2022-2023学年北京市西城外国语学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市西城外国语学校八年级（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a2•a3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a53．（2分）图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．45° B．62° C．73° D．135°4．（2分）下列运算正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a+3b＝5ab C．2（2a﹣b）＝4a﹣b D．（a+b）2＝a2+b25．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（3，5） D．（5，﹣3）6．（2分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．A．① B．② C．③ D．①②③7．（2分）下列命题中正确的有（）个①三个内角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；④等底等高的两个三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．48．（2分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．1个二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）计算（﹣3a2b）3的结果是．10．（2分）若（a﹣1）0有意义，则实数a的取值范围是．11．（2分）若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角的度数为．12．（2分）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分AOB．其理由是.（填定理）13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BE⊥AC于E，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，△ABE的周长为．14．（2分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片块．15．（2分）已知a＝8131，b＝2742，c＝961，则a，b，c的大小关系是.（用“＜”连接）16．（2分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论：①a*b＝0，则a＝﹣b；②a*b＝b*a；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝（﹣a）*（﹣b），正确的有．三、解答题（第17题8分，第18题20分，共28分）17．（8分）计算：（1）29÷27﹣（3﹣π）0﹣|﹣4|；（2）（8m3﹣6m2+2m）÷2m．18．（20分）计算：（1）（﹣4x2）（3x+1）；（2）（3n﹣2）（n+5）；（3）（x﹣2）2﹣（x+3）（x+1）；（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．四、画图题（算19题4分，第20题8分，共12分）19．（4分）尺规作图：已知∠α，∠β，求作∠ABC，使得∠ABC＝∠α﹣∠β．（不写作法，但要保留作图痕迹）20．（8分）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；例如：如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将△ABC分割成两个等腰三角形△ADC，△ADB．（1）请在以下证明过程中填入适当理由．证明：∵DE垂直平分AC∴AD＝DB（）∴∠1＝∠2（）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°∴∠3＝∠4∴CD＝DA（）∴△ADC、△ADB是等腰三角形（2）根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹）（3）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段）五、解答题（第21题6分，第22，23题每题7分，第24题8分，共28分）21．（6分）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求证：AC＝CD．22．（7分）已知：如图，点B，C，E在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．（1）求证：△BDM≌△ADN；（2）若AC＝7，BC＝3，求CM的长．23．（7分）已知：如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于CE的对称点为点F，CF交AB于点G．（1）依题意补全图形；（2）求∠AGC的度数；（3）写出BD与DF之间的数量关系，并证明．六、选做题（本题共10分，第25题4分，第26题6分，计入总分但总分不超过100分）25．（4分）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的[l1，l2]伴随图形．例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．

2022-2023学年北京市西城外国语学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；B、是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，故正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（2分）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a2•a3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题．【解答】解：A．根据幂的乘方，得（a2）3＝a6，故A符合题意．B．根据同底数幂的乘法，得a2•a3＝a5，故B不符合题意．C．根据积的乘方，得（2a）3＝8a3，故C不符合题意．D．根据同底数幂的除法，得a10÷a2＝a8，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解决本题的关键．3．（2分）图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．45° B．62° C．73° D．135°【分析】根据全等三角形的性质得出即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴边长为a的对角是对应角，∴∠1＝73°，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．4．（2分）下列运算正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a+3b＝5ab C．2（2a﹣b）＝4a﹣b D．（a+b）2＝a2+b2【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝a2﹣b2，符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式＝4a﹣2b，不符合题意；D、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，去括号与添括号，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（3，5） D．（5，﹣3）【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：点P（﹣3，5）关于y轴对称的点的坐标是：（3，5）．故选：C．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．6．（2分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．