一本书搞定圆锥曲线（处理标题）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑相关信息作业帮一课主编一课名师精讲一本书搞定圆锥曲线目录第一章椭圆第一定义与焦点三角形1第二章椭圆第二定义与焦半径公式19第三章椭圆第三定义与直径34第四章根与系数关系53第五章椭圆的切线94第六章极点与极线109第七章椭圆第四定义与射影变换129第八章二次曲线系152附录1双曲线的性质168附录2抛物线的性质172参考答案174性质索引性质01:椭圆的第一定义6性质02:椭圆的焦半径6性质03:椭圆焦点三角形的旁心轨迹8性质04:椭圆的焦点三角形8性质05:厄克特四边形定理10性质06:椭圆第一焦半径公式20性质07:椭圆的准线与第二定义20性质08:椭圆第二焦半径公式22性质09:互相垂直的焦点弦23性质10:互补焦半径24性质11:焦点弦的中垂线24性质12:一个存心思的轨迹问题25性质13:椭圆的直径与第三定义35性质14:点差法35性质15:共轭直径点的设法37性质16:共轭直径的平方和37性质17:椭圆内接平行四边形的面积37性质18:共轭直径的线性组合38性质19:与共轭直径相切的圆39性质20:椭圆的垂直直径40性质21:椭圆硬解定理54性质22:直线与椭圆圆相切的充要条件55性质23:直线型的根与系数关系56性质24:圆幂定理之推广56性质25:四点共圆的充要条件57性质26:四点共圆的推论58性质27:四点共圆的参数形式58性质28:椭圆的切线方程95性质29:一个重要的垂直96性质30:切点弦方程97性质31:椭圆切线的光学性质97性质32:两焦点到切线的距离之积为定值99性质33:焦点在切线上的投影轨迹100性质34:蒙日圆100性质35:彭赛列小定理102性质36:一个角分线103性质37:定比点差法110性质38:定比点差法逆应用111性质39:调和性与共线性112性质40:配对关系113性质41:极线就是切点弦114性质42:调和线束116性质43:等差数列117性质44:一个美好的比例117性质45:面积比为定值120性质46:斜率转移函数130性质47:椭圆上的交比131性质48:射影变换与其陪同函数132性质49:射影轴133性质50:帕斯卡定理134性质51:加法结合律135性质52;平行弦的参数表示136性质53:内接六边形136性质54:加法结合律(无穷远直线情况)137性质55:对合变换的逆命题140性质56:对合中央140性质57:对合变换142性质58:过定点问题142性质59:对合变换的复合143性质60:二次曲线的仿射分类154性质61:二次曲线的陪同矩阵与可约性155性质62:二重点与可约性155性质63:二次曲线在某点处的切线156性质64:直线与二次曲线相切的充要条件156性质65:Bezout定理158性质66:二次曲线系定理158性质67:蝴蝶定理159性质68:Cayley-Bacharach定理160性质69:帕斯卡定理161第1章椭圆第一定义与焦点三角形数海巡航圆锥曲线发展简史一、三大几何问题早在公元前5世纪,古希腊诡辩学派的数学家就总结出了影响后世数学2400多年的三大几何问题:“化圆为方”问题，即用尺规作一正方形，使其与给定的圆的面积相等;“倍立方体”问题,即给定立方体的一边,用尺规作另一正方体,使后者体积两倍于前者;以及“三等分随意角”问题，即用尺规三等分随意角.这些闻名作图问题的起因有各种说法，比如，关于“化圆为方”问题，有人提出如下一种说法.在古希腊的时候有一个学者叫安拉克萨哥拉(Anaxagoras,公元前1500年一公元前428年），他提出太阳是一个庞大的火球.从现在看来，它绝对符合客观事实，但在当初，人们都相信神话中的说法,认为太阳是神灵阿巴罗的化身.于是安拉克萨哥拉被判定为亵渎神灵,被判处死刑投到了牢狱中.在等待执行的日子里，他依然在思量着关于宇宙和万物的问题，固然也包括数知识题.一天晚上，他看到圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，他心中一动，想到：倘若已知一个圆的面积，那么，怎样做出一个正方形来，才干使它的面积恰好等于这个圆的面积呢?这个问题看似容易,却难住了安拉克萨哥拉.在古希腊,对作图工具举行了限制,只允许使用直尺和圆规.安拉克萨哥拉向来在思量这个问题，甚至忘了自己是一个待处决的犯人.到了后来,受到好朋友伯利克里(当初出色的政治家)的营救，脱离了牢狱之苦.然而这个问题，他自己没能够解决，囫囵古希腊的数学家也没能解决，成为历史上闻名的三大几何难题之一.在之后的两千多年里,也有无数的数学家对此做了论证,可一直没有得到答案.再如,关于“倍立方体”问题,有人给出的一种说法是:得洛斯地方的人遭遇瘟疫,求教于巫神,巫神告诉他们应该把现有的立方祭坛的体积加倍,但不改变祭坛的形状.得洛斯人解决不了这个问题,于是就去找柏拉图（l’lato,公元前427年一公元前347年），柏拉图告诉他们说巫神之意并不在于要双倍大的祭坛,而只是借此谴责希腊人不重视数学.可惜,后来柏拉图也没能解决“倍立方体”问题.柏拉图是他那个时代最有知识的人，但他不是数学家，不过他热衷于这门学科,并深信其对哲学和宇宙有重要作用,公元前4世纪时的几乎所有重要的数学工作都是柏拉图的朋友和学生研究出来的.实际上,这三大几何问题是希腊人在解出了一些作图题之后的引申，因随意角可二等分,天然就想试试三等分.因以正方形的对角线为一边的正方形有两倍于前者的面积，就理所固然地提出相应的立方体问题.至于化圆为方，它是希腊人求作一定形状的图形与给定图形等面积这类问题中的典型问题.此外还有求作正七边形或更多边数的正多边形问题就不那么闻名了.但这也是在作出正方形、正五边形、正六边形之后引申出来的问题.古希腊三大几何作图问题,是数学史上璀璨的一笔，历史上无数数学家为之折腰，但依然前仆后继.这三大几何问题催生了一大批数学发现,圆锥曲线、数论、群论的产生都与之有关.这里值得一提的是三大几何问题的总算归宿:它们都被证实是不可能的问题.1837年，法国数学家旺策尔(Wantzel,1814一1848)给出了三等分随意角及倍立方体不可用尺规作图的证实.1882年德国数学家林德曼(Lindemann,1852一1939)证实了化圆为方用尺规作图的不可能性.二、柏拉图学派柏拉图出身名门，早年有政治理想，但苏格拉底(Socates，公元前469年一公元前399年)的命运使他相信有良心的人不能搞政治.他游历过埃及并在意大利南部交游于毕达哥拉斯派学者之间，毕达哥拉斯学派的学者教过柏拉图，所以柏拉图学派受到毕达哥拉斯学派的强烈影响.公元前387年左右，柏拉图在雅典成立柏拉图学院，这个学院在无数方面和现代的大学很类似，学院有场地、房屋、林地、散步小径、健身房、学生，并有柏拉图及其助手讲授的正式课程.柏拉图在学院门楣上铭刻了“不习几何者不得入内”这一警句.柏拉图学院最闻名的学生是亚里士多德(Aristotle,公元前384年一公元前322年).在古典希腊时期(公元前510一公元前323),数学和哲学是学院里最受爱慕的学科;囫囵亚历山大时代(公元前323一公元前31),学院依然领导着哲学界.学院维持了900年之久,直到529年,因它传授“异端邪说”,被信奉基督教的罗马王(Justinianus,483-565)查封.在数学上,柏拉图派的最重要发现是圆锥曲线.古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus,公元前375一公元前325)是柏拉图学派中的一员,也是欧多克索斯(Eudoxus,约公元前400一约公元前347年)的学生.