720° B．540° C．360° D．180°【分析】利用多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和定理的计算公式，理解公式是关键．5．（3分）如图，△ABD≌△ECB，点E在BD上，若BC＝11，DE＝6，EC＝7，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】欲求AD的长度，只需求得BE的长度即可．所以根据全等三角形的对应边相等推知AD＝BE，BD＝BC＝11，则AD＝BD﹣DE．【解答】解：∵△ABD≌△ECB，BC＝11，∴AD＝BE，BD＝BC＝11．又∵DE＝6，∴BE＝BD﹣DE＝5．∴AD＝BE＝5．故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应边．6．（3分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【分析】利用三角形内角和定理证明∠B＝∠D，再利用三角形的外角的性质判定B，C正确即可．【解答】解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A+∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选：D．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．7．（3分）已知a2﹣5＝2a，则代数式（a﹣2）（a+3）﹣3（a﹣1）的值是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、多项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝a2+3a﹣2a﹣6﹣（3a﹣3）＝a2+3a﹣2a﹣6﹣3a+3＝a2﹣2a﹣3，∵a2﹣5＝2a，∴a2﹣2a＝5，则原式＝5﹣3＝2，故选：A．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．8．（3分）已知x2﹣mx+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为（）A．3 B．±3 C．6 D．±6【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2﹣mx+9＝x2﹣mx+32是某个整式的平方的展开式，∴﹣m＝±6，解得：m＝±6．故选：D．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．（3分）如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是（）A．105° B．110° C．115° D．120°【分析】根据垂直平分线性质，∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．则有∠B+∠C+2∠DAE＝150°，即180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，再与∠BAC+∠DAE＝150°联立解方程组即可．【解答】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．∵∠BAC+∠DAE＝150°，①∴∠B+∠C+2∠DAE＝150°．∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，即∠BAC﹣2∠DAE＝30°．②由①②组成的方程组，解得∠BAC＝110°．故选：B．【点评】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到∠BAC和∠DAE的数量关系，难度中等．10．（3分）如图，锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，则下列结论：①∠BOC＝120°；②连接ED，则ED∥BC；③BC＝BE+CD；④若BO＝AC，则∠ABC＝40°．其中正确的结论是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．③④【分析】由角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠BOC的度数，进而判断①；当ED∥BC时，有∠EDB＝∠DBC＝∠EBD，∠DEC＝∠DCE＝∠ECB，可推出△ABC是等边三角形，而此时其不一定为等边三角形，据此可判断②；在BC上取一点F，使BF＝BE，证△EBO≌△FBO，进而推出∠FOC＝∠DOC＝60°，再证△OCF≌△OCD，得出FC＝DC．结合线段的和差即可判断③；过点B作BG⊥CE垂足为G，BG交CE的延长线于点G，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠G＝∠CHA＝90°，用“AAS”分别证△ACH≌△OBG、△BEG≌△CEH，推出EB＝EC，∠EBG＝∠ECH，设∠EBG＝∠ECH＝x，则有x+∠EBO＝30°，由全等三角形的对应角相等、等腰三角形的性质和角的和差列出关于x的方程，求出x，进而求出∠ABC的度数，即可判断④．【解答】解：①∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，∴∠OBC+∠OCB＝×120°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，故①正确；②连接ED，∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACE＝∠ECB，当ED∥BC时，∠EDB＝∠DBC＝∠EBD，∠DEC＝∠DCE＝∠ECB，∴ED＝EB＝DC．∵ED∥BC，∴．∴AE＝AD．∴AB＝AC．∴△ABC是等边三角形，而此时其不一定为等边三角形，故ED∥BC不成立．故②错误．③在BC上取一点F，使BF＝BE，如图1所示．在△EBO和△FBO中，，∴△EBO≌△FBO（SAS）．∴∠EOB＝∠FOB＝180°﹣∠BOC＝60°．∴∠FOC＝∠BOC﹣∠FOB＝∠DOC＝60°．在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌△OCD（ASA）．∴FC＝DC．又BE＝BF，∴BC＝BF+CF＝BE+CD．∴③正确．如图2，过点B作BG⊥CE垂足为G，BG交CE的延长线于点G，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠G＝∠CHA＝90°，∵∴∠EOB＝60°（已证），∴∠CAH＝∠BOG＝60°，∴∠ACH＝30°，在△ACH和△OBG中，，∴△ACH≌△OBG（AAS），∴BG＝CH，∠OBG＝∠ACH＝30°，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（AAS），∴EB＝EC，∠EBG＝∠ECH，即∠EBG+∠EBO＝30°∴∠EBC＝∠ECB＝∠ACB，设∠EBG＝∠ECH＝x，则有x+∠EBO＝30°，∵∠EBO＝∠EBC，∴x+∠EBC＝30°，即∠EBC＝60°﹣2x，∵∠ECB＝∠ACE＝∠ECH+∠ACH＝x+30°，∴60°﹣2x＝x+30°，∴x＝10°，∴∠EBC＝60°﹣2x＝40°，即∠ABC＝40°．