2022-2023学年北京市西城区育才学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市西城区育才学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm3．（3分）计算x5÷x2的结果是（）A．x10 B．x7 C．x3 D．x24．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣a2）3＝a6 B．3a2•2a3＝6a5 C．x2•x3＝x6 D．a2+a3＝a55．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝150°，则∠A是（）A．70° B．80° C．30° D．100°7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（3，5） D．（5，﹣3）8．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（）A．14 B．28 C．18 D．239．（3分）已知直线l及直线l外一点P．如图，（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P的坐标为（）A．（3，5） B．（6，6） C．（3，3） D．（3，6）二、填空题：（每题3分，共24分）.11．（3分）计算：（2ab2）3＝．12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝．13．（3分）若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为．14．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．15．（3分）如图，BE与CD交于点A，且∠B＝∠E．请添加一个条件使得△ABC≌△AED，这个条件是：（写出一个即可）．16．（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm．17．（3分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形则满足条件的点P有个．18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①BE＝CE；②AD＝CG；③CH＝2BD；④CE＝AE+BH．其中正确结论的序号是．三、解答题；（共46分.第19、20、21、22、23题，每题5分；第24题，第25、26题，每题7分）19．（5分）已知：如图，F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：BC＝EF．20．（5分）如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．21．（7分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．小路的作法如下：①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；②连接AP．请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：∵PQ是AB的垂直平分线∴AP＝，（依据：）；∴∠ABC＝，（依据：）．∴∠APC＝2∠ABC．22．（7分）如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB与∠ACD的度数．23．（7分）如图所示，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）作关于△ABC关于x轴的对称图形△DEF，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F），并写出点D坐标；（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．24．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：AE⊥CF；（2）若∠BAE＝25°，求∠ACF的度数．25．（5分）已知：在△ABC中，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．如图，延长BC到点F，使得CF＝BC．连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF．26．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，点E在△ABC内部，连结AE，BE，CE，其中AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．（1）求∠AEB的度数；（2）试判断△BEC的形状，并说明理由．四、附加卷（10分）27．（3分）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由．28．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为°．29．（4分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，M是BD的中点，E是射线CA上一动点，且CE＝CD，连接AD，作DF⊥AD，DF交EM延长线于点F．（1）如图1，当点E在CA上时，填空：ADDF（填“＝”、“＜”或“＞”）．（2）如图2，当点E在CA的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断AD与DF的数量关系，并证明你的结论．

2022-2023学年北京市西城区育才学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，∴BC＝AD＝8cm．故选：D．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．3．（3分）计算x5÷x2的结果是（）A．x10 B．x7 C．x3 D．x2【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得答案．【解答】解：原式＝x5﹣2＝x3，故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣a2）3＝a6 B．3a2•2a3＝6a5 C．x2•x3＝x6 D．a2+a3＝a5【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则、单项式乘单项式运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A．（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项不合题意；B．3a2•2a3＝6a5，故此选项符合题意；C．x2•x3＝x5，故此选项不合题意；D．a2+a3，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm【分析】首先设第三根木棒长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜x＜8+3，计算出x的取值范围，然后可确定答案．【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由题意得：8﹣3＜x＜8+3，∴5＜x＜11，∴C选项7cm符合题意，故选：C．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝150°，则∠A是（）A．70° B．80° C．30° D．100°【分析】根据三角形外角性质得出∠A＝∠ACD﹣∠B，再代入求出答案即可．【解答】解：∵∠B＝70°，∠ACD＝150°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝150°﹣70°＝80°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（3，5） D．（5，﹣3）【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：点P（﹣3，5）关于y轴对称的点的坐标是：（3，5）．故选：C．