2022-2023学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A． B． C． D．3．（3分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（）A．10 B．8 C．7 D．44．（3分）已知点P（﹣2，3）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（2，﹣3）5．（3分）下列说法错误的是（）A．两个内角是60°的三角形为等边三角形 B．等腰三角形的两个底角一定都是锐角 C．三角形三条角平分线的交点与这个三角形三个顶点的距离相等 D．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线6．（3分）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是（）A．21：02 B．21：05 C．20：15 D．20：057．（3分）已知实数x，y满足（x﹣3）2+|y﹣4|＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．9或12 B．10或11 C．10 D．118．（3分）如图，小斐同学课本上的三角形被墨迹污染了一部分，但聪明的他根据所学知识很快就画出了一个完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的理论依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若点D恰好在边BC的垂直平分线上，则∠C的度数为（）A．30 B．36 C．40 D．4510．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，则∠B＝°．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以是（写出一个即可）．13．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，若AD＝2，则BD＝．14．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D，使BC＝CD，再过点D画出BF的垂线DE，使E与C、A在一条直线上，若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可．15．（2分）聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是．16．（2分）如图，将Rt△ABC沿过点B的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点D处，折痕为BE，以下结论正确的是：①DE⊥AB；②BE平分∠ABC；③BE垂直平分CD；④D是AB中点．17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交AB于点E，当△ADE为等腰三角形时，∠DAC的度数为．18．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，D为BC边上一点，且∠BAD＝80°，BE平分∠ABC，交AC于点E，连接DE，则∠DAE＝°，∠DEB＝°．三、解答题（本题共54分，第19-24题每小题5分，第25-28题每小题5分）19．（5分）计算：﹣+|π﹣3|．20．（5分）解不等式：1+x＞．21．（5分）解方程组：．22．（5分）已知不等式2x+3≤x+5与1＜同时成立，求x的整数解．23．（5分）如图，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：∠C＝∠E．24．（5分）如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．25．（6分）已知：如图，△AOB的顶点O在直线l上，且AO＝AB．（1）画出△AOB关于直线l成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；（2）在（1）的条件下，AC与BD的位置关系是；（3）在（1）、（2）的条件下，连接AD，如果∠ABD＝2∠ADB，求∠AOC的度数．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的三个顶点A的坐标是（0，1），点B在x轴的正半轴上且∠ABO＝30°，点C在y轴上．（1）写出所有满足题意的点C的坐标；（2）若点P关于直线AB的对称点P'在x轴上，且AP＝1，图中P1、P2、P3、P4中，符合条件的点P是；（3）在（2）的条件下，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．27．（6分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE与直线AD交于点F，直线FC与直线AE交于点G．（1）如图1，当120°＜∠BAC＜180°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，①求证：∠FEA＝∠FCA；②猜想线段FE、FA、FB之间的数量关系，并证明你的结论．（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的同侧时，利用图2探究线段FE、FA、FB之间的数量关系，并直接写出你的结论．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴、直线l的“二次对称点”．（1）已知点A（﹣1，0），直线l是经过（0，2）且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为；（2）如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，0），B（1，0），C（1，2），D（﹣1，2）；点E的坐标为（1，1），点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD内存在点M，使得点M是点K关于y轴，OE所在直线的“二次对称点”，则点K的横坐标x的取值范围是；（3）如图2，T（t，0）（t≥0）是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是R（t，1），S（t，﹣1），直线l经过（0，1）且与x轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点N′是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点N′在y轴上，则点N′纵坐标y的取值范围是．

