八年级数学下册 讲义（北师大版）第一章第07讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的‘三线合一’作辅助线(3类热点题型讲练)（原卷版）

第07讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 9【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 20【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，D为的中点，于E．(1)求的度数；(2)若，求的长．【变式训练】1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，中，，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且．求证：．2．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F．(1)求证：；(2)若，求的周长．3．（2023上·北京·八年级期末）如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证：(1)；(2)．4．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且．

(1)求证：．(2)若，，求的长．5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知中，，，点D为的中点，点、分别在直线上运动，且始终保持．(1)如图①，若点分别在线段上，与相等且与垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点分别在线段的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．6．（2023上·浙江绍兴·八年级新昌县七星中学校考期中）两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知．(1)求的长．(2)求的长．【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．

【变式训练】1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形中，，，求四边形的面积．2．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）在中，，，点D在上（不与点B，C重合）．

(1)如图1，若是直角三角形，①当时，求的长；②当时，求的长．(2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且．若，求证：．3．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）在中，，，点为边上一动点，连接．

(1)边上的高的长度为；(2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度．4．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在中，点是边上的两点．

(1)如图1，若，．求证：；(2)如图2，若，，设，．①猜想与的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，，请直接写出的度数．5．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是，若，则的长为；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．求证：(1)；(2)．【变式训练】1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：如图1，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交、于点、．求证：．请你帮助完成此证明．

【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：（1）将图1沿着过点的直线折叠，得到图2，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数．（2）如图3，，平分交于，若，，求边的长度．【拓展提升】（3）如图4，是某小区绿化施工的一