用空间向量研究距离、夹角问题 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2

用空间向量研究距离、夹角问题第一章空间向量与立体几何

教学目标(1)学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量法(2)能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题(3)提高分析与推理能力和空间想象能力问题与例题问题一、立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何用空间向量解决这些问题呢？问题1、如何利用向量法求点到直线的距离？思考：u怎么求？问题2、类比点到直线的距离，如何求两条平行直线之间的距离？转化为点到直线的距离例1、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为DD1、BB1的中点，求（1）A1到直线B1E的距离（2）直线FC1到直线AE的距离EF变式练习求点B到直线B1E的距离问题3、如何利用向量法求点到平面的距离？问题4、类比利用向量法求点到平面的距离，如何求直线到平面、平面到平面的距离？转化为点到平面的距离例2、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求：（1）B到直线A1C1的距离（2）D1到平面A1BD的距离．（3）D1C到平面A1BD的距离（4）平面A1BD与平面B1CD1间的距离变式练习1、如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点（1）求点B到直线AC1的距离（2）求直线FC到平面AEC1的距离EF2、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离．

问题二、如何利用方向向量、法向量求异面直线的夹角、直线与平面所成夹角、平面与平面夹角、二面角？1、异面直线的夹角范围：[0°,90°]2、直线与平面的夹角范围：[0°,90°]3、平面与平面的夹角范围：[0°,90°]C1PACBA1B1QR

例题3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1。求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值1.已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝

，则l与α所成的角为（

）A.30° B.60° C.150° D.120°变式练习B2.已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为____.3.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求（1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值（2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值（3）平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．课堂小结1、向量法求点到直线（平行直线）的距离．2、向量法求点到平面（直线到平面、平面到平面）的距离．3、向量法求直线与直线、直线与平面、平面