欧多克索斯是古希腊时代最伟大的数学家,并在囫囵古代仅次于阿基米德(Archimedes,公元前287年一公元前212年).梅内克缪斯是这样定义圆雉曲线的:利用三种圆雉,直角的、钝角的和锐角的圆锥,再用垂直于锥面一条母线的平面来截每个锥面，分离得到了三类圆锥曲线:“直角圆锥曲线”“锐角圆锥曲线”“钝角圆锥曲线”,即今天之抛物线、椭圆、一支等轴双曲线.当初,他只知道双曲线的一支.而后,梅内克缪斯利用一条抛物线和一条双曲线的交点去解决立方倍体问题,一条抛物线和一条双曲线方程分离是x其交点的横坐标即满意x3梅内克缪斯曾当过当初亚历山大大帝(AlexandertheGreat,公元前356一公元前323)的教师,亚历山大问梅内克缪斯,是否可以专门为他把几何搞得容易一些.梅内克缪斯则回答说:“在大王的国家里有老百姓走的小路，也有国王您走的大道，然而在几何里却惟独一条道路.’三、阿波罗尼斯及其《圆锥曲线》何其幸哉!古希腊时期（公元前510一公元前323年）学者们数学工作的精华，幸运地在欧几里得和阿波罗尼斯两个人的著作中流传至今.他们的著作《几何原本》和《圆锥曲线》堪称“古希腊双壁”,这两本书其实都可以视作对古希腊时期数学成绩的一个总结.欧几里得(Euclid,公元前330一公元前275年)和阿波罗尼斯(ApolloniusofPerga,约公元前262一公元前190年)据说都是柏拉图学院的学生.据说，阿波罗尼斯曾在亚历山大城与欧几里得的门徒相处很久，阿波罗尼斯也承认在他编写的8篇《圆锥曲线》中，前4篇就是欧几里得写的《圆锥曲线论》的修订本.阿波罗尼斯处理圆锥曲线的主意与梅内克缪斯、欧几里得、阿基米德等前人的方式不同，他不是用三个圆锥，而是一个圆锥，只要改变截面的位置就能产生三种曲线.他最先发现双曲线是有心曲线,并有两个分支.阿波罗尼斯的主要成就是建立了完美的圆锥曲线论，总结了前人在这方面的工作，再加上自己的研究成绩，撰成《圆锥曲线》8卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽,以致后代学者在1800年间对圆锥曲线的性质几乎没有插足的余地.因此,阿波罗尼斯和欧几里得、阿基米德合称为“亚历山大前期三大数学家”（亚历山大前期约为公元前300年到公元前200年,是古希腊数学的“黄金时代”),《圆锥曲线》和《几何原本》并称为古希腊数学的两大著作.《圆锥曲线》共8卷，487个命题，包括:第1卷，圆锥曲线的定义、性质;第2卷,双曲线、渐近线的作法、性质,由此引入共轭双曲线,求圆锥曲线的直径及中心、轴;第3卷,圆锥曲线与其切线、直径所成图形的面积，极点极线的调和性，焦点的性质;第4卷,极点极线的其他性质,各种位置的圆锥曲线可能有的交点数;第5卷，从特定点到圆锥曲线所能作的最长线和最短线;第6卷，全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形;第7卷,有心圆锥曲线两共轭直径;第8卷，失传，大概是关于怎样定出有心圆锥曲线的共轭直径，使其长度的某些函数具有给定的值.阿波罗尼斯的《圆锥曲线》中没有谈到准线，但是圆锥曲线为到定点(焦点)距离与到定直线(准线)的距离之比为常数的点的轨迹,欧几里得是知道的,并由公元4世纪左右的数学家帕普斯(Pappus)在其《数学汇编》中予以论述并证实,并且阐述了离心率.圆e=椭圆e=抛物线e=双曲线e=准线e=∞公元前146年亚历山大被罗马人占领，希腊学者们固然仍能继续研究，然而已没有他们的先辈那种气势雄伟、一往无前的创作精神，公理几何的活力逐渐凋萎.希腊文化渐有衰退之势,文化中央慢慢移到印度、阿拉伯等地.在阿波罗尼斯的《圆雉曲线》问世后的1800年里,囫囵数学界对圆锥曲线的研究没有什么发展.四、圆雉曲线第一定义直到16世纪，有两件事促使人们对圆锥曲线做进一步的研究.第一件事是，德国数学家开普勒(JohannesKepler,1571-1630)继承了哥白尼(NikolajKopernik,1473-1543)的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕太阳运行，这样圆锥曲线成为天体运动的普遍形式，弥漫了奥秘,而且开普勒本人的几何思想异常厉害.第二件事是,意大利物理学家伽利略(GalileoGali-lei,1564一1642)得出斜抛运动的轨道是抛物线，突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古希腊人的证实主意太缺乏普通性，几乎每个定理都是要想出一个异常的证实主意.于是，对圆锥曲线的处理主意开始有了变化.1579年，意大利画家蒙蒂(GuidobaldodelMonte,1545一1607)把椭圆定义为到两定点的距离之和为定长的点的轨迹，改变了以往“圆锥曲线是平面与圆锥的截线”的定义方式.法国数学家洛必达(1661-1704)继承了蒙蒂对椭圆的定义,并借助迪尔卡(Descartes,1596-1650)解析几何的思想，推导了椭圆方程，其做法与今天的教材相仿.1822年,法国数学家Dandelin(1794-1847)在一篇论文中利用举世闻名的Dandelin双球，直接在圆锥上作出了椭圆截面的焦点.性质精讲P01椭圆的第一定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(要求该常数大于F1普通地,这两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距,记作2c在平面直角坐标系中,以焦点的中点为原点,以焦点所在直线为x轴,建立直角坐标系,可以推导出椭圆的方程为x其中,b2注重,对椭圆而言,这里符号a,b,c是固定的;若焦点在y轴上y性质01椭圆上任何一个点到其焦点的距离之和是定值.P02椭圆的焦半径椭圆上随意一点与焦点的连线段称为椭圆的焦半径.性质02在椭圆中,以焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆内切.(4)如图,设焦半径PF1的中点为M,长轴的中点为O,则OM为两圆圆心距,记r即证,r2衔接PF2,衔接易知OM=从而只需证,a-即证,PF这正巧是椭圆的定义.证毕.P03椭圆焦点三角形的旁心轨迹性质03椭圆焦点三角形关于焦半径的旁心位于过长轴端点且垂直于长轴的直线上，即在椭圆中,以A1,A2为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2在边P行明设圆与三边切于B,C,D则F1由切线长定理易得F1B2按照定义可得2c+2所以n=a-c,即CP04椭圆的焦点三角形以椭圆上一点和椭圆的两焦点为顶点的三角形称为焦点三角形.焦点三角形具有无数优美的性质.性质04设P为椭圆上的一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=θ(1)PF1P(3)e=sin证实(1)在△PF1F2中,按照余弦定理收拾得cos即cos即P(2)由(1)可知S化简得S又S至此得到三个焦点三角形面积公式S(3)按照正弦定理,得PF1P即sin(4)利用(1)结论,结合均值不等式,可得P即cos1sinP05厄克特四边形定理澳大利亚数学家厄克特(M.L.Urquhart,1902-1966)提出了一个“最基本的欧氏几何定理”,现在被叫作厄克特四边形定理(Urquhart’sQuadrilateralTheorem),这个定理可以用椭圆语言举行描述.