2022-2023学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．2．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A． B． C． D．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．3．（3分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（）A．10 B．8 C．7 D．4【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得m的长大于0而小于8．故选：C．【点评】考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．4．（3分）已知点P（﹣2，3）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（2，﹣3）【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点P（﹣2，3）与点Q关于x轴对称，则点Q坐标为（﹣2，﹣3）．故选：B．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．5．（3分）下列说法错误的是（）A．两个内角是60°的三角形为等边三角形 B．等腰三角形的两个底角一定都是锐角 C．三角形三条角平分线的交点与这个三角形三个顶点的距离相等 D．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线【分析】选项A根据等边三角形的判定方法判断即可；选项B根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理判断即可；选项C根据三角形的角平分线的性质判断即可；选项D根据轴对称图形的定义判断即可．【解答】解：A．两个内角是60°的三角形为等边三角形，说法正确，故本选项不合题意；B．等腰三角形的两个底角一定都是锐角，说法正确，故本选项不合题意；C．三角形三条角平分线的交点与这个三角形三边的距离相等，原说法错误，故本选项符合题意；D．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定以及三角形的角平分线，掌握相关定义是解答本题的关键．6．（3分）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是（）A．21：02 B．21：05 C．20：15 D．20：05【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．【解答】解：根据镜子中的成象与实际物体是相反的原理，可利用轴对称性质作出图象向左或向右的对称，故选：B．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．7．（3分）已知实数x，y满足（x﹣3）2+|y﹣4|＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．9或12 B．10或11 C．10 D．11【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可得x﹣3＝0，y﹣4＝0，从而可得x＝3，y＝4，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，分别进行计算即可解答．【解答】解：∵（x﹣3）2+|y﹣4|＝0，∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，∴x＝3，y＝4，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10，当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11，综上所述：等腰三角形的周长为10或11，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和偶次方的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．8．（3分）如图，小斐同学课本上的三角形被墨迹污染了一部分，但聪明的他根据所学知识很快就画出了一个完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的理论依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL【分析】没有被墨迹污染的部分可确定三角形的两个内角和它们的夹边，则根据全等三角形的判定方法，利用这三个条件可画出了一个完全一样的三角形．【解答】解：∵三角形没有被墨迹污染的部分得到三角形的两个内角和它们的夹边，∴利用“ASA”可以画出了一个完全一样的三角形．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若点D恰好在边BC的垂直平分线上，则∠C的度数为（）A．30 B．36 C．40 D．45【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，得到∠DBC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠C＝30°．【解答】解：∵点D恰好在边BC的垂直平分线上，∴DC＝DB，∴∠DBC＝∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DBC＝∠ABD＝∠C，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，故选：A．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB是解题的关键．10．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；故选：A．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，则∠B＝60°．【分析】直接利用三角形的外角性质进行求解即可．【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝130°，∴∠B＝∠ACD＝∠A＝60°．故答案为：60．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以是（3，﹣2）（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质即可得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：延长CB到D，使BD＝BC，连接AD，∵△ABC与△ABD全等，∴BD＝BC，∠ABC＝∠ABD＝90°，∵C的坐标为（3，2），∴D的坐标为（3，﹣2），故答案为：（3，﹣2）（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．13．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，若AD＝2，则BD＝6．【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．14．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D，使BC＝CD，再过点D画出BF的垂线DE，使E与C、A在一条直线上，若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【解答】解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明△ABC≌△EDC，故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．