八年级数学下册 讲义（北师大版）第六章第01讲 平行四边形的性质(9类热点题型讲练)（原卷版）

第01讲平行四边形的性质(9类热点题型讲练)1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．会应用平行四边形的性质定理解决相关的几何证明和计算问题.知识点01平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”知识点02平行四边形的性质平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形：性质1（边）：=1\*GB3①对边相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：=1\*GB3①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD；=2\*GB3②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO.性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.题型01平行四边形的性质【例题】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【变式训练】1．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期末）下面关于平行四边形的性质描述正确的是（）A．平行四边形的对称中心是对角线的交点B．平行四边形的对称轴是对角线所在直线C．平行四边形不是中心对称图形D．平行四边形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是（

）A．外角和等于 B．对角线互相平分C．内角和等于 D．有两条对角线题型02利用平行四边形的性质求角度【例题】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）在平行四边形中，，则的度数是．【变式训练】1．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点，连接若，则的度数为．2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，，平分且交于点，且交于点，则的度数为．题型03利用平行四边形的性质求线段长【例题】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）在中，，对角线交于点O，，则的长是（

）

A． B．3 C． D．52．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（）A．4 B．6 C．6或8 D．4或6题型04利用平行四边形的性质求面积【例题】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（）．A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为．2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是cm2．

题型05利用平行四边形的性质求坐标【例题】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）在中，对角线，相交于点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，，则点的坐标是．【变式训练】1．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若▱的三个顶点的坐标分别是、、，则顶点的坐标是．2．（23-24八年级下·四川广元·阶段练习）在平面直角坐标系里，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．题型06利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）【例题】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接，下列结论①；②；③；④；其中成立的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形；③；④，其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（

）；；；．A．个 B．个 C．个 D．个题型07利用平行四边形的性质求折叠问题【例题】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，点E为平行四边形中边上一点，将沿折叠至处，，，则的大小为．【变式训练】1．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为．2．（2023·江苏泰州·一模）如图，在中，，，、分别是边、上一点，且，将沿折叠，使点与点重合，则的长为．题型08利用平行四边形的性质求动点问题【例题】（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形中，对角线，点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（

）A．20 B．10 C．15 D．12【变式训练】1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（）A． B． C． D．2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（

）A．B．C．D．题型09利用平行四边形的性质证明【例题】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是内一点，且．(1)写出图中与相等的角，并证明；(2)求证：(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．【变式训练】1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为．(1)求证：；(2)过点作于点，若，求的面积.2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．

(1)求证：平分；(2)若点E为中点，求证：；(3)若，，，求的面积．一、单选题1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长（

）A．1 B．1.5 C．2 D．32．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为（

）A． B．4 C． D．34．（23-24八年级下·江苏·周测）在中，，平分交边于点E，平分交边于点F，若点E与点F的距离为2，则的长为（）A．2 B．5 C．2或5 D．3或55．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，P是内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①，②若，则，③若，则的面积为10；④．其中正确的（）A．①③ B．②③ C．①② D．②④二、填空题6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平行四边形中，，则．7．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，，则的长为．8．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，且，那么图中阴影部分的面积为．9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平行四边形中，，已知，，将沿翻折至，使点落在平行四边形所在的平面内，连接．若是直角三角形，则的长为．10．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题11．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E，F在对角线上，，平分．(1)若，，求的度数；(2)若，，求的长．12．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心的对称点．(1)如图1，点E在的边上；(2)如图2，点E在外．13．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，，求．14．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，分别平分，交于点．(1)求证：；(2)连接，证明；(3)过点作，垂足为．若的周长为，求的面积．15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．(