2020年吉林省(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

吉林省20200年初中毕业生学业水平考试数学试卷

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.-6的相反数是（）

11

A.-6B.--C.6D.-

66

2.国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000,脱贫攻坚

取得决定性成就.数据11090000用科学记数法表示为（）

A.11.09xl06B.1.109xl07C.1.109xl08D.0.1109X108

3.如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（

正面

A.B.C.D.

4.下列运算正确的是（)

25

A.a2-a3=。6B.aY=aC.(2a)2—2a2D.cr39=a

5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则Na的大小为（）

A.85°B.75°C.65°D.60°

6.如图，四边形ABCD内接于。.若N5=108°,则NO的大小为)

B.62°C.72°D.82°

二、填空题（每小题3分，共24分）

7.分解因式：cr-ab=.

8.不等式3x+l>7的解集为.

9.一元二次方程f+3x—1=0根的判别式的值为

10.我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走

150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？

设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______

11.如图，某单位要在河岸/上建一个水泵房引水到C处，他们做法是：过点。作8于点将水泵房建在

了。处.这样做最节省水管长度，其数学道理是_______.

13.如图，在ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点.若.ADE的面积为工.则四边形。8CE的面积为

2

14.如图，在四边形A8CD中，AB=CB,AD=CD.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝

形ABC。的对角线AC,80相交于点。.以点3为圆心，80长为半径画弧，分别交A8,3c于点E,F,

若ZA8D=NACD=30°,AD=\,则用的长为（结果保留万）.

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.先化简，再求值：（。+1）“+—a）—1,其中〃=.

16.“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物，如图，现有三张正面印有“中国结”图案

的不透明卡片A,B.C,卡片除正面图案不同外，其余均相同.将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽

取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片.请用画树状图或列表的方法，求小吉同

学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率.

17.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做6()个所用的时间相等.求

乙每小时做零件的个数.

18.如图，在AABC中，AB>AC,点。在边AB上，且BD=C4,过点。作OE//AC并截取。£=且

点C,E在AB同侧，连接把.

求证：ADEB=^ABC.

四、解答题(每小题7分，共28分)

19.如图①、图②、图③都是3x3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.A,B,。均为格点.在给定的

网格中，按下列要求画图：

(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN,使MN与A3关于某条直线对称，且N为格点.

BB

图①图②图③

(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称，且P,。为格点.

(3)在图③中，画一个AOEb,使八。£户与AA5C关于某条直线对称，且。，E.E为格点.

20.如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部3相距35加的。处，用高1.5根的测角仪C£>测得该塔顶端A的

仰角NEZX为36。.求塔A3的高度(结果精确到加).(参考数据：sin36。=0.59,cos36。=0.81,tan36°=0.73)

21.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A,3在函数y=K（x>0）的图象上（点3的横坐标大于点A

X

的横坐标），点A的坐示为（2,4）,过点A作AD_Lx轴于点过点B作轴于点C,连接Q4,AB

（1）求k的值.

（2）若。为0C中点，求四边形QWC的面积.

22.2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九

年级部分学生居家减压方式进行抽样调查，将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活

动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式.他们将收集的数

据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.

表1：小莹抽取6（）名男生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABcDE

人数463785

表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数21331

表3：小新随机抽取6（）名学生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数65261310

根据以上材料，回答下列问题：

(1)小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，

并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.

(2)根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体

育活动方式进行减压的人数.

五、解答题(每小题8分，共16分)

23.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为5L.在整个过程

中，油箱里的油量》(单位：L)与时间X(单位：min)之间的关系如图所示.

(1)机器每分钟加油量为L,机器工作的过程中每分钟耗油量为L.

(2)求机器工作时y关于X的函数解析式，并写出自变量X的取值范围.

(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.

24.能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和但G按图①方式摆放，其中AD=AG=5,AB=9.点。，G分

别在边AE,AB上，CO与R7相交于点”.

【探究】求证：四边形AG/7D是菱形.

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片A3CZZ将平行四边形纸片用・G绕着点A顺时针旋转一定的角度，使

点尸与点C重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为.

