高考数学二轮总复习 常考问题 基本不等式及其应用 文

常考问题11基本不等式及其应用[真题感悟]1．(·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝eq\f(2,x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．解析设过坐标原点的一条直线方程为y＝kx，因为与函数f(x)＝eq\f(2,x)的图象交于P，Q两点，所以k＞0，且联立解得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2,k))，\r(2k)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(2,k))，－\r(2k)))，所以|PQ|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(2,k))))2＋2\r(2k)2)＝eq\r(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)＋k)))≥4.答案42．(·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则当a________时，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取得最小值．解析因为eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a＋b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a,4|a|)＋eq\f(b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)≥eq\f(a,4|a|)＋2eq\r(\f(b,4|a|)·\f(|a|,b))＝eq\f(a,4|a|)＋1≥－eq\f(1,4)＋1＝eq\f(3,4)，当且仅当eq\f(b,4|a|)＝eq\f(|a|,b)，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取得最小值时，a＝－2.答案－23．(·南京模拟)若不等式4x2＋9x2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________．解析由4x2＋9x2≥2kxy(x＞0，y＞0)，得2k≤eq\f(4x,y)＋eq\f(9y,x).因为eq\f(4x,y)＋eq\f(9y,x)≥2eq\r(\f(4x,y)·\f(9y,x))＝12，所以2k≤12，又k∈Z，所以k≤3，即kmax＝3.答案34．(·山东卷改编)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为________．解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,2\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3)＝1，当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(4y,x)，即x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝eq\f(2,y)－eq\f(1,y2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1.答案1[考题分析]高考对本内容的考查主要有：基本不等式是C级要求，