A．① B．② C．③ D．①②③【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．7．（2分）下列命题中正确的有（）个①三个内角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；④等底等高的两个三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL．可得出正确结论．【解答】解：①三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；④等底等高的两个三角形不一定全等，错误；故选：B．【点评】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL．做题时要按判定全等的方法逐个验证．8．（2分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．1个【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作点P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，DC＝PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP＝AB，PD＝DC．【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA＝AB，同理，在l上作点P，使PC＝DC，如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD＝DC，综上所述，符合条件的点P有5个．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答．二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）计算（﹣3a2b）3的结果是﹣27a6b3．【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，求解即可．【解答】解：（﹣3a2b）3，＝（﹣3）3×（a2）3×b3，＝﹣27×a6×b3，＝﹣27a6b3．【点评】本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．10．（2分）若（a﹣1）0有意义，则实数a的取值范围是a≠1．【分析】直接利用零指数幂的定义得出答案．【解答】解：若（a﹣1）0有意义，则a﹣1≠0，解得：a≠1．故答案为：a≠1．【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．11．（2分）若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角的度数为40°或100°．【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于等腰三角形外角的位置不确定，因此本题要分情况进行讨论．【解答】解：本题可分两种情况：①如图，当∠DCA＝140°时，∠ACB＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝40°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝100°；②如图，当∠EAC＝140°时，∠BAC＝40°，因此等腰三角形的顶角度数为40°或100°．故填40°或100°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．12．（2分）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分AOB．其理由是HL.（填定理）【分析】利用作法得到OM＝ON，∠PMO＝∠PNO＝90°，加上OP为公共边，然后根据直角三角形的判定方法可判断Rt△POM≌Rt△PON，从而得到∠POM＝∠PON．【解答】解：由作法得OM＝ON，∠PMO＝∠PNO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴∠POM＝∠PON，即OP平分AOB．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BE⊥AC于E，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，△ABE的周长为11．【分析】根据角平分线的性质得出BE＝BD，再由HL证明Rt△BEC≌Rt△BDC得出CE＝CD即可推出结果．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ACB＝∠BCD，又∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴BE＝BD，又∵BC＝BC，∴Rt△BEC≌Rt△BDC（HL），∴CE＝CD，∵△ABE的周长＝AE+BE+AB，AB＝AC，即△ABE的周长＝CA+AE+BE＝CE+BE＝CD+BD＝8+3＝11，故答案为：11．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键．14．（2分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片4块．【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；（2）利用完全平方公式可求解．【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片的面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，故答案为：a2+b2；（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，∴x为4，故答案为：4．【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．15．（2分）已知a＝8131，b＝2742，c＝961，则a，b，c的大小关系是c＜a＜b.（用“＜”连接）【分析】利用幂的乘方的法则把各数的底数转为相等，再比较指数的大小即可．【解答】解：a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2742＝（33）42＝3126，c＝961＝（32）61＝3122，∴3122＜3124＜3126，即c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．16．（2分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论：①a*b＝0，则a＝﹣b；②a*b＝b*a；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝（﹣a）*（﹣b），正确的有①②④．【分析】根据新定义运算法则即可求出答案．【解答】解：①a*b＝（a+b）2＝0，∴a+b＝0，故①符合题意．②a*b＝（a+b）2＝b*a，故②符合题意．③a*（b+c）＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a*b+a*c＝（a+b）2+（a+c）2＝a2+2ab+b2+a2+2ac+c2，a*（b+c）≠a*b+a*c，故③不符合题意．④a*b＝（a+b）2＝（﹣a﹣b）2＝（﹣a）*（﹣b），故④符合题意．故答案为：①②④．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及完全平方公式，本题属于基础题型．三、解答题（第17题8分，第18题20分，共28分）17．（8分）计算：（1）29÷27﹣（3﹣π）0﹣|﹣4|；（2）（8m3﹣6m2+2m）÷2m．【分析】（1）根据同底数幂的除法，实数的零次幂和绝对值的性质先化简，再加减即可解答本题；（2）根据多项式除以单项式的法则计算可以解答本题．【解答】解：（1）29÷27﹣（3﹣π）0﹣|﹣4|＝4﹣1﹣（4﹣）＝4﹣1﹣4+＝﹣1+；（2）（8m3﹣6m2+2m）÷2m＝4m2﹣3m+1．【点评】本题考查实数的混合运算和整式的除法，解答本题的关键是明确实数混合运算的运算法则和运算顺序．18．