【操作二】四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点8重合，连接。G,CF,如图

4

③若sin/A4O=-,则四边形。CFG的面积为

5

六、解答题(每小题10分，共20分)

25.如图，ABC是等边三角形，AB=4cm,动点尸从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点8匀速运动，过

点尸作PQLAB,交折线AC—CB于点。，以PQ为边作等边三角形PQ。，使点A,。在PQ异侧.设点P的

运动时间为x(s)(()<x<2),△PQ。与aABC重叠部分图形的面积为y(c/).

uCa

备用图

(1)AP长为cm(用含x的代数式表示).

(2)当点。落在边BC上时，求x的值.

(3)求N关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

I鼻

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=—+笈+万与*轴正半轴交于点人，且点人坐标为(3,0),过点

A作垂直于x轴的直线/.P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为心，过点P作PQ，/于点。；M是直线/上

的一点，其纵坐标为—+士3，以PQ,QM为边作矩形PQMN.

2

(1)求》的值.

(2)当点。与点M重合时，求加的值.

(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求旭的值.

(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值随x的增大而减小时，直接写出机的取值范围.

吉林省20200年初中毕业生学业水平考试数学试卷

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.-6的相反数是（）

A.-6B.—-C.6D.—

66

【答案】C

【分析】

根据相反数的定义，即可解答.

【详解】-6的相反数是：6,

故选C.

2.国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000,脱贫攻坚

取得决定性成就.数据11090000用科学记数法表示为（）

A.11.09xl06B.1.109xl07C.1.109xl08D.0.1109x10s

【答案】B

【分析】

根据科学记数法的定义即可得.

【详解】科学记数法：将一个数表示成ax10"的形式，其中14时＜10,n为整数，这种记数的方法叫做科学记数

法

贝打1090000=1.109*107

故选：B.

【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键.

3.如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）

【答案】A

【分析】

根据左视图的定义即可得.

【详解】由左视图的定义得：这个立体图形的左视图由2行1列组成，其中，每行上只有1个小正方形，1列上有2

个小正方形

观察四个选项可知，只有选项A符合

故选：A.

【点睛】本题考查了左视图的定义，熟记定义是解题关键.三视图的另两个概念是：主视图和俯视图，这是常考点,

需掌握.

4.下列运算正确的是（）

A.a1-a3=a6B.（1）=a5C.（2a）2=2a2D.a3-i-a2=a

【答案】D

【分析】

根据同底数鬲的乘除法、塞的乘方、积的乘方逐项判断即可.

【详解】A、。2.。3=4+3="5,此项错误

B、（储）3=。2*3=。6,此项错误

C、（24）2=4/,此项错误

D、〃3+/=。3-2=小此项正确

故选：D.

【点睛】本题考查了同底数毒的乘除法、帚的乘方、积的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键.

5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则Na的大小为（）

A.85°B.75°C.65°D.60°

【答案】B

【分析】

先根据直角三角板的性质得出NACZ）的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】解：如图所示，

A

a

由一副三角板的性质可知：Z£C£>=60°,/BC4=45。，Z£>=90°,

,ZACD=ZECD-ZBCA=60°-45°=15°,

.\Za=180°-ZD-NAC£)=180°-90°-15°=75°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180。是解答此题的关键

6.如图，四边形ABC。内接于。.若NB=108°,则ZD的大小为()

A54°B.62°C.72°D.82°

【答案】C

【分析】

根据圆内接四边形的对角互补，可求得的度数.

【详解】因为，四边形ABCD内接于O,ZB=108°

所以，ZD=180°-ZB=180°-108°=72°

故选：C

【点睛】考核知识点：圆的内接四边形.熟记圆的内接四边形性质是关键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

7.分解因式：/“=

【答案】a(a-b).

【详解】解：a2-ab=a(a-b).

故答案为a(a-b).

【点睛】本题考查因式分解-提公因式法.

8.不等式3尤+1>7的解集为

【答案】x>2.

【分析】

移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案.

【详解】解:3x4-1>7,

移项：3x>7—1,

合并同类项：3x>6,

系数化成1：x>2,

所以不等式的解集为：x>2；

故答案为：x>2.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的解题步骤.