性质05设Γ是以F1,F2为焦点的椭圆,A,B是Γ上的两个点,且分布在长轴两侧,直线AF1与BF2交于点D,直线AF2与BF1解明先证实一个引理,在△ABC中,A,B,C所对的边分离b这是因为b====现在来证实厄克特定理,如图,设∠AF1F2=α,∠AF2当且仅当CF当且仅当1+tan当且仅当tanγ当且仅当tanγ当且仅当tany2当且仅当1+tan当且仅当BF1+B经典例题【题型01】利用椭圆定义判定轨迹形状若定点的轨迹符合某一已知曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可按照定义直接求出轨迹方程.使用定义求轨迹方程时要注重变量的取值范围.Q001.已知动点Px,y满意x2+y+32+x2解代数式x2+y+32可以理解为点Px2+y-32可以理解为点Px2+y+3即P的轨迹是长轴长2a=10,焦距为2c=6的椭圆,又注重到其焦点在y轴上,所以Q002.下列说法准确的是_______.(将所有准确说法的序号都填上)(1)已知定点F1-1,0,F21,0,(2)已知定点F1-2,0,F22,0,(3)到定点F1-3(4)若点P到定点F1-4,0,F24,0的距离之和等于点M5,解1PF1+PF2=2(2)PF1+PF2=4=(3)到定点F1,F2距离相等的点的轨迹为(4)PF1+PF2=综上,准确答案为(2)(4).Q003.给定圆O及圆O内一点P,动圆C过点P且与圆O相切,则圆C的圆心轨迹是()A.圆B.椭圆C.圆或椭圆D.线段解零如图,设大圆的半径为R,则R是定值.设动圆C与圆O相切于Q,则C所以点C的轨迹是以P,O本题答案选C.Q004、平面截圆柱得到一个封闭曲线，求证:若平面不垂直于圆柱的母线，则此封闭曲线是椭圆.解如图,平面α与圆柱L相交.作球O1,O2内切于圆柱L,且分离与平面α相切于点F1,F2,因为平面不垂直于圆柱的母线,从而F1,F2不重合因为PF1,PF1'所以PF因为PF2,PF2'所以PF从而,PF1+于是，若平面α与圆柱L斜交的截线是以F1,F【题型02】利用椭圆定义求线段和与差的范围椭圆的两个焦半径之和是定值.当题目中浮上与动焦半径有关的线段和与差的最值问题时,可以考虑举行转化,然后利用两边之和大于第三边或两边之差小于第三边来解决.Q005.已知A2,3,F1是椭圆x216+y212=1解答设椭圆的右焦点为F2,则PA而A故PA+即PA+PF1的取值【题型03】焦点三角形与离心率在焦点三角形△PF1F2中,e此外,P越逼近短轴的端点,θ越大.当θ最大时,e=sinθ2;其他情况Q006.椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0,左、右焦点分离是F1,F2,焦距为解答由条件知,直线y=3x+c恰是直线M因为∠M所以∠M所以∠F所以e=Q007.椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0,左、右焦点分离是F1，F2,过CS在焦点三角形AF1F2中,由条件eQ008.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A-4,0和C4x解由条件,sinAQ009.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且解设∠PF1F2,∠PF2F数之和为sinβ故本题答案为43Q010.椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分离为解设∠F1MF2=θ,满意条件的点M存在当且仅当由e的性质sinθ2≤e<所以e的范围是22【题型04】焦点三角形的面积在焦点三角形△PF1F2中,设∠F1PF2=θ,则S△PF1Q011.已知P是椭圆x29+y25=1上的一点,椭圆左、右焦点分离为F1,F2,若∠F1PF解答一方面,S△另一方面,S△F,PF所以yP另一方面,S△F,PF1=r⋅a+所以,r=从而,P到x轴的距离为52,△P巩固练习EX01.已知圆C:x+32+y2=4,圆D:x-32+yA.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆EX02.已知F1,F2分离是椭圆的左、右焦点,A是椭圆x24+y2=1上一动点,圆C与F1A的延伸线,F1F2A.t=2C.t<2D.t与2EX03.已知椭圆的标准方程是x2a2+y225=1a>5,它的两焦点分离是F1,F2,且EX04.已知A,B为双曲线E的左,右焦点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120∘,则EX05.已知椭圆x29+y25=1,P1,1为椭圆内一点,F1EX06.已知椭圆C:x29+y24=1,左右焦点分离为F1,F2,过F1的直线EX07.椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上EX08.设P为椭圆x2a2+yb22=1a>b>EX09.设椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点分离是F1EX10.椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0,左、右焦点分离EX11.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=90∘EX12.椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0EX13.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x225+y29=1的左、右焦点分別是F1,F2,PEX14.x2a2+y2b2=1a>EX15.已知P为椭圆x24+y2=1上一点,F1,F2分离是椭圆的两个焦点.EX16.设P是椭圆x24+y23=1上的一点,△EX17.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分离为F1,F2,P是椭圆上非长轴顶点的一点,∠EX18.已知椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点分离为F1,F2,P是椭圆上的一点,△PF1F2的内切圆圆心为I,延伸A.eB.1C.1eD.与P第2章椭圆第二定义与焦半径公式数海巡航解析几何与射影几何161̃7世纪，天文、航海、力学等方面都堆积了大量数学经验，人们在研究天文、地理的时候,提出了点的位置可由两个“坐标”(经度和纬度)来决定的思想.1637年,法国的哲学家、数学家、物理学家、神学家笛卡尔(Descartes,1596-1650)发表了他的著作《主意论》，笛卡尔的中央思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来.他设想，把任何数知识题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式，为了实现上述设想，笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对x,y的对应关系.x,y的不同数值可以决定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的主意研究曲线的性质.