故答案为：DE．【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．15．（2分）聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．【分析】根据△ABC是个等腰三角形可得AC＝BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是个等腰三角形，∴AC＝BC，∵点O是AB的中点，∴AO＝BO，∴OC⊥AB．故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．【点评】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．16．（2分）如图，将Rt△ABC沿过点B的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点D处，折痕为BE，以下结论正确的是①②③：①DE⊥AB；②BE平分∠ABC；③BE垂直平分CD；④D是AB中点．【分析】由折叠的性质可得∴∠BDE＝∠BCE＝90°，BC＝BD，∠CBE＝∠DBE，DE＝CE，，可得BE⊥CD，BE平分∠ABC，由线段垂直平分线的判定可得BE垂直平分CD，由D不确定是AB中点，即可求解．【解答】解：∵将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点D处，∴△BEC≌△BED，∴∠BDE＝∠BCE＝90°，BC＝BD，∠CBE＝∠DBE，DE＝CE，∴BE⊥CD，BE平分∠ABC，故①②正确，∵BD＝BC，ED＝EC，∴BE垂直平分CD，故③正确，D不确定是AB中点，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交AB于点E，当△ADE为等腰三角形时，∠DAC的度数为60°或30°．【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝40°，从而利用三角形内角和定理可得∠BAC＝100°，然后分三种情况：当AD＝AE时，当DE＝DA时，当EA＝ED时，分别进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，分三种情况：当AD＝AE时，∴∠AED＝∠ADE＝40°，∵∠AED是△BED的一个外角，∴∠AED＞∠C，∴此种情况不符合题意；当DE＝DA时，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAE＝30°；当EA＝ED时，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAE＝60°；综上所述：∠DAC的度数为60°或30°，故答案为：60°或30°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．18．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，D为BC边上一点，且∠BAD＝80°，BE平分∠ABC，交AC于点E，连接DE，则∠DAE＝50°，∠DEB＝40°．【分析】根据∠BAC＝130°，∠BAD＝80°，利用角的和差关系可得∠DAE＝50°，利用角的平分线的性质，过点E分别作BC，BA，AD的垂线，垂足分别为G，H，P，利用角的平分线的性质与判定可得EP＝EG，从而得到∠CDE＝，再利用三角形的外角性质即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝130°﹣80°＝50°；如图，过点E分别作BC，BA，AD的垂线，垂足分别为G，H，P，∵BE平分∠ABC，∴EG＝EH，∵∠CAH＝180°∠BAC＝50°＝∠CAD，∴EH＝EP，∴EG＝EP，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠BED＝∠CDE﹣∠CBE＝∠ADC﹣∠ABC＝（∠ADC﹣∠ABC）＝∠BAD＝40°．故答案为：50；40．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，角的平分线的性质定理与逆定理，本题的关键是作出辅助线，已知角的平分线，要作垂两边．三、解答题（本题共54分，第19-24题每小题5分，第25-28题每小题5分）19．（5分）计算：﹣+|π﹣3|．【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝﹣2﹣2+π﹣3＝π﹣7．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．20．（5分）解不等式：1+x＞．【分析】根据即一元一次不等式的步骤求解即可．【解答】解：去分母，得2+2x＞x，移项，得2x﹣x＞﹣2，合并同类项，得x＞﹣2，∴原不等式的解集为x＞﹣2．【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．21．（5分）解方程组：．【分析】利用加减消元法先消去未知数y，求出x，再代入求出y即可．【解答】解：，①+②得，3x＝12，解得x＝4，把x＝4代入①得，8+y＝7，解得y＝﹣1，所以方程组的解为．【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是正确解答的前提．22．（5分）已知不等式2x+3≤x+5与1＜同时成立，求x的整数解．【分析】分别求出不等式的解集，找出两解集的公共部分，确定出x的整数解即可．【解答】解：由2x+3≤x+5，得x≤2，由1＜，得x＞﹣1，∴两不等式的公共解集为﹣1＜x≤2，则x的整数解为0，1，2．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．23．（5分）如图，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：∠C＝∠E．【分析】由条件可得到∠BAC＝∠DAE，从而可证明△ABC≌△ADE，可得出∠C＝∠E．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C＝∠E．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件得到∠BAC＝∠DAE是解题的关键．24．（5分）如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠DAC，由“SAS”可证△ADB≌△ADC，可得BD＝CD．【解答】证明：∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∵ED＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠DAC，在△ADB和△ADC中，∴△ADB≌△ADC（SAS），∴BD＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明△ADB≌△ADC是本题的关键．25．