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．8．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（）A．14 B．28 C．18 D．23【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，BD＝CD，根据△ABD的周长为13，可得AB+AC＝13，进一步求解即可．【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，∴BE＝CE，BD＝CD，∵△ABD的周长为13，∴AB+AD+BD＝AB+AC＝13，∵BE＝5，∴BC＝10，∴△ABC的周长AB+AC+BC＝13+10＝23，故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．9．（3分）已知直线l及直线l外一点P．如图，（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，从而可对各选项进行判断．【解答】解：连接AQ，BP，如图，由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，∴△OAB≌△OPQ（SAS）；∴∠ABO＝∠PQO，∴PQ∥AB；∵BQ垂直平分PA，∴QP＝QA，若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的判定与性质．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P的坐标为（）A．（3，5） B．（6，6） C．（3，3） D．（3，6）【分析】根据线段垂直平分线的性质得到点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，根据角平分线的性质解答即可．【解答】解：∵点A（0，8），点B（6，8），点P到A，B两点的距离相等，∴点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，∵点P到∠xOy的两边距离相等，∴点P的坐标为（3，3）故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、坐标与图形性质，掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．二、填空题：（每题3分，共24分）.11．（3分）计算：（2ab2）3＝8a3b6．【分析】根据积的乘方，即可解答．【解答】解：（2ab2）3＝8a3b6，故答案为：8a3b6．【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方公式．12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝60°．【分析】根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，由题意得，解得：∠A＝60°，∠B＝30°，故答案为：60°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．13．（3分）若一个正多边形的每一个外角都等于60°，则这个正多边形的边数为6．【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：这个多边形的边数是：360÷60＝6．故答案为：6．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是360度是解题的关键．14．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是10或11．【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．15．（3分）如图，BE与CD交于点A，且∠B＝∠E．请添加一个条件使得△ABC≌△AED，这个条件是：AC＝AD（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】根据三角形全等的判定方法填空．【解答】解：已知∠B＝∠E，∠BAC＝∠EAD（对顶角相等），则添加一组对应边相等即可．故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS），故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．16．（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是18cm．【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝18cm，故答案为：18【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．17．（3分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形则满足条件的点P有5个．【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：①作AB或DC的垂直平分线交l于P；②在长方形内部在l上作点P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作点P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，DC＝PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP＝AB，PD＝DC．【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA＝AB，同理，在l上作点P，使PC＝DC，如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD＝DC，综上所述，符合条件的点P有5个．故答案为：5．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答．18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①BE＝CE；②AD＝CG；③CH＝2BD；④CE＝AE+BH．其中正确结论的序号是①③④．【分析】利用等腰直角三角形的性质可得①是正确的，利用△ABE≌△HCE可判定③④的正确；利用△ABE≌△HCE可得CH＝AB，根据等腰三角形的三线合一可知AB＝2AD，显然CH≠2CG，由此可得②不正确．【解答】解：∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，∴△BEC为等腰直角三角形，∴BE＝CE，∴①正确；∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠DCA+∠A＝90°，∠ABE+∠A＝90°．∴∠DCA＝∠ABE．在△ABE和△HCE中，，∴△ABE≌△HCE（ASA）．∴AB＝CH，AE＝EH．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°．在△ACD和△BCD中，，∴△ACD≌△BCD（ASA）．∴AD＝BD，∴AB＝2BD，∴CH＝2BD．∴③正确；∵BE＝BH+EH，∴BE＝BH+AE．∴EC＝AE+BH．∴④正确；∵EF⊥BC，BE＝EC，∴EF是∠BEC的平分线，∵EH＜EC，∴G不是CH的中点，即CH≠2CG，∵CH＝2BD，∴BD≠CG．∴②不正确．综上，正确的结论为：①③④．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形是性质，角平分线的定义，证明△ABE≌△HCE是解题的关键．三、解答题；（共46分.第19、20、21、22、23题，每题5分；第24题，第25、26题，每题7分）19．（5分）已知：如图，F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：BC＝EF．【分析】证△ABC≌△DEF（SAS），即可得出结论．【解答】证明：∵AF＝CD，∴AF+CF＝CD+CF，即AC＝DF，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明△ABC≌△DEF是解题的关键．20．