这就是解析几何的基本思想.此外,解析几何的创立中,几乎和解析几何同时，还有一门几何学浮上于人们的面前.这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注重，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起,给这门几何学的产生和成长决定了充足的条件.这门几何学就是射影几何学、其实,阿波罗尼斯把二次曲线作为圆锥面截线来研究，用射影几何的观点看，就是把圆锥曲线认为是圆在射影变换下的象.德国天文学家开普勒最早引进了无穷远点的概念,后来法国数学家、建造师笛沙格(Desargues,1591-1661)建立了统一的二次曲线理论,他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作,费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人.法国数学家、物理学家、哲学家、散文家帕斯卡(BlaisePascal,1623-1662)16岁时发现闻名的帕斯卡六边形定理,17岁时写成研究笛沙格射影几何工作心得的论文《圆锥曲线论》,是自希腊阿波罗尼斯以来圆雉曲线论的最大长进.性质精讲P06椭圆第一焦半径公式椭圆上的一点与焦点的连线段称为椭圆的焦半径，焦半径大小会随着点的变化而变化，下面性质给出了焦半径变化的逻辑.性质06设F1,F2分离为椭圆x2a2+y2bP其中,e=ca证实因为PF又点P在椭圆上,即x02a2+yP===又因为-a≤x0≤同理可得到PFP07椭圆的准线与椭圆的第二定义设F1,F2分离为椭圆x2a2+y2b2=1a>bP==即P上式中,x0--a2c可以理解为点Px0,y0到直线性质07椭圆x2a2+y2b2率e.椭圆x2a2+y2b2=1上随意直线x=-a2c和直线x=a2c称为椭圆x2a2+y2所以,椭圆可以视为“到定点的距离与定直线的距离之比为常数的动点的轨迹,其中常数小于1”,这就是椭圆的第二定义.P08椭圆第二焦半径公式设F1是椭圆x2a2+y2b2=1的左焦点,K是椭圆的左准点(即左准线与长轴的交点),O是椭圆的中央,P为椭圆上随意一点,向量F1P与F1O的夹角为θ.设PH一方面，KH另一方面，KH所以,r解得,r这就是椭圆的第二焦半径公式.性质08设F是椭圆x2a2+y2b2=1的焦点,O是椭圆的中央,PFO的夹角为θ,那么r=P09椭圆的焦点弦椭圆过焦点的弦,简称焦点弦.设AB是经过椭圆x2a2+y2b2=1焦点F的焦点弦,那么FA.FB与FO的辐角互补（如下左图）.设AB与长轴的夹角为θ,于是,FA和FB一个长度若为b2a1-ecosAB在椭圆的焦点弦中,过椭圆的焦点且垂直于椭圆长轴的弦(如上右图中的AB),称为椭圆的通径.在焦点弦的弦长公式中,令θ=90∘,得到通径的长度为性质09在椭圆中,两条互相垂直的焦点弦,其倒数和是定值.证实设焦点弦AB⊥CD,AB的倾斜角为θ,则CD于是,AB=于是,CD=于是,1是定值.性质10在椭圆中,设AB是过焦点F的焦点弦AB,则1AF+1证实设AB是经过椭圆x2a2+y2设AB与长轴的夹角为θ,设AF=于是,1AF+1BF性质11在椭圆中,焦点弦中垂线与长轴的交点与该焦点的距离与焦点弦长度之比为e2行明设C为焦点弦AB的中点,R在长轴上,CR垂直平分AB,设AB所在直线的倾斜角为θ,则AB==RF===性质12设F1,F2分离是椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P椭圆C上异于长轴端点的一点.直线PF1与椭圆交于异于P的另一点M,直线PF2与椭圆交于异于P的另一点N.直线解明如图,设PF1=x,AN=对△PF1N及割线Mw解得m同理n从而m===因为1x+1y=因为1z+1w=所以,xy所以,m+从而A位于以F1,F2为焦点的新椭圆上,新椭圆的长轴长为2a⋅1+3e23+经典例题【题型05】椭圆第一焦半径公式Q012.椭圆M:x2a2+y2b2=1PF1⋅PF2最大值取值范围为2c2,解答设Px0,y0P所以PF1⋅PF则2c同除以a2,可得2所以33≤e≤2Q013.椭圆x24+y23=1的左、右焦点分离为F1B+F解合由条件,xA+1+xF===【题型06】椭圆的准线Q014.已知椭圆x29+y25=1,P1,1为椭圆内一点,F1解答如图,从点M向直线x=-92作垂线,垂足为M1,则MF1M2=≥本题答案为11.Q015.在平面直角坐标系中,若方程mx2+y2+解合显然m>0,m即x2而x2+y+12可以理解为点x,x-2y+312+22上述距离之比为椭圆的离心率，即e因为e<1,所以Q016.求证:以椭圆焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.解答如图,设过焦点F1的焦点弦PQ的中点为M,设F1对应的准线是l1,由P,M,Q向l1作垂线,P上式中,PF1+QF12是圆的半径,M【题型07】椭圆第二焦半径公式Q017.设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F,过点F(1)求椭圆C的离心率;(2)倘若AB=154,求椭圆C解(1)由条件得,b2a1-ecos60∘=(2)由条件2b2a1-e2cos2θ=154,即3,b2=5Q018.已知M,N是椭圆x22+y动点,直线MF1与直线NF2平行,直线MF2与直线(1)若MF1-NF2=62(2)求证:PF1+解答(1)设直线MF1的倾斜角为θA从而,12解得,cosθ=63,从而直线MF(2)直线MF1与直线NF2平行,即,NF即,PF同理可得,PF于是,P======即PF1+Q019.已知椭圆x23+y22=1的左右焦点分离为F1,F2，过F1的直线交椭圆于B,D两点，过F(1)设P点的坐标为x0,y0,(2)求四边形ABCD的面积的最小值.解答(1)由条件知,P位于以F1F2为直径的圆上,从而x(2)因为四边形ABCD的对角线互相垂直,所以其面积为对角线乘积的一半,即SABCD=又因为AC和BD是互相垂直的焦点弦,故1AC+1BD从而,53即,AC⋅故,SABCD=12⋅Q020.设F1是椭圆x2a2+y2b2=1的焦点,于点A,B,C点,求证:解答可设F1A与F1O的夹角为FFF于是,1即1F1A巩固练习EX19.设椭圆x24+y23=1的左、右焦点分离为F1,F2,点A,BEX20.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,}中点A,B在抛物线上,点C在y轴上A.BF-1AF-1B.EX21.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30∘的直线交C于A,B两点,O为坐A.334B.938EX22.倾斜角为60∘的直线l经过抛物线y2=2pxp>0的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,AEX23.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延伸线交C于点D,且BF=2FD,则EX24.