（20分）计算：（1）（﹣4x2）（3x+1）；（2）（3n﹣2）（n+5）；（3）（x﹣2）2﹣（x+3）（x+1）；（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则即可求出答案．（2）根据多项式乘多项式法则即可求出答案．（3）根据完全平方公式以及整式的加减运算法则即可求出答案．（4）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝（﹣4x2）•3x﹣（﹣4x2）＝﹣12x3﹣4x2．（2）原式＝3n2+15n﹣2n﹣10＝3n2+13n﹣10．（3）原式＝x2﹣4x+4﹣（x2+4x+3）＝x2﹣4x+4﹣x2﹣4x﹣3＝﹣8x+1．（4）原式＝[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]＝4x2﹣（y+z）2＝4x2﹣（y2+2yz+z2）＝4x2﹣y2﹣2yz﹣z2．【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．四、画图题（算19题4分，第20题8分，共12分）19．（4分）尺规作图：已知∠α，∠β，求作∠ABC，使得∠ABC＝∠α﹣∠β．（不写作法，但要保留作图痕迹）【分析】根据基本作图，先作∠ABD＝∠α，再在∠ABD内部作∠DBC＝∠β，则∠ABC满足条件．【解答】解：如图，∠ABC为所作．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．20．（8分）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；例如：如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将△ABC分割成两个等腰三角形△ADC，△ADB．（1）请在以下证明过程中填入适当理由．证明：∵DE垂直平分AC∴AD＝DB（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）∴∠1＝∠2（等边对等角）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°∴∠3＝∠4∴CD＝DA（等角对等边）∴△ADC、△ADB是等腰三角形（2）根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹）（3）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段）【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定和性质解决问题即可；（2）先分割成两个直角三角形，再利用直角三角形斜中线的性质解决问题；（3）先分割成两个等腰三角形，再将其中一个等腰三角形分割成两个直角三角形，再利用斜边中线分割成4个等腰三角形即可．【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AC∴AD＝DB（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）∴∠1＝∠2（等边对等角）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°∴∠3＝∠4∴CD＝DA（等角对等边）∴△ADC、△ADB是等腰三角形．故答案为：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，等边对等角，等角对等边；（2）图形如图所示：（3）图形如图所示：【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．五、解答题（第21题6分，第22，23题每题7分，第24题8分，共28分）21．（6分）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求证：AC＝CD．【分析】根据AB∥ED推出∠B＝∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC＝CD．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E．在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS）．∴AC＝CD．【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．22．（7分）已知：如图，点B，C，E在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．（1）求证：△BDM≌△ADN；（2）若AC＝7，BC＝3，求CM的长．【分析】（1）由角平分线的性质可得DM＝DN，再由AAS即可证得△BDM≌△ADN；（2）由HL证Rt△DCN≌Rt△DCM，得CM＝CN，再由△BDM≌△ADN得BM＝AN，则AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝BC+2CM，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，∴DM＝DN，∠DMB＝∠DNA＝90°，在△BDM和△ADN中，，∴△BDM≌△ADN（AAS）；（2）解：在Rt△DCN和Rt△DCM中，，∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL），∴CM＝CN，∵△BDM≌△ADN，∴BM＝AN，∵AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝7，∴3+2CM＝7，∴CM＝2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．（7分）已知：如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．【分析】过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，根据全等三角形的判定和性质证明即可．【解答】证明：过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，∴∠C＝∠F．∵点A是BD的中点，∴AD＝AB．在△ADF和△ABC中，∴△ADF≌△ABC（AAS）∴DF＝BC，∵DE＝BC，∴DE＝DF．∴∠F＝∠DEA．又∵∠C＝∠F，∴∠C＝∠DEA．【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，根据全等三角形的判定和性质证明是解题关键．24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于CE的对称点为点F，CF交AB于点G．（1）依题意补全图形；（2）求∠AGC的度数；（3）写出BD与DF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）依照题意画出图形即可求；（2）由轴对称的性质和外角的性质可求解；（3）由“AAS”可证△CPF≌△ADB，可证BD＝PF＝DF．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵点A关于点E的对称点为点F，CE⊥AD，∴AC＝CF，∠ACE＝∠ECF，∴∠AGC＝∠B+∠BCG＝∠B+∠ACB﹣∠ACF＝2∠B﹣2∠ECF，∵∠ECF＝90°﹣∠EFC，∠EFC＝60°+∠BCG，∴∠AGC＝2∠B﹣180°+120°+2∠BCG，∴∠AGC＝60°；（3）BD＝DF，理由如下：如图，在CD上截取DP＝DF，连接FP，∵∠ADC＝60°，∴△PDF为等边三角形，∴∠DPF＝60°，DP＝DF＝FP，∴∠FPC＝120°，∴∠ADB＝∠FPC，又∵AC＝CF，AB＝AC，∴AB＝CF，∵∠BAD＝∠BCG，∴△CPF≌△ADB（AAS），∴BD＝PF，∴BD＝PF＝DF．【点评】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．六、选做题（本题共10分，第25题4分，第26题6分，计入总分但总分不超过100分）25．（4分）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；（2）根据完全平方公式解答即可．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）