9.一元二次方程f+3%—1=0根的判别式的值为.

【答案】13

【分析】

根据一元二次方程根的判别式A=b2-4ac即可求出值.

【详解】解：Va=l,b=3,c=-l,

A=b2-4ac=9+4=13.

所以一元二次方程x2+3x-l=0根的判别式的值为13.

故答案为：13.

【点睛】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是熟记根的判别式.

10.我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走

150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？

设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为.

【答案】（240-150）x=150x12

【分析】

根据两马的速度之差X快马出发的时间=慢马的速度X慢马提前出发的时间，即可得出关于X的一元一次方程.

【详解】解：题中已设快马X天可以追上慢马，

则根据题意得:（240-150）X=15OX12.

故答案为：（240-150）x=150xl2.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

".如图，某单位要在河岸/上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点。作CD于点。，将水泵房建在

了。处.这样做最节省水管长度，其数学道理是一

【答案】垂线段最短.

【分析】

直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.

【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.

故答案为：垂线段最短.

【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键.

AQ1

12.如图，ABHCDHEF.若—=-,BD=5,则。E=

CE2

【答案】10

【分析】

根据平行线分线段成比例得到4^=-1由条件即可算出DF的值.

CEDF

【详解】解：：AB//CD//EF.

.ACBD

"~CE~~DF

AC1

又•----=一BD=5,

CE2

,51

..-一,

DF2

:.D尸=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

13.如图，在ABC中，D.E分别是边AB,AC的中点.若.AD石的面积为g■.则四边形DBCE的面积为

A

【分析】

1SDE9

先根据三角形中位线定理得出DEHBC,DE=—BC,再根据相似三角形的判定与性质得出大3=（布）一，从而

2SABCBC

可得A8C的面积，由此即可得出答案.

【详解】点。，E分别是边AB,AC的中点

：.DE//BC,DE=^BC

：.^ADE_ABC

.S&ADE_(DE)2_1

=45AA0E

~BC一"

SABC=4X/=2

13

则四边形的面积为

DBCESAHC-SADF=2--=-

故答案为：:3.

2

【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是

解题关键.

14.如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝

形ABCD的对角线AC,30相交于点。.以点3为圆心，B0长为半径画弧，分别交A3,BC于点E,F,

若NA5O=NACD=30°,AD=\,则用的长为（结果保留了）.

【分析】

根据题意，求出0B的长；根据弧长的公式，代入数据，即可求解.

【详解】由题意知：AB=CB,AD^CD,

ABC和一ADC是等腰三角形，AC1BD.

,:ZABD=ZACD=3。。,AD=\

.,.0D=—,OA=B

22

3

.\0B=-.

2

3

ZABD=30°,r=-

2

.,.ZEBF=60°.

故答案为T二T.

2

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和弧长的公式，正确掌握等腰三角形的性质和弧长的公式是解题的关键.

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.先化简，再求值：（a+1）-+a（l—a）—1,其中4=J7-

【答案】3a.3#i

【分析】

分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将a=近代入即可.

【详解】解：原式=4+2«+1+。一/一1

=3。

将4=近代入

原式=3".

【点睛】本题考查整式的混合运算，二次根式的化简求值.熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则是解决此

题的关键.

16.“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物，如图，现有三张正面印有“中国结”图案

的不透明卡片A,B,C,卡片除正面图案不同外，其余均相同.将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽

取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片.请用画树状图或列表的方法，求小吉同

学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率.

【分析】

分别使用树状图法或列表法将小吉同学抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也

有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出含有A卡片的抽取结果，即可算出概率.

【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：

第次ABC

/Tx/Tx/Tx

第二次ABCABCABC

由树状图可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽

到两张卡片中有A卡片）.

解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：

第张

ABC

A(A,A)(B.A)(C.A)

B(A.B)<B.B)(C.B)

C(A.C)(B,C)(C.C)

结果为：（第一次抽取情况，第二次抽取情况）

由表可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽到两

张卡片中有A卡片）=2.

9

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，

避免遗漏.

17.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求

乙每小时做零件的个数.