如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为22,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为42+1.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)证实直线PF1和PF(3)是否存在常数λ,使得AB+CD=λAB⋅CD恒成立?若存在,求第3章椭圆第三定义与直径数海巡航欧拉和《无穷分析引论》欧拉(Euler,1707-1783),无论怎么嘲笑他在数学上的功业都不为过.欧拉于1745年发表了《无穷分析引论》，这部书是被誉为“七部影响世界数学历史发展”的奇书.高斯(Gauss,1777-1855)说,学习欧拉的著作,乃是认识数学最好的工具.拉普拉斯说,读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师.《无穷分析引论》一反古希腊以来的传统，否决把几何学作为数学的基础，并以纯粹的形式研究函数,从而将微积分从几何中解放出来,将它建立在算术和代数之上,为基于实数系统的分析学严密化开辟了准确的道路.《无穷分析引论》上册主要研究函数,下册主要研究曲线的理论，并涉及高次平面曲线、曲面理论，参数化主意，曲面与曲面的交线等问题.《无穷分析引论》中的数学符号被采用至今，例如天然对数e,圆周率π,虚数单位i,函数符号f,复数变量z,都已成为我们今天使用的标准数学符号.直到今天,学有余力的高中生、大学生，参读《无穷分析引论》，仍可以获益无穷.性质精讲P13椭圆的直径与第三定义对圆而言，直径所对的圆周角为直角，所以圆上的随意一点与直径两端点连线的斜率之积为定值-1(只要斜率存在).那么对于椭圆有类似的性质吗?答案是绝对的、经过椭圆中央的弦称为椭圆的直径.椭圆直径的长度不是固定的，其所对的“椭圆周角”也不是90∘,但是,椭圆的直径却有无数性质.性质13设AB为椭圆x2a2+y2b2=1的随意一条直径,动点Pk解明设Pacosk===-反过来讲，圆可以视作对两定点的视角为直角的动点轨迹，即与两定点连线的斜率之积为-1的动点轨迹是圆(有两个或四个例外点).与之类似,椭圆也可以这样定义:与两定点连线的斜率之积为常数的动点轨迹是椭圆,其中常数是不为-1的负数.这又称为椭圆的第三定义.注重,在第三定义中,动点的轨迹是椭圆去掉两个或四个例外点.P14点差法在平面几何中,有一个闻名的“垂径定理”,它表明圆心和弦中点的连线垂直于弦.即圆心和弦中点的连线与弦的斜率之积为-1(只要斜率存在),在椭圆中也有类似的结论.性质14设AB为椭圆x2a2+y2b2=1的一条不通过中央的弦,O是椭圆中央kAB,kOM都存在,行明主意一:作B关于O的对称点,记为P,则OM是△APB的中位线,且PB径,于是kAB主意二:设Ax1x两式相减得,x使用平方差公式得,x即，b即,k上述主意二被称为“点差法”,点差法及其结论kAB⋅kOM=-b2a2是圆的垂径定理的类比,在解决椭圆弦中点问题中有较多用处.正因如此,以后文中,也把线段OM称为弦P15椭圆的共轭直径按照上面的研究,kAB⋅kOH=-b2a2,所以保持弦AB的斜率不变,其中点M与椭圆中央0连线的斜率也将不变,从而中点将位于通过原点的一条直线上,即:一族平行弦的中点轨迹恰是椭圆的一条直径.这样,设AB是椭圆的一条直径,则与之平行或重合的所有弦的中点的轨迹是椭圆另一条直径CD,则CD称为AB的共轭直径.设AB,Aacosk收拾得,cos从而,α即参数α,β相差参数相差90∘,斜率之积为定值-b2a性质15设AB,CD为椭圆的一对共轭直径AC它们满意:x性质16在椭圆x2a2+y2AB证实设AacosOA则AB2+性质17椭圆x2a2+y2b2=证实先推荐一个重要结论:设Ax1,yS这是因为:直线AO的方程为y1所以,点B到直线AO的距离d为d=所以S△此外，该结论还可以按照如下恒等式证实:因为,x1所以,x==所以,x1y2-x所以,S△下面证实本性质.如图，设平行四边形的相邻两顶点为A,B,面积最大即为△AOB面积最大.设S=≤当S△AOB取最大值12ab,即α,β相差90∘时，则平行四边形面积的最大值为2ab性质18设AC,BD是椭圆x2a2+y2b2=1的两条共轭直径，O是原点，点T满意解明设Ax1,y1,λλ因为x故λ2性质19设AB,CD是椭圆x2a2+y2b2=1的两条共轭直径,T在椭圆上,且圆T证实只需证实T到直线OD的距离d为定值.如图,设OT=λOAOA+ODOD,d=====△AOD的面积恒为12ab,且OA2+OD2P20椭圆的垂直直径性质20设AB,CD是椭圆x2a(1)1AB(2)2ab(3)a2证实设OC=r1,OC设OA=r2,OA则Cr1cosα在椭圆上,代入椭圆方程,得rr所以1r因为AB⊥CD,所以α与β相差从而,cos2于是1r从而,1AB经典例题【题型08】点差法结论的应用椭圆上一点与直径两端点的连线之积、弦中点和中央连线为-b2a2，也即e2另外,值得一提的是,斜率之积等于e2-1Q021.设椭圆的中央在原点,且它的一个焦点为7,0,直线y=x-1截椭圆所得弦中点的解由条件知,弦中点为23,-1又按照条件,得a2所以,a2所以,e=Q022.直线l过点M2,1且截椭圆x28+y26=1解答由条件,12⋅kl=-又l经过点2,所以l的方程为3xQ023.已知P是椭圆x2a2+y2b2率之积为-14(2)由条件,e2-1=-1Q024.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=32,A,B分离是椭圆的左、右顶点，点P解由条件知,tanα所以,tanαtanβ是方程x2-x-即,直线PA的斜率为1±Q025.已知椭圆x2a2+y2b2=1的上下顶点分离为A,B,点P是椭圆上异于顶点的随意一点,直线AP,BP解答设AP:从而xN于是OM⋅又因为A,B是直径,所以从而OM⋅Q026.过点-3,0的直线与椭圆x24+y23=1交于解答设AB的中点为Mx,y,从而即,yx收拾得,xx又注重到,x>-所以AB中点的轨迹方程是xxQ027.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x24+y22=1,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,衔接AC,并延伸交椭圆于点B,设直线意k>0,都有解答设Px0,y0从而,kPA于是,kPA又因为AP是直径,所以kPB于是kPB⋅kAP=【题型09】点差法与对称问题Q028.已知直线y=kx+m的斜率不为零,求证:椭圆xkx+m对称的充要条件是解椭圆x2a2+y2b2直线y=kx+m是某条斜率为-直线y=kx+m经过某条斜率为注重到斜率为-1k的弦的中点轨迹是直线y所以,只要直线y=kx+m与直线直线y=kx+m与直线y=从而，m于是，mQ029.设A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上两个不同的点称.直线AB的中垂线记作l.求证:l纵截距的取值范围是-c2取值范围是-c解答设l的方程为y=kx+m,从而椭圆上存在关于lm于是,m2<a2-设l的方程为y=kx-x0,从而椭圆上存在关于k从而,x0于是,x02<a2Q030.一条直线与双曲线交于A,B两点,与这条双曲线的渐近线交于C,DAC=解答由题意知，这条直线不经过原点，否则其与渐近线的交点惟独一个点.