（6分）已知：如图，△AOB的顶点O在直线l上，且AO＝AB．（1）画出△AOB关于直线l成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；（2）在（1）的条件下，AC与BD的位置关系是平行；（3）在（1）、（2）的条件下，连接AD，如果∠ABD＝2∠ADB，求∠AOC的度数．【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；（2）根据轴对称的性质可直接得出结论；（3）先根据轴对称图形的性质得出△AOB≌△COD，故可得出∠OBD＝∠ODB．∠ABO+∠OBD＝∠CDO+∠ODB，即∠ABD＝∠CDB．再由∠ABD＝2∠ADB可知∠CDB＝2∠ADB．故∠CDA＝∠ADB．根据AC∥BD，可知∠CAD＝∠ADB，∠CAD＝∠CDA，所以CA＝CD．故可得出AO＝OC＝AC，即△AOC为等边三角形．【解答】解：（1）如图1；（2）∵AC与BD是对应点的连线，∴AC∥BD．故答案为：平行．（3）如图2，∵由（1）可知，△AOB与△COD关于直线l对称，∴，∴△AOB≌△COD．∴∠OBD＝∠ODB．∴∠ABO+∠OBD＝∠CDO+∠ODB，即∠ABD＝∠CDB．∵∠ABD＝2∠ADB，∴∠CDB＝2∠ADB．∴∠CDA＝∠ADB．由（2）可知，AC∥BD，∴∠CAD＝∠ADB．∴∠CAD＝∠CDA，∴CA＝CD．∵AO＝AB，∴AO＝OC＝AC，即△AOC为等边三角形．∴∠AOC＝60°．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的三个顶点A的坐标是（0，1），点B在x轴的正半轴上且∠ABO＝30°，点C在y轴上．（1）写出所有满足题意的点C的坐标；（2）若点P关于直线AB的对称点P'在x轴上，且AP＝1，图中P1、P2、P3、P4中，符合条件的点P是P3；（3）在（2）的条件下，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为3．【分析】（1）先确定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB＝2，OB＝，在y轴上符合条件的有两点C1和C2，求出即可；（2）根据AP＝AO＝1，得出P的对称点是O点，求出OC，即可得出OP，解直角三角形求出PQ和OQ即可；（3）作出B关于y轴的对称点，连接PB′即可得出M点的位置，求出PB′长即可．【解答】解：（1）如图1，符合条件的有两点，以A为圆心，以AB为半径画弧，交y轴于C1、C2点，∵A（0，1），∴OA＝1，∵在Rt△AOB中，OA＝1，∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝2，OB＝，即AC1＝AC2＝2，∴OC1＝1+2＝3，OC2＝2﹣1＝1，∴C的坐标是（0，3）或（0，﹣1）；（2）如图2，过P作PQ⊥x轴于Q，∵OA＝1，AP＝1，AO⊥x轴，∴x轴和以A为圆心，以1为半径的圆相切，∵AP＝1，∴点P在圆上，∵点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP＝1，∴P′点和O重合，如图：∵P和P′关于直线AB对称，∴PP′⊥AB，PC＝P′C，由三角形面积公式得：S△AOB＝•AO•OB＝•AB•CO，∴×1＝2OC，∴OC＝，∴PP′＝2OC＝．∵∠ABO＝30°，∠OCB＝90°，∴∠POB＝60°，∴PQ＝OP×sin60°＝，OQ＝OP×cos60°＝，即P的坐标是（，）．观察图形，只有点P3符合题意．故答案为：P3；（3）如图3，作B关于y轴的对称点B′，连接PB′交y轴于M，则M为所求，∵OB＝，∴OB′＝，即BB′＝2，∴B′Q＝2﹣＝，∵PQ＝，∴由勾股定理得：PB′＝＝3，∴PM+BM＝PM+B′M＝PB′＝3，故答案为：3．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了轴对称﹣最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的应用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．27．（6分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE与直线AD交于点F，直线FC与直线AE交于点G．（1）如图1，当120°＜∠BAC＜180°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，①求证：∠FEA＝∠FCA；②猜想线段FE、FA、FB之间的数量关系，并证明你的结论．（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的同侧时，利用图2探究线段FE、FA、FB之间的数量关系，并直接写出你的结论．【分析】（1）①由题意可得AB＝AC＝AE，即可求∠ABF＝∠AEF，由AD是BC的中垂线可得BF＝CF，可证△ABF≌△ACF，可得∠ABF＝∠ACF，则结论可得；②先证△AFH是等边三角形，由“AAS”可证△ABH≌△AEF，可得EF＝BH，可得结论；（2）由“SAS”可证△CFE≌△CFK，可得FE＝FK，可得结论．【解答】（1）①证明：∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，又∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABF＝∠AEF，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BF＝FC，又∵AF＝AF，AB＝AC，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠ABF＝∠ACF，∴∠ACF＝∠AEF；②解：EF＝BF﹣AF，理由如下：如图，在BF上截取FH＝AF，连接AH，∵∠ACF＝∠AEF，∠AGC＝∠FGE，∴∠EFC＝∠EAC＝60°，∴∠BFC＝120°，∵BF＝FC，FD⊥BC，∴∠BFD＝∠CFD＝60°，∵AF＝HF，∴△AFH是等边三角形，∴AH＝AF＝HF，∠AHF＝∠AFH，∴∠BHA＝∠AFE，又∵∠ABF＝∠AEF，AB＝AC＝AE，∴△ABH≌△AEF（AAS），∴EF＝BH，∴EF＝BH＝BF﹣FH＝BF﹣AF；（2）解：结论：EF＝FA﹣2FD，如图2，延长AD至K，使DK＝AD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴点F在线段BC的垂直平分线上，∴AF＝CF，∴∠CBF＝∠BCF，∴∠ABF＝∠ACF，∵△ACE是等边三角形，∴AE＝AC，∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABF＝∠AEB，∴∠ACF＝∠AEB，∴A，E，F，C四点共圆，∴∠EAF＝∠ECF，∵∠FCK＝∠ACK﹣∠ACF＝2∠ACD﹣∠ACF＝2（90°﹣∠CAD）﹣∠ACF＝180°﹣2∠CAD﹣∠ACF＝180°﹣2（∠EAC﹣∠EAF）﹣∠ACF＝180°﹣2（60°﹣2∠EAF）﹣∠ACF＝60°+2∠EAF﹣∠ACF＝60°+2∠ECF﹣（∠ACE+∠ECF）＝60°+2∠ECF﹣（60°+∠ECF）＝∠ECF∵AC＝CE，AC＝CK，∴CK＝CE，在△CFE