【答案】12个.

【分析】

设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x+6)个零件，根据时间=总工作量+工作效率，即可得出关于x的分式方程,

解之并检验后即可得出答案.

【详解】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x+6)个零件，由题意得：

经检验：x=12是分式方程的解，且符合题意，

...分式方程的解为：x=12,

答：乙每小时做12个零件.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

18.如图，在小钻。中，AB>AC,点。在边AB上，且3£>=C4,过点。作DE//AC并截取=AB,且

点C,E在同侧，连接BE.

求证：ADEB三AABC

【答案】证明见详解

【分析】

根据SAS即可证得ADEB三AABC.

【详解】证明：•••OE//AC,

；.NA=/EDB,

在AABC和4DEB中，

BD=CA

<NEDB=ZA,

DE=AB

：.M)EB=^ABC(SAS).

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

四、解答题(每小题7分，共28分)

19.如图①、图②、图③都是3x3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点.在给定的

网格中，按下列要求画图：

（1）在图①中，画一条不与重合的线段MN,使MN与A8关于某条直线对称，且N为格点.

BB

图①图②图③

（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称，且尸，。为格点.

（3）在图③中，画一个ADEb,使ADE户与AABC关于某条直线对称，且。，E,F格点.

【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析.

分析】

（1）先画出一条3x3的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对称点MN,它们一定在

格点上，再连接MN即可.

（2）同（1）方法可解；

（3）同（1）方法可解；

【详解】解：（1）如图①，3x3的正方形网格的对称轴1,描出点AB关于直线1的对称点MN,连接MN即为所

求；

图①图②图③

（2）如图②，同理（1）可得，PQ即为所求；

（3）如图③，同理（1）可得，ADE/即为所求.

【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是找到图形对称轴的位置.

20.如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部8相距35m的C处，用高1.5加的测角仪C。测得该塔顶端A的

仰角/如为36。.求塔A3的高度（结果精确到1相）.（参考数据：sin36。=0.59,cos36。=0.81,tan36°=0.73）

【答案】27m

【分析】

4/7

通过tanZEDA=—,可求出AE的长，从而得到AB的高度.

DE

【详解】解：由题意可知£>£=C6=35,BE=CD=1.5,ZEDA=36°,

在直角AADE中，tanZ££)A=~~-=tan36°,

DE

Vtan36°=0.73,

AP

——=0.73,即AE=25.55,

35

AB=+BE=25.55+1.5=27.05«27.

因此塔AB的高度为27加.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用问题，熟练掌握三角函数是解题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A,3在函数y=A(x＞0)的图象上(点3的横坐标大于点A

X

的横坐标)，点A的坐示为(2,4),过点A作轴于点O,过点B作轴于点C,连接。4,AB-

⑴求k值.

(2)若。为。。中点，求四边形Q4BC的面积.

【答案】(1)8；⑵10.

【分析】

(1)将点A的坐标为(2,4)代入＞=4(》＞0),可得结果；

(2)利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果.

k

【详解】解：（1）将点A的坐标为（2,4）代入y=£（x>0）,

X

可得攵=孙=2x4=8,

二.女的值为8；

（2）%的值为8,

k8

.・.函数y=一的解析式为y=一，

XX

QO为0c中点，0D=2,

.\OC=4,

Q

点8的横坐标为4,将尤=4代入>=一，

x

可得y=2,

・••点3的坐标为（4,2）,

=SAAOC+S四边形他co=；x2x4+g（2+4）x2=l0.

S四边形CMBC

【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数上的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键.

22.2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九

年级部分学生居家减压方式进行抽样调查，将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活

动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式.他们将收集的数

据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.

表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABcDE

人数463785

表2：小静随机抽取1（）名学生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数21331

表3:小新随机抽取6（）名学生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数65261310

根据以上材料，回答下列问题：

（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家咸压方式情况，

并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.

（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体

育活动方式进行减压的人数.