当这条直线平行于坐标轴时，结论显然成立.当这条直线不平行坐标轴时,设AB,CD的中点分离是Mkk其中O是双曲线的中央,e是双曲线的离心率.所以koN即AB,CD即AC=Q031.设直线l:y=kx+mk,m∈Z与椭圆x216+y212=1交于不同的两点A,B,与双曲线x24-y解答AC+BD=0当且仅当弦AB、若k≠0且mkk其中e1是椭圆的离心率,e2因为e1≠e2,所以上述两式是不可能的.故,k和(1)k=0,m≠0,此时(2)k≠0,m=0,此时(3)k=0,m=综上所述,共有9条直线满意条件.【题型10】椭圆共轭直径Q032.在平面直角坐标系xOy中,点A,B是椭圆x24+y22=1的两个动点,且直线OA,OB的斜率之积为-12,解由直线OA,OB的斜率之积为-12,故OA,OB所在的直径是一对共轭直径OP==即,a从而，cos于是,15化简得,xP因为a2=4,b即P的轨迹方程是x2Q033.设AC,BD为椭圆的一对共轭直径,P为椭圆上随意一点,求证解设AacosSS△S于是,S△Q034.已知动直线l与椭圆C:x23+y22=1交于积S△OPQ=62,其中(1)证实:x12+x22(2)椭圆C上是否存在三点D,ES若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由S可以得出,sinα即可设,α=则x1同理,y1(2)设Da按照(1)中结论，可得γ三个等式相加,得0=因为k1,k2,即椭圆C上不存在三点D,E,G,Q035.设AC,BD为椭圆的一对共轭直径,M为线段AB的中点,射线OM交椭圆于点POP解答设OP=λOP于是解得λ=2,即OP=【题型11】椭圆的垂直直径Q036.设M,N是椭圆C:4x2+y2=1上两动点,且OM⊥ON,其中解答要证直线MN恒与一个定圆相切，只需证O到直线MN的距离d为定值.注重到△ONM记OM=r1,ON由d⋅得d=从而,1d因为椭圆两条互相垂直的直径平方倒数和为定值,从而1r12+1r22为定值,即d为定值.Q037.在平面直角坐标系xOy中,射线OA,OB,于点A,B,C,求证:解设ArC点Ar1cosθ,r从而,r1于是，1同理。11从而，1=cos=sin于是,O到直线PQ的距离为r1r2巩固练习EX25.已知A2,0,O为坐标原点,动点P(1)求动点P的轨迹方程;(2)过点A且不垂直于坐标轴的直线l交P的轨迹于不同的两点M,N,线段MN的垂直平分线与x轴交于点D,线段MN的中点为II,求DHMNEX26.椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分离为A1,A2,点P在C上且A.12,C.12,EX27.已知A1,A2分离是椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右顶点,点P为椭圆C上一点(与A1,A2不重合A.14B.C.32D.EX28.已知椭圆x220+y216=1的一个顶点为B0,4，直线l交椭圆与M,N两点.EX29.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1与x轴交于A1,A2两点,P是椭圆C上异于A1,A2的随意一点,若直线PA1交直线x=mm>a于点EX30.设A1,A2为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点,与y轴平行的直线交椭圆于EX31.已知椭圆C的离心率为12,且中央在原点,焦点在x轴上,P2,(1)求椭圆C的方程;(2)求∠F1PF2的角平分线所在直线PT的方程,其中(3)椭圆C上是否存在不同的两点M,N,它们关于直线PT对称?若存在,哀求出直线MN的方程;EX32.已知A,B是椭圆C:2x2+3y2=9上两点,点M的坐标为1,0.当EX33.已知椭圆x24+y23=1上存在两点关于直线y=EX34.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b(1)OP2+(2)△OPQ面积的取值范围EX35.在平面直角坐标系xOy中,已知Rx0,y0是椭圆C:x224+y212=1上的任一点,(1)若直线OP,OQ的斜率均存在,并记为k1,k2,(2)试问OP2+OQ2是否为定值?若是,求出该值;EX36.设AC,BD为椭圆的一对共轭直径,P为椭圆上一点,过P作BD,AC的平行线,分离交AC,BD于EX37.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32,直线y=1EX38.在平面直角坐标系xOy中,A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的两点,且OA,OB所在直径为椭圆的共轭直径,点C满意OC=5OA,直线EX39.设A,B为椭圆x22+y2=1上满意△AOB的面积为64的随意两点,E为线段AB的中点，射线OE交椭圆于点PEX40.设直线l:y=kx+m交椭圆x24+y22=1于P,Q两点,T为弦PQ的中点,M-1,0N1,第4章根与系数关系数海巡航代数方程指多项式方程,是代数学中最基本的研究对象之一.其普通形式为:a在19世纪以前,解方程向来是代数学的一个中央问题.二次方程的求解问题历史久远,在巴比伦泥板中就载有二次方程的问题，古希腊人也解出了某些二次方程，而一元二次方程的普通解法是9世纪阿拉伯数学家花拉子米(AI-Khwarizmi,780-850)建立的.对于三次方程以古以来也有无数研究，在巴比伦泥板中就有相当多三次方程的问题.阿基米德也曾研究过方程x3+a=cx2的几何解法.11世纪波斯数学家奥马・海亚姆(OmarKhay-yam,1048(?)-1131(?))创立了用圆锥曲线解三次方程的几何主意.他的工作可以看作是代数和几何相结合的最早尝试.但是三次、四次方程的普通解法(即求根公式),却直到15世纪末还没有被发现.直到16世纪上半叶,三次方程的普通解法才由意大利数学家费罗(1465一1526)、塔尔塔利亚(Tartaglia,1500-1557)和卡尔达诺(Cardano,1501-1576)等研究出来,三次方程的求根公式最早在16世纪末到17世纪上半叶,数学家们还在探讨如何判定方程的正根、负根和复根的个数时,卡尔达诺就指出一个实系数方程的复根是成对浮上的,牛顿在他的《广义算术》中证实了这一事实.研究代数方程的根与系数之间的关系,也是这一时期代数学的重要课题.韦达和牛顿也都在他们的著作中分离讲述了方程根与系数之间的关系，现在称为韦达定理。这些工作在18世纪发展为关于根的对称函数的研究.18世纪以后,数学家们的注重力开始转向寻求五次以上方程的根的解法.经过两个多世纪的努力,在欧拉、拉格朗日(Lagrange,1736-1813)、鲁菲尼(Ruffini,1756-1822)等人工作的基础上,在19世纪上半叶,阿贝尔(Abel,1802→1829)和伽罗瓦(Galois,1811一1832)几乎同时证实了五次以上的方程不能用公式求解.他们的工作开创了用群论的主意来研究代数方程对代数方程理论的研究,使数学家们引进了在近世代数中具有重要意义的新概念,这些新概念很快就被发展为有广泛应用的代数理论.性质精讲P21椭圆硬解定理处理直线和椭圆位置关系的相关问题时，通常将直线的方程与椭圆举行联立，然后利用根与系数的关系来解决.这时,步骤和主意往往大同小异,而又比较繁杂.