∴④正确．∴正确的结论是①③④．故选：C．【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是作辅助线构建全等三角形，属于中考常考题型．二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）若（x﹣2）0＝1，则x的取值范围是x≠2．【分析】根据零指数幂的意义直接解答即可．【解答】解：∵（x﹣2）0＝1，∴x﹣2≠0，∴x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题主要考查零指数幂的意义，零指数幂：a0＝1（a≠0）．12．（3分）若点A（m，n）与点B（3，2）关于x轴对称，则m+n的值为1．【分析】根据点A（m，n）与点B（3，2）关于x轴对称，可知m＝3，n＝﹣2，代入m+n直接求值即可得到答案．【解答】解：∵点A（m，n）与点B（3，2）关于x轴对称，∴A（3，﹣2），∴m+n＝3﹣2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键．13．（3分）等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是50°或65°．【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．故答案为：50°或65°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．14．（3分）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为﹣2．【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．【解答】解：（x2+2x+4）（x+k）＝x3+2x2+4x+kx2+2kx+4k＝x3+（2+k）x2+（4+2k）x+4k，∵展开后不含有一次项，∴4+2k＝0，解得：k＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．15．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝8，则BE的长为4．【分析】根据等边对等角可得∠DAC＝40°，根据角的差可得∠BAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE的长．【解答】解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝40°，∵∠BAC＝70°，∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝×8＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，解本题的关键是根据等腰三角形的性质得出∠DAC＝40°．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝6，则△ABC的周长是12．【分析】由AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，根据三线合一的性质，可得BD＝CD，又由点C在AE的垂直平分线上，可得AC＝CE，继而可得AB＝CE，则可得△ABC的周长为2DE．【解答】解：∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，∴AB+BD＝AC+CD＝CE+CD＝DE，∵DE＝6，∴AB+BC+AC＝AB+BD+AC+CD＝2×6＝12，即△ABC的周长等于12．故答案为：12．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．17．（3分）如图，B、C、D在一直线上，△ABC和△ADE是等边三角形，若CE＝15，CD＝6，则AC＝9．【分析】根据等边三角形性质得出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，求出∠BAD＝∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15cm，求出BC即可．【解答】解：∵△ABC、△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15，∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形性质和全等三角形的性质和判定，关键是推出△BAD≌△CAE．18．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD＝10，则CM+MN的最小值为5．【分析】过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，可得CM+MN的最小值为CF．延长BA，CF两线交于点G，证明△ABD≌△ACG，△GBF≌△CBF，根据全等三角形的性质，得到GF＝CF＝CG＝BD，进而可求出CM+MN的最小值．【解答】解：过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，可得CM+MN的最小值为CF，延长BA，CF两线交于点G，∵∠A＝∠DFC＝90°，∠ADB＝∠FDC∴∠ABD＝∠FCD，在△ABD和△ACG中，，∴△ABD≌△ACG（ASA），∴BD＝CG；在△GBF和△CBF中，，∴△GBF≌△CBF（ASA），∴GF＝CF＝CG＝BD；∵BD＝10，∴CF＝5，∴CM+MN的最小值为5，故答案为：5．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键．三、解答题（共46分，第19、25-26题各7分，第20、22-23题各5分，第21题4分，第24题6分）19．（7分）（1）计算：（﹣x2y）3•（﹣2xy3）2；（2）先化简，再求值：3a（a2﹣2a+1）﹣2a2（a﹣3），其中a＝2．【分析】（1）根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算；（2）根据单项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．【解答】解：（1）原式＝﹣x6y3•4x2y6＝﹣4x8y9；（2）原式＝3a3﹣6a2+3a﹣（2a3﹣6a2）＝3a3﹣6a2+3a﹣2a3+6a2＝a3+3a，当a＝2时，原式＝23+3×2＝8+6＝14．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．20．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．作法：①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F；③作射线BF交AC于点P．则点P即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明证明：连接DF，FE在△BDF和△BEF中，，∴△BDF≌△BEF．