【答案】（1）小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况；小莹抽取60名男生居

家减压方式统计，没有随机抽样，而且只抽取男生，样本没有代表性；小静随机抽取10名学生居家减压方式统计，

样本容量太小，也没有代表性；（2）260人

【分析】

（1）根据抽样调查的要求，所抽样本必须具有代表性，要保证所有个体都有相同的机会被抽到，样本的容量要适

当；

（2）根据样本的情况估计总体情况，利用室内体育活动方式进行减压的人数：600X竺人

60

【详解】解：（1）小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况.小莹抽取6（）名男生

居家减压方式统计，没有随机抽样，而且只抽取男生，样本没有代表性；小静随机抽取10名学生居家减压方式统计,

样本容量太小，也没有代表性；

（2）估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数：

26,,、

600x—=260人

60

答：（1）小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况.小莹抽取6（）名男生居家减

压方式统计，没有随机抽样，而且只抽取男生，样本没有代表性；小静随机抽取10名学生居家减压方式统计，样本

容量太小，也没有代表性；（2）估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数是260人.

【点睛】考核知识点：抽样调查.要注意抽样调查中样本的容量要适中’要具有代表性，会用样本估计总体情况.

五、解答题（每小题8分，共16分）

23.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为5L.在整个过程

中，油箱里的油量）’（单位：L）与时间X（单位：min）之间的关系如图所示.

（1）机器每分钟加油量为L,机器工作的过程中每分钟耗油量为L•

（2）求机器工作时y关于X的函数解析式，并写出自变量X的取值范围.

(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.

【答案】⑴3,0.5；(2)y=--x+35,10WxW60；(3)5或40.

2

【分析】

(1)根据lOmin加油量为30L即可得；根据60min时剩余油量为5L即可得；

(2)根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；

(3)先求出机器加油过程中的》关于x的函数解析式，再求出y=15时，两个函数对应的x的值即可.

30

【详解】(1)由函数图象得：机器每分钟加油量为帝=3(L)

机器工作的过程中每分钟耗油量为至3=0.5(A)

60—10

故答案为：3,0.5；

(2)由函数图象得：当x=10min时，机器油箱加满，并开始工作；当x=60min时，机器停止工作

则自变量x的取值范围为10WxW60,且机器工作时的函数图象经过点(10,30),(60,5)

设机器工作时丁关于x的函数解析式y="+6

|W+8=30

将点(10,30),(60,5)代入得：「

6Qk+b=5

L-_l

解得J2

Z?=35

则机器工作时y关于x的函数解析式y=-；x+35；

(3)设机器加油过程中的y关于X的函数解析式y=c式

将点(10,30)代入得：10a=30

解得a=3

则机器加油过程中的>关于x的函数解析式y=3x

油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：

①在机器加油过程中

30

当y=3=15时，3x=15,解得x=5

②在机器工作过程中

301

当y=—=15时，一一x+35=15,解得x=4()

22

综上，油箱中油量为油箱容积的一半时x的值为5或40.

【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获

取信息是解题关键.

24.能够完全重合的平行四边形纸片ABC。和的G按图①方式摆放，其中A£>=AG=5,A6=9.点O,G分

别在边AE,AB-L,C£>与fG相交于点”.

【探究】求证：四边形AG”。是菱形.

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABC。，将平行四边形纸片用G绕着点A顺时针旋转一定的角度，使

点厂与点C重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为

图①

【操作二】四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接。G,CF,如图

4

③若sinZBAO=s，则四边形。CFG的面积为

【答案】探究：证明见解析；操作一：56；操作二：72.

【分析】

探究：先根据平行四边形的性质可得AO〃G〃,AG〃。//,再根据平行四边形的判定可得四边形AG”。是平行四

边形，然后根据菱形的判定即可得证；

操作一：先根据菱形的性质得出AD=FE,NO=NE,再根据三角形全等的判定定理与性质可得AH=FH,然

后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得；

操作二：先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得AOG是等腰三角形，且AB平分/DAG,再根据等

腰三角形的三线合一可得AB_LDG,DN=NG=-DG,然后利用正弦三角函数可求出DN的长，从而可得DG

2

的长，最后根据矩形的判定可得四边形OCFG是矩形，据此利用矩形的面积公式即可得.