所以这里给大家总结下解题时常常需要的结果记住后,可以大大节约计算时光.这些结果被称为“椭圆硬解定理”性质21直线y=kx+m与椭圆x2a2+a(1)Δ=4(3)x1x(5)y1y证实将直线y=kx+m带入椭圆方程x2aa由韦达定理可知x又因为y1=yyxΔ=性质22已知直线Ax+By+C=0(1)当A2a(2)当A2a2+B(3)当A2a2异常地,直线y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2(1)当B=0时,容易(2)当B≠0时,y=-AΔ=4a2主意二:设椭圆上一点PacosAa即Aa即A2a2P22椭圆的双切线问题解析几何中,有8大类基础问题和6大类额外问题.其中,8大类基础问题包括:(1)中点,(2)弦长,(3)面积,(4)垂直,(5)共线,(7)定点,(2)定值;6大类额外问题包括:(1)斜率型根与系数关系,(2)共圆问题,(3)多次韦达定理,(4)设点,(5)二次曲线的参数化,(6)几何转化.除了“设点”及“几何转化”外,其余12类问题,均会涉及根与系数的关系.性质23设Px0,y0是椭圆x2a2+y2b2=1外一点a证实由前面的性质知,直线y=kx+y0-k当且仅当a2当且仅当a2-xP23四点共圆问题椭圆上的四点共圆问题，有很柔美的结论.性质24设m,n是两条固定的直线,Γ是一个固定的椭圆.P是不在椭圆上的一个动点,过P作平行于m的直线与椭圆交于M1,M2,过P作平行于那么PM1⋅证实设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,P的坐标为x=x0+tcos带入椭圆方程为x收拾得 cos设上述关于t的方程的两个根为t1,PA据此,在本题中,设m的倾斜角为α,n的倾斜角为βP上式和Px0,性质25设A,B,C,D是椭圆上的四个点，且直线AB与直线CD不平行，那么AB,异常地,AB与CD,AC与BD,AD与BC通设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,AB与CD交于点于是PA注重到α,β∈[0,于是AB,CD当且仅当α当且仅当sin当且仅当PA当且仅当A,B,性质26设P是椭圆x2a2+y2b2=1上的定点.椭圆上的两个动点A,B使直线1由前面可知,直线PA,PB的斜率互为相反数,故直线PP,AB处的斜率也互为相反数,其中PP是椭圆在性质27设Aiacosti,bsintii=1,2,行明按照前面的研究，这四点共圆当且仅当A1A2,A3AAA故当且仅当a当且仅当cos当且仅当2=当且仅当sin当且仅当sin当且仅当t经典例题【题型12】中点与弦长中点问题及相关的对称问题,使用点差法可以迅速解决,所以这里仅有一个弦长的题.对于点Ax1,y1,Bx2,AB===于是得到公式AB=1+k2Q040.已知椭圆G:x24+y2=1,过点m,0作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.将证实设直线l的方程为y=kx-km,注重到直线l与圆所以,km1所以,1+所以,k2于是,AB======≤=故AB的最大值为2,此时m2+3=2【题型13】面积计算△ABC的面积时,常使用三个主意(1)S△ABC=1(2)S△ABC=12⋅d⋅BC,其中d是(3)以坐标轴为三角形的底.计算四边形面积时,有两个思路:(1)可以将四边形拆成两个三角形(怎么拆决定计算的复杂度).(2)四边形的面积等于对角线之积乘以对角线夹角正弦值的一半.异常地,对角线互相垂直的四边形，其面积等于对角线之积的一半.与求弦长的最值类似,求面积最值时,也往往使用均值不等式.Q041.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2(1)直线y=kx+3与椭圆交于A,B两点,(2)直线y=x+m与椭圆交于C,D两点,证实(1)按照题意及椭圆硬解定理得060S====≤=等号成立时,32=9k2(2)按照题意及椭圆硬解定理得S====≤=等号成立时,m2=13-mQ042.已知椭圆C:x23+y2=1,设直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线l解答当直线l的斜率不存在时,△AOB面积的面积为3当直线l的斜率存在时,设直线l的方程是y=kx+m,因为原点O到直线32,所以m1+k2S======≤=当3+3k2=1+9k2,即Q043.如图，点P0,-1是椭圆x24+y2=1的短轴端点，过P作两条互相垂直的直线l1,l2,设l1与圆x2+y233设直线DP:y=kx-1,AB:y=-1kx-1S=====≤=等号成立时,13k2=4+3k2,从而k=±Q044.设椭圆中央在坐标原点,A2,0,B0,1是它的两个顶点,直线y=kxk>0与AB(1)若ED=6DF,求k(2)求四边形AEBF面积的最大值.解答(1)因为ED=所以OF=又因为OA、OB所以752λ2+1-λ2于是得D的坐标为67,47,从而k=23或(2)主意一:将四边形的面积拆成两个三角形面积之和，并且对三角形采用合适的底.S==≤=主意二:将椭圆按照如下变换:x=x'y=易知,当E'F'为垂直于A四边形A'E'B'F'的面积最大,此时SA'主意三:过O作平行于AB的直径A'B',设AB与EF的夹角为S==所以当EF为A'B'的共轭直径时，四边形A从而四边形AEBF面积的最大值是22Q045.已知点P2,1,不过原点O的直线l与椭圆x24+y23=被直线OP平分、求△ABP的面积最大时直线l的方程解因为线段AB被直线OP平分,所以kAB⋅kOP=-设AB的方程为y=-32x+m,椭圆的长轴长为2S===设fm则f'm=4-mm所以当m=1-7时，此时,直线l的方程为3x【题型14】垂直与共线解析几何中,线线垂直问题和三点共线问题,都可以使用向量的主意解决.另外,对于垂直问题，可能以比较隐晦的形式浮上，Q046.如图,椭圆2x23+2y2=1的一个焦点是F,点O为坐标原点.设过点F的直线l交椭圆于A,B两点.若以AB解答以AB为直径的圆经过原点O,当且仅当OA⊥当且仅当OA容易验证当l的斜率不存在时，不满意题意.当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kxx===解得k=±所以,直线l的方程为y=±Q047.已知m>1,直线l:x-my-m22=0,椭圆C:x2m2+y2=1,F1,F2分离为椭圆(1)若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.(2)若原点O满意OG2+OH2>GH2解答(1)原点O在以线段GH为直径的圆内,当且仅当OG⋅OH<0且OG与注重到OG=所以,当且仅当OA⋅OB<OA==mm=所以,m2<4,又题目条件要求m>1,故m(2)OG2+OH2>GH2当且仅当OG⋅OH>0且OG与注重到OG=所以，当且仅当OA⋅OB>0且OA与注重到OA⋅又注重到判别式大于零,即m2+m2所以m的取值范围是2,Q048.已知曲线C:x28+y24=1与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线解答A,G,N当且仅当xG由条件知B0,-2，故直线BM的方程为从而得G3xMyM+带入xc-334x而xM从而上式成立.【题型15】斜率Q049.已知椭圆x22+y2=1的焦点为F1和F2,点P在直线l:x+y=2且不在x上.