∴∠ABF＝∠CBF（全等三角形的对应角相等）（填推理的依据）．∵∠ACB＝90°，点P在AC上，∴PC⊥BC．作PQ⊥AB于点Q．∵点P在BF上，∴PC＝PQ（角平分线上的点到角的两边的距离相等）（填推理的依据）．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先证明△BDF≌△BEF得到∠ABF＝∠CBF，根据角平分线的性质得到点P到AB的距离等于PC．【解答】解：（1）如图，点P为所作；（2）完成下面证明证明：连接DF，FE在△BDF和△BEF中，，∴△BDF≌△BEF．∴∠ABF＝∠CBF（全等三角形的对应角相等），∵∠ACB＝90°，点P在AC上，∴PC⊥BC．作PQ⊥AB于点Q．∵点P在BF上，∴PC＝PQ（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．故答案为全等三角形的对应角相等；角平分线上的点到角的两边的距离相等．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．21．（4分）如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F．求证：重叠部分（即△BDF）是等腰三角形．【分析】由矩形的性质和折叠的性质证出∠ADB＝∠EBD，得出BF＝DF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC．∴∠ADB＝∠CBD，由折叠的性质得：∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴BF＝DF，∴△BDF是等腰三角形．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证出∠ADB＝∠EBD是解决问题的关键．22．（5分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，∴BP＝PC；∵AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP﹣DP＝PC﹣PE，∴BD＝CE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键．23．（5分）如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AC＝BF．求证：AE＝EF．【分析】延长AD到点G，使GD＝AD，连接GB，可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△GBD≌△ACD，得GB＝AC，∠G＝∠CAF，由AC＝BF，得GB＝BF，进而可得AE＝EF．【解答】证明：延长AD到点G，使GD＝AD，连接GB，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△GBD和△ACD中，，∴△GBD≌△ACD（SAS），∴GB＝AC，∠G＝∠CAF，∵AC＝BF．∴GB＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EFA，∴∠CAF＝∠EFA，∴AE＝EF．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．24．（6分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式；（2）解决问题：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．【分析】（1）由图形可知应该是完全平方公式；（2）由完全平方公式即可求解；（3）由完全平方公式求出（8﹣x）和（x﹣2）的乘积即可．【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∵ab＝3，∴a2+b2＝19；（3）∵（8﹣x）+（x﹣2）＝6，∴[（8﹣x）+（x﹣2）]2＝36，∴（8﹣x）2+（x﹣2）2+2（8﹣x）（x﹣2）＝36，∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，∴（8﹣x）（x﹣2）＝8，∴长方形的面积是8．【点评】本题考查完全平方公式的应用，关键是掌握并熟练应用此公式．25．（7分）已知：△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连接AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP＝30°，作点A关于射线DP的对称点E，连接DE、CE．（1）当点D在线段BC上运动时，①依题意将图1补全；②请用等式表示线段AB、CE、CD之间的数量关系，并证明；（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系，不需证明．【分析】（1）①根据题意补全图形；②先判断出△ADE为等边三角形，进而判断出△ABD≌△ACE，即可得出结论；（2）分点D在线段BC上，在CB的延长线上，在BC的延长线上，同（1）①的方法即可得出结论．【解答】解：（1）①补全图形如图1所示：②AB＝CE+CD，理由：∵点A关于射线DP的对称点为E，∴DP垂直平分AE，∴AD＝DE．又∵∠ADP＝30°，∴∠ADE＝2∠ADP＝60°；∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°．又∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即：∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE∴AB＝BC＝BD+CD＝CE+CD．（2）①当点D在线段BC上时，AB＝CE+CD，理由：如图1，在（1）②的过程；②当点D在CB的延长线上时，AB＝CD﹣CE，如图2，理由：由（1）①得，△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°．又∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即：∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE∴AB＝BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE；③当点D在BC的延长线上时，AB＝CE﹣CD，理由：如图3，由（1）①得，△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°．又∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE∴AB＝BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD；即：AB＝CE+CD，AB＝CD﹣CE，AB＝CE﹣CD．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，分三种情况画图图形是解