八年级数学下册 讲义（北师大版）第六章第5讲 解题技巧专题：平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题(4类热点题型讲练)（解析版）

第5讲解题技巧专题：平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题(4类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一平行四边形中折叠求角度问题】 1【考点二平行四边形中折叠求线段长或证明】 4【考点三平行四边形中旋转问题】 12【考点四平行四边形中求线段最值问题】 18【考点一平行四边形中折叠求角度问题】1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则的度数为．【答案】/109度【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、折叠性质以及三角形的内角和定理，先根据平行四边形的性质和平行线的性质求得，再由折叠性质得，然后利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴，∴，由折叠性质得，∵，∴，故答案为：．2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连接，．若恰有，则．【答案】/度【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，跟进中河底得出，，，求出，，根据，，得出，求出，即可得出答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，由折叠得，，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．3．（2024·吉林松原·一模）如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为度．【答案】34【分析】根据折叠性质，得，，根据平行四边形的性质，得

，，，利用三角形外角性质，平行线性质解答即可，本题考查了折叠性质，平行四边形的性质，三角形外角性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】根据折叠性质，得，，∴，∵平行四边形，∴

，，，∴

，∴

，故答案为：34．4．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为．【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质及折叠的性质，熟悉掌握折叠图形边相等的性质是解题的关键．利用平行四边形的性质和折叠的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，且沿直线折叠，沿直线折叠，∴，，，∴，，∴，∴，故答案为：5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是平行四边形纸片的边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在边上处，折痕与边交于点N．若，则°．【答案】16【分析】本题主要折叠的性质，掌握折叠前后的线段、角对应相等是解题的关键．由折叠的性质可求得，，再结合、、在一条直线上，可求得答案．【详解】解：∵点落在纸片所在平面上处，折痕与边交于点，故答案为：16．【考点二平行四边形中折叠求线段长或证明】1．（2024·山东青岛·一模）如图，在中，，，，点，分别在边，上，沿折叠平行四边形，使点与点重合，则线段的长度为．【答案】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质可推出，得出，在中，根据勾股定理求出，由折叠可知，设，则，在中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：过点作交的延长线于点，四边形是平行四边形，，，又，，在中，由勾股定理得：，由折叠可知，设，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，线段的长度为，故答案为：．2．（2023·陕西西安·二模）如图，在平行四边形中，，，，点、点分别为、的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，则的最小值是．【答案】/【分析】根据三角形中位线定理可得，可知当取得最小值时，取得最小值，根据折叠可知在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，此时取得最小值，最小值为，过点作于点，根据的直角三角形的性质可得的长，根据勾股定理求出的长，再在中，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值，即可求出的最小值．【详解】解：连接，点为的中点，点为的中点，为的中位线，，当取得最小值时，取得最小值，在平行四边形中，，，，，，，，，点为线段的中点，，根据折叠可知，点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，此时取得最小值，最小值为，过点作于点，如图所示：则，，，在中，根据勾股定理，得，，，在中，根据勾股定理，得，的最小值为，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，线段最小值问题，平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，找出线段最小时点的位置是解题的关键．3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置．(1)证明；(2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值；(3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明．【答案】(1)见解析(2)(3)当线与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明；（2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明；（3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明．【详解】（1）解：证明：如图1中，四边形是平行四边形，，，翻折得到，，，，，，；（2）连接交于点O，连接，点F与D关于对称，，当点O为与交点时，的值最小，最小值为线段的长，即最小值为；（3）当线段与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上．理由：与互相平分，，，，，，即，翻折得到，，点D、C、F在同一条直线上．4．（2023·浙江杭州·模拟预测）将纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．(1)求证：；(2)若的面积等于8，，试求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是应用折叠的性质找出所需的条件．（1）由平行四边形的性质可得，，，由折叠可知，，，进而得到，，，于是，以此即可通过证明，由全等三角形的性质即可证明；（2）由（1）可得，由可得，进而求出，则，代入计算即可得到答案．【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，，，，由折叠可知，，，，在和中，，，；（2）如图，连接，由（1）知，，，，，即，，，．5．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点．(1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，若点落在上时，求的长；(3)如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围【答案】(1)见解析(2)的长是(3)的取值范围是【分析】（1）由平行四边形的性质得由折叠得则进而即可证明四边形是平行四边形；（2）由题意作交的延长线于点H，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解；（3）根据题意取的中点T、连接进一步得出是等边三角形，并且分析出当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解。【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是平行四边形，∴∴由折叠得∴∴∴∴四边形是平行四边形．（2）解：如图2，作交的延长线于点H，∵∴∵点落在上，∴∴∵∴∴∴∴，∴3，∵∴，∴的长是．（3）解：如图3，取的中点T、连接∵∴∴∴∴是等边三角形，∴∵点F是的中点，T是的中点，∴3，∵，且，∴，∴的最小值是3；∵点E是边上的动点，∴当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大，如图4，点E与点C重合，∴，∴三点在同一条直线上，∴且，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴的最大值为，∴的取值范围是．【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，此题综合性强，难度较大，属于中考压轴题．【考点三平行四边形中旋转问题】1．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在y轴上，对角线轴，，．将绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2023秒结束时，点B的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质，点坐标的规律探究，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．先根据平行四边形的性质求出点B的坐标，再作出旋转后的图形，然后找到B点的坐标规律，并按照规律解答即可．【详解】解：中，，，轴，，，，，如图：将绕点O逆时针旋转，每秒旋转，1秒时，由旋转角的性质得：与x轴重合，，，，，，四边形是平行四边形，∴四边形是平行四边形，，轴，，同理可得：，则：每旋转4秒则回到原位置，∵，∴第2023秒时，完成了505次循环，又旋转了3次，∴当第2023秒旋转结束时，点B的对应点是．故选：B．2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕O点逆时针方向旋转得平行四边形，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．直接利用旋转的性质B点的对应点到原点距离相同，进而得出坐标．【详解】解：∵将平行四边形绕O点逆时针方向旋转得平行四边形的位置，，∴点的坐标是：．故选：B．3．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，把平行四边形绕点A旋转得平行四边形，点落在边上，若，当，，三点共线时，的度数为．【答案】/28度【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用平行四边形和图形旋转的性质是解答本题的关键，由图形旋转的性质可知，由平行四边形的性质可知，再用等腰三角形的性质推得，最后根据三角形的内角和定理即可得到答案．【详解】平行四边形绕点A旋转得平行四边形，，，，，，．故答案为：．4．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为