直线PFl(1)设直线PF1和PF2的斜线分离为k1(2)问直线l上是否存在点P,使得直线OA、OB、OC、OD的斜率满意kOA+kOB+koc+koD解(1)设Px0,y0(2)因为k======-=-=-所以k1+k2=又注重到1k所以k2=-2或所以P0,2或Q050.作斜率为13的直线l与椭圆C:x236+y24=1交于A,B两点(1)证实:直线PA、直线PB及x轴围成一个等腰三角形;(2)若∠APB=60∘,求解答(1)因为kAB+kpp=0(kPP所以kPA所以直线PA、直线PB及x轴围成一个等腰三角形.(2)由∠APB=60∘,结合上一问可知,直线PA、直线PB的方程3与椭圆方程联立,解得x于是,PA=从而,S△Q051.已知点A2,1,B3,0,椭圆C:x26+y23=1,过点B的直线与C相交于解答设Dx过点B的直线DE的方程为y=由y=kx-3kx22k2+1x所以x1则kAD化简,得kAD代入韦达定理，化简，得kAD其实,直线AD,AB,【题型16】定点直线过定点问题在第七章“椭圆上的对合变换”中有专门讲解.这里举三个圆过定点的例子.第一个例子与椭圆的直径有关,第二个例子其实是第五章的一个性质,第三个例子中,MN的极点其实是PQ的中点,再结合例子二可知,以PQ为直径的圆与MN相切于点F.Q052.已知A1-2,0,A22,0和椭圆E:x24+y2=1.点M,N是椭圆E上两个关于x轴对称的点(异于点A解答设A1M,A2N的斜率分离是k1,k则A1M和A2N的方程分离从而C0于是OC⋅注重到A1A2是椭圆的直径，所以于是OC⋅OD从而以线段CD为直径的圆过定点0,±b,即Q053.设动直线l:y=kx+m与椭圆E:x24+y23=1有且惟独一个公共点P,且与直线解答设椭圆的半长轴长为a,半短轴长为b.又设Px于是直线PQ的方程为xx从而得,Qa2c,b2PM===欲使上式对随意x0,y0b解得x1=c,y1=0,Q054.已知椭圆方程E:x29+y28=1,右顶点为A,设F1,0,过F的直线l交E于M,N点,直线MA,NA分离与直线解答椭圆的半长轴长为a,半短轴长为b.设AM和AN的方程分离是y=于是得Pa设PQ与x轴的交点为S.那么SP⋅另一方面,设MN的方程为y=kxk======于是,SP⋅所以，以PQ为直径的圆过定点a2本题中,a2=9,b2=8,即以PQQ055.已知点B1,B2是椭圆x2a2+y2b2=1的上、下顶点,P是椭圆上的一个动点,直线B1P和B2P解答设点Px0,y0,直线OP与直线MN则按照△B1PB2∽△MPN,知S且S的坐标为s,y0x0设圆Q是以Qs±sha,0为圆心下面证实以MN为直径的圆恒与圆Q相切.这只需证实SQ注重到SQ====±从而,以MN为直径的圆与以Qs±sba,0为圆心,【题型17】定值Q056.经过定点P3,0的直线l与椭圆x24+y23=1交于A,B两点解答记椭圆的半长轴长为a,半短轴长为b,记P为Px0,y0,Q为u,v.设MA====u=u所以欲使MA⋅MB2故只要x0,y0不是原点,总存在Qu,v本题中,x0,y0即Q6724,0满意【题型18】直线的参数方程经过点x0,y0且倾斜角为θ的直线,其上的随意一点x其中,t表示点x,y到x0Q057.设椭圆x24+y23=1和点P1,1,椭圆的一条过点P的弦被解答设该弦所在直线的倾斜角为θ,那么直线上的随意一点可设为x带入椭圆方程为31+t3设上述关于t的方程的两个解为t1,t2l所以-4解得tan于是，该弦所在的直线方程为x+y-2=Q058.已知A,B是椭圆x22+y2=1上的两点,并且点15,13时,求直线解合设直线AB的倾斜角为θ,那么直线上的随意一点可设为x带入椭圆方程得,-2收拾得,cos设上述关于t的方程的两个解为t1,t2t所以4解得tanθ的取值范围是-所以，直线AB斜率的取值范围是-1Q059.已知椭圆x2+2y2=mm>0,以椭圆内一点M2,1为中点作弦AB,设线段AB的中垂线与椭圆相交于C,D两点.是否存在这样的m,使得A解答A,B,C,D在同一个圆上,只要而注重到kAB从而kAB永远满意kxn故仅需满意M在椭圆内即可,即22故当m>6时,A,Q080.设点Px0,y0不在椭圆x2a2+y2b2点A,B,与直线x0xa2+y0(4)设直线l的方程为x=代入直线方程得x解得:PC代入椭圆方程得x从而cos于是，1于是,2PCQ061.已知椭圆E:x2a点,直线l:y=-x+3与椭圆E(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,交于点P.证实:存在常数λ使得PT2=λPA⋅PB,(2.1)(1)易得x26+y23=1,(2)设Px0,3-x0在得l'的参数方程为代人椭圆E中,得x0收拾得2t设两根为tA,tB,而PT2PAPB所以,PT2即存在满意题意的λ值,λ=Q062.已知点A1,32,设E,F是椭圆x24+y23=1上的两个动点,倘若直线AE解答因为kAE所以kEF+kAA=0,其中kAA而kAA所以kEF=1【题型19】直线型根与系数关系直线型根与系数关系,在第五章的切线中有专门的讲解,这里仅举两个例子.Q063.已知圆G:x-22+y2=r2是椭圆x216(1)求圆G的半径r;(2)过点M0,1作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,证实:直线EF与圆G相切.18(1)G是△ABC的内心,所以∠BAG=∠CAG,所以点B,C(2)过点M0,1的直线y=kx+12即32k该方程的两个根就是直线ME和MF的斜率k1故k1此外,联立直线y=kx+1与椭圆x216+y2=1从而k从而直线EF的方程为y即y=圆心2,0到y=34Q064.如图,P是抛物线y2=2x上的动点P的横坐标大于2),点B、C在y轴上解设Px0,y0,则由题意知x0>2.过P的直线yk收拾得x直线PB,PC的斜率恰好是上述关于k的方程的两个根S===≥于是△PBC面积的最小值为【题型20】二次曲线上的有理点对于二次曲线,总是可以使用韦达定理将二次曲线参数化,因此若二次曲线上有一个有理点,则必有无穷多个有理点,且它们均可以通过参数方程给出.三次曲线需要使用维尔斯特拉斯函数举行参数化.1922年,数学家莫代尔提出了莫代尔定理(Mordell’stheorem),指明了三次曲线上有理点的结构,这个定理后来成为密码学中的一个基本定理.1929年,西格尔(Siegel)证实了在光洁的三次及高次曲线上至多存在有限多个整数点.1983年,法尔廷斯(Faltings)证实了光洁的四次及更高次曲线上惟独有限个有理点.Q065.求曲线x2+y2=解设-1,0曲线x2+y2x收拾得k该方程的另一个根为x=1曲线x2+x另k=mn,得到a其中,s,m,Q066.求曲线x2+xy+y2=1的一个参数方程，并据此写出三个不相似的三角形，其中每个三角形均解答设-1,0曲线x2+xy+y2x收拾得k该方程的另一个根为x=1曲线x2+x令k=12,1所以得到三个三角形:它们的边长分离为3,5,7;7,【题型21】彭赛列问题彭赛列闭合定理(Poncelet’sclosuretheorem)是几何中一个绝妙的定理，它是由法国工程师、数学家彭赛列(Jean-VictorPoncele,1788-1867)发现的,法国人高傲地称之为“伟大的彭赛列闭合定理”.该定理的内容为:倘若一个n边形既是二次曲线Γ1的内接多边形,又是二次曲线Γ2的外切多边形,那么这个n边形必是