【详解】探究：四边形ABCO和AEFG都是平行四边形

AE//GF,AB//DC,即AD//GH,AG//DH

四边形是平行四边形

又AD=AG=5

二平行四边形AG”。是菱形；

操作一：如图，设AE与DF相交于点H,AB与FG相交于点M

四边形ABCD和A瓦G是两个完全重合的平行四边形

:.AD=FE,AD=AE,DF=AB=9

NO=NE

在.ADH和ZXFEH中，,NAHD=NFHE

AD=FE

〕ADH=..FEH(AAS)

:.AH=FH.4)，和△EE"的周长相等

同理可得：

;...ADH、△EE"、_EBM、.AGM的周长均相等

又AD=5,DF=AB=9

.工ADH周长为小4初=AO+O”+AH=AD+O"+f7/=AO+O/=14

则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为4LADH=4x14=56

故答案为：56；

操作二：如图，设AB与DG相交于点N

四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形

AD=AG^5,CD=FG=AB^9,ZBAD=ZBAG,CD//AB//FG

,.A£>G是等腰三角形，且平分NZMG

AB±DG,DN=NG=>DG

2

:.CD1DG

DN4DN4

在心△AQN中，sin/M4O=F=w，即丁=w

AD555

解得DN=4

..DG=2DN=8

又CDIIFG,CD=FG

•••四边形OCFG是平行四边形

--CDIDG,即NCDG=90。

..•平行四边形OCFG是矩形

则四边形DCFG的面积为。G•CD=8x9=72

故答案为：72.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正弦三角函

数等知识点，熟记并灵活运用各判定定理与性质是解题关键.

六、解答题(每小题10分，共20分)

25.如图，是等边三角形，AB=4cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿43向点3匀速运动，过

点P作PQLAB,交折线AC-CB于点。，以PQ为边作等边三角形使点A,。在PQ异侧.设点P的

运动时间为x(s)(0<x<2),△PQ。与八A6C重叠部分图形的面积为(cm?).

(1)AP的长为cm(用含x的代数式表示).

(2)当点。落在边8C上时，求x的值.

(3)求关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

【答案】(1)2x；(2)|；(3)当0<x4g时，y=3j3x2；当时，y=1873%-673；

30”

当l<x<2时,y=-(x-2)

【分析】

(1)根据“路程=速度X时间”即可得；

(2)如图(见解析)，先根据等边三角形的性质可得NA=N5=NOPQ=60。,PQ=OP,再根据垂直的定义可

得ZAQP=NBPD=30°,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AQ^BP,最后在Rt.APQ中，利用直

角三角形的性质列出等式求解即可得；

22

(3)先求出点Q与点C重合时x的值，再分0<x4—、一<xWl和l<x<2三种情况，然后分别利用等边三角

33

形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得.

【详解】(1)由题意得：AP=2x(m)

故答案为：2x；

(2)如图，6c和△PQ。都是等边三角形

ZA=NB=ZDPQ=60。,PQ=DP

PQ1AB,即ZAPQ=NBPQ=90°

ZAQP=90°-ZA^30°,NBPD=ZBPQ-NDPQ=30°

Z=NB

在一APQ和MDP中，<ZAQP=ZBPD=30°

PQ=DP

:.^APQ=_BDP(AAS)

AQ=BP

,AB=4,AP=2x

AQ^BP=AB-AP=4-2x

在RjAPQ中,ZAQP=30。

AP——AQ,即2x———(4—2x)

22

2

解得x=—

3

(3)•.工ABC是等边三角形

.-.AC=BC=AB^4

当点Q与点C重合时，AP=-AQ=-x4=2

22

则2x=2,解得x=l

结合(2)的结论，分以下三种情况：

2

①如图1,当时，重叠部分图形为△PQ。

由(2)可知，等边△PQ。的边长为尸。=Ji4P=2jIr

由等边三角形的性质得：PQ边上的高为*PQ=3x

则y氐-3x=3百/

-2

2

②如图2,时，重叠部分图形为四边形EFPQ

NB=60°,NBPD=30°

ZBFP=180°-ZB-ZBPD=90°

则在放中，BF=-BP=-(4-