【答案】2或14【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，注意分类讨论；由题意得；分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况，利用旋转性质及勾股定理即可求解．根据题意确定是解题的关键．【详解】解：∵线段绕着点旋转得到线段，点恰好落在直线上，∴，∵，∴，由勾股定理得：；当线段绕着点顺时针旋转时，如图，∴，∴；当线段绕着点逆时针旋转时，则在点P的右侧，∴；综上，的长为2或14；故答案为：2或14．5．（2023·河北承德·一模）如图，在四边形中，，，．将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，旋转过程中，、与所在的直线的交点分别为、．(1)求证：；(2)当旋转角为时，如图2所示，求重叠部分的面积；(3)在旋转过程中，若，如图3所示，求的长；(4)在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)(3)(4)【分析】（1）根据题意可得，四边形是平行四边形，证明，即可得证；（2）根据题意得到是等腰直角三角形，，根据旋转角为时，平分，设交于点，则是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行计算即可求解；（3）如图所示，将绕点逆时针旋转，使得点与点重合，点是点的对应点，则，连接，则，证明，则，设，则，在中，，勾股定理求得，即可求解；（4）设，，同（3）的方法，在中，，勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵∴四边形是平行四边形∴在中，∴；（2）解：∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵∴∴旋转角为时，平分，∴，如图2，设交于点，∴是等腰直角三角形，∴重叠面积为（3）解：如图所示，将绕点逆时针旋转，使得点与点重合，点是点的对应点，则，连接，∴，则，∵，∴，∵，∴，在中，∴，∴，设，则，∴，在中，，即，解得：，∴；（4）解：设，，由（3）可得，则，设，则，∴，在中，，即，解得：，即，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【考点四平行四边形中求线段最值问题】1．（2024·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点（不与重合），点分别为的中点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，利用三角形中位线定理得出，则当时，最小，则最小，利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出的最小值，即可求解．【详解】解：连接，∵点分别为的中点，∴，当时，最小，则最小，∵，∴，设中边上高为h，则，∴，∴，∴最小值为，则最小值为，故答案为：．2．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是．【答案】【分析】过点作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，，，，∴，，，四边形是平行四边形，，，，在和中，，，，，，四边形周长，当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值，四边形的周长最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长．3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知点D与点，，是平行四边形的四个顶点，则长的最小值为．【答案】【分析】讨论两种情形：①是对角线，②是边．是对角线时直线时，最小．是边时，，通过比较即可得出结论．【详解】解：有两种情况：当为对角线时，记交于点F，∵，设直线表达式为：，则代入点C得：，∴,点C在直线上，延长交x轴于点G，取中点H，连接，∵点F是平行四边形对角线交点，∴F为中点，，∴为的中位线，∴，，∴，当时，最短，由可知点C与点O的水平距离和铅锤距离均是，∴，∴当时，∴为等腰直角三角形，∴，则，设直线表达式为：，代入得，∴，∴直线表达式为：，联立得：，解得，∴，∴，∴最小值为；当为平行四边形边时，则，综上，最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查平行四