八年级数学下册 讲义（北师大版）第一章第03讲 直角三角形(7类热点题型讲练)（原卷版）

第03讲直角三角形(7类热点题型讲练)1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．4．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．知识点1直角三角形的性质定理及推论定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.知识点2勾股定理及逆定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在中，勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在中，，知识点3直角三角形全等的判定HL法图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在中，，题型01直角三角形的两个锐角互余【例题】（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）在中，，那么另一个锐角的度数是．【变式训练】1．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在中，，，点D在斜边上，且，则°．2．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）如图，中，，，，若恰好经过点，交于，则的度数为°题型02判断三边能否构成直角三角形【例题】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）在中，、、的对应边分别是a、b、c，则不能确定是直角三角形的是（

）A． B．，C． D．【变式训练】1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知的三条边长，，满足，则的面积为．2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）在中，给出以下4个条件：①；②；③；④．从中任取一个条件，可以判定出是直角三角形的有．（填序号）3．已知a，b，c满足．(1)求a，b，c的值；(2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角形，请说明理由．题型03在网格中判断直角三角形【例题】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，求下列问题：

(1)试说明是直角三角形；(2)求点到的距离．【变式训练】1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在网格的格点上，边上的高长为．

2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题：(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的面积．题型04利用勾股定理的逆定理求解【例题】如图，点在中，，，，

(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【变式训练】1．在四边形中，，求四边形的面积．2．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积．题型05勾股定理逆定理的实际应用【例题】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．

(1)求修建的公路的长；(2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？【变式训练】1．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)求的度数；(2)求取水点A到取水点D的距离．2．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，．(1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点间的距离，便快速确定了．写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；(2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？题型06全等的性质和HL综合【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，，D为边的中点，于点E，于点F，．求证：是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，．求证：．2．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考期中）如图，，垂足分别为．(1)求证：；(2)若，求四边形的面积．题型07全等的性质和HL综合【例题】（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）如图，已知是上的一点，且．(1)和全等吗？请说明理由；(2)判断的形状，并说明理由．【变式训练】1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，已知，点在一条直线上，与交于点．(1)求证：．(2)若，求的度数．2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在中，F为延长线上一点，点E在上，且．(1)若，求度数；(2)求证：；(3)试判断与的位置关系．一、单选题1．（2023上·河南周口·八年级统考期中）在中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（

）A．如果，则B．如果，则为直角三角形C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数D．如果，则为直角三角形3．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，是等腰底边边上的中线，，，则度数是（

）

A． B． C． D．4．（2023上·重庆垫江·八年级重庆市垫江中学校校考阶段练习）如图，在和中，，则下列结论中不一定成立的是（

）

A．B．C．D．E为BC中点5．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的面积为5 D．点A到的距离是1.5二、填空题6．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）如图所示，，可使用“”判定与全等，则应添加一个条件是．

7．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）若，则由，，组成的三角形是三角形．8．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图所示，在中，，，将其沿折叠，使点A落在边上的处，则．9．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，过上一点D作交的延长线于点P，交于点Q．若，则，．10．（2023上·江苏南通·九年级校考期末）如图，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为．

三、解答题11．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证．12．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），测得千米，千米，千米，(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；(2)求原来的路线的长．13．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．

(1)__________，__________，__________；(2)的形状为__________三角形；(3)求中边上的高__________．14．（2023上·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，已知，，，．(1)求的长；(2)求的度数．15．（2023上·河南濮阳·八年级校联考期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”例如：在中，如果，为“开心三角形”问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接(1)如图1