（5分）如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB＝∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB，在△ACB与△ADB中，，∴△ACB≌△ADB，∴∠C＝∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．21．（7分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．小路的作法如下：①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；②连接AP．请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：∵PQ是AB的垂直平分线∴AP＝BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；∴∠ABC＝∠BAP，（依据：等边对等角）．∴∠APC＝2∠ABC．【分析】作AB的垂直平分线交BC于P点，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝BP，再根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠BAP，然后根据三角形外角性质得到∠APC＝2∠ABC．【解答】解：如图，点P为所作；理由如下：∵PQ是AB的垂直平分线∴AP＝BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；∴∠ABC＝∠BAP，（依据：等边对等角）．∴∠APC＝2∠ABC．故答案为BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22．（7分）如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB与∠ACD的度数．【分析】根据角平分线的定义，由AD平分∠CAE，得∠EAD＝＝72°．根据三角形外角的性质，得∠EAD＝∠B+∠ADB，故∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝42°．根据平角的定义，得∠CAE＝144°，那么∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．【解答】解：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝＝＝72°．∵∠EAD＝∠B+∠ADB，∴∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝72°﹣30°＝42°．∵∠CAE＝144°，∴∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．【点评】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．23．（7分）如图所示，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）作关于△ABC关于x轴的对称图形△DEF，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F），并写出点D坐标；（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得；（2）由AB是定值知△PAB的周长最小即PA+PB最小，据此连接BD，与x轴的交点即为所求．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求，其中点D坐标为（﹣2，﹣4）．（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（2，0）．【点评】此题主要作图﹣轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质．24．（5分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：AE⊥CF；（2）若∠BAE＝25°，求∠ACF的度数．【分析】（1）由HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可解决问题；（2）由等腰直角三角形得出∠ACB＝45°，证明∠BAE＝∠BCF＝25°，即可解决问题．【解答】（1）证明：延长AE交CF于点H，如图所示：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°，在Rt△ABE与Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE＝∠BCF，∵∠F+∠BCF＝90°，∴∠BAE+∠F＝90°，∴∠AHF＝90°，∴AE⊥CF；（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，由（1）得：△ABE≌△CBF，∴∠BAE＝∠BCF＝25°，∴∠ACF＝45°+25°＝70°．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．25．（5分）已知：在△ABC中，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．如图，延长BC到点F，使得CF＝BC．连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF．【分析】证△BCD≌△FCE（SAS），得出∠DBC＝∠EFC，再证BD∥EF，即可得出结论．【解答】证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．26．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，点E在△ABC内部，连结AE，BE，CE，其中AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．（1）求∠AEB的度数；（2）试判断△BEC的形状，并说明理由．【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABD+∠BAD＝90°，根据角平分线的定义得∠ABE+∠BAE＝（∠ABD+∠BAD）＝45°，由三角形的内角和定理即可求解；（2）延长AE交BC于F，根据等腰三角形的性质可得AF⊥BC，BF＝CF，根据线段垂直平分线的性质得BE＝CE，可得∠EBC＝∠ECB，由AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，则∠ABE＝∠ACE，可得∠ACE+∠CAE＝∠ABE+∠BAE＝45°，由三角形的内角和定理得∠AEC＝135°，根据周角的定义可得∠BEC＝90°，即可得出结论．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．∴∠ABE+∠BAE＝（∠ABD+∠BAD）＝45°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝135°；（2）△BEC是等腰直角三角形，理由如下：延长AE交BC于F，∵AB＝AC，AE平分∠BAD，∴AF⊥BC，BF＝CF，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACE，∴∠ACE+∠CAE＝∠ABE+∠BAE＝45°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝180°﹣（∠ACE+∠CAE）＝135°，∴∠BEC＝360°﹣∠AEB﹣∠AEC＝90°，∴△BEC是等腰直角三角形．【点评】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．四、附加卷（10分）27．（3分）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由角平分线上的点到角两边的距离相等．．【分析】由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答．【解答】解：理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等．【点评】此题考查角平分线的性质：熟练掌握角平分线上的任意一点到角的两边距离相等是解题的关