2021-2022学年高中新教材数学苏教版必修第一册学案：第5章 54 第2课时 函数奇偶性的应用含解析

第2课时函数奇偶性的应用

u争分夺秒一刻件.狠抓废肥零失误1/

必备知识-基础练

基础分组正通关

•题组一利用函数的奇偶性求参数的值或范围

I.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于()

A.-1B.1C.0D.2

选A.因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义

域关于原点对称，所以a与b有一个等于1,一个等于-2,

所以a+b=1+(-2)=-1.

2.函数f(x)在x£(-oo,+8)上单调递减，且为奇函数.若f(l)=-

1,则满足-tf(x-2)<1的x的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-1,1]

C.[0,4]D.[1,3]

选D.因为f(x)为奇函数,f(l)=-1,

所以f(-1)二L

因为-l<f(x-2)<1,

所以f(l)<f(x-2)<f(-1).

又因为f(x)在xe(-oo7+8)上单调递减，

所以-l<x-2<1z

所以l<x<3.

3.设定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在x£[0,1)上单调递增,且有

f(l・m)+&2m)<0,则实数m的取值范围为()

A-(24)B.(0,0

eg,+oo)D.(-8,J

选A.由于函数f(x)的定义域为(-1,1),

(-1<1-m<13

则有1J1Q…解得0<m<4•

-1<--2m<14

2

又f(l-m)+Q-2m,<0,函数f(x)为奇函数，

所以f(l-m)<-@-2m)=1+2m,.

因为函数f(x)是奇函数，且在x£[0,1)上单调递增，

所以函数f(x)在定义域(・1,1)上单调递增,

则有1-m<-g+2mz解得m>|,

所以实数m的取值范围为匕，管.

•题组二函数的奇偶性和单调性的综合应用

1.若偶函数f(x)在区间［3,6］上单调递增且f(6)=9,则它在区间［-6,

-3］上()

A.最小值是9B.最小值是-9

C.最大值是-9D.最大值是9

选D.因为f(x)是偶函数且在区间［3,6］上单调递增，

所以f(x)在区间［-6,-3］上单调递减.

因此，f(x)在区间［-6,-3］上最大值为f(-6)=f(6)=9.

2.f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是()

A.f(x)+f(-x)是偶函数目是增函数

B.f(x)+f(-x)是偶函数且是减函数

C.f(x)-f(-X)是奇函数且是增函数

D.f(x)-f(-x)是奇函数目是减函数

选C.A错误，设f(x)=x,是增函数，但f(x)+f(-x)=x-x=0是常

数函数；同理B错误；C正确，

设g(x)=f(x)-f(-X),则g(-X)=f(-X)-f(x)

=-［f(x)-f(-x)］=-g(x),函数g(x)是奇函数.

任取Xi,X26R,且X)<X2,

则・X1>-X2,g(Xi)=f(xi)-f(-X1),

g(X2)=f(X2)-f(-X2),

因为f(x)是定义在R上的增函数,

所以f(Xi)<f(X2),f(-Xi)>f(-X2),

BP-f(-Xi)<-f(-X2).

所以f(Xi)-f(-Xi)<f(X2)-f(-X2),

即g(x))<g(x2).

所以函数g(x)=f(x)・f(-x)是增函数，D错误.

3.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,

0］上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是

设h(x)=f(x)g(x),

补全f(x),g(x)的图象(图略)，由图象可知：

当-4<xv-2时，f(x)>0,g(x)<0,此时h(x)<0；

当0<x<2时,f(x)<0,g(x)>0,此时h(x)<0,

所以h(x)<0的解集为(-4,-2)U(0,2).

答案：(-4,-2)0(0,2)

•题组三函数的基本性质的综合应用

1.设f(x)是R上的偶函数，且在(0,+8)上单调递减，若X|<0且xi

+x2>0,则()

A.f(-Xi)>f(-x2)

B.f(-Xi)=f(-x2)

C.f(-X|)<f(-X2)

D.f(-X])与f(-X2)的大小不确定

选A.因为xi<0,Xi+X2>0,

所以X2>-Xi>0,

又f(x)在X£(0,+8)上单调递减，

所以所2)Vf(-Xi),

因为f(x)是偶函数，

所以f(-X2)=f(x2)<f(-Xi).

2.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(l)=1,若a,b£[-

f(a)+f(b)

1,1],a+b#0时，有------------->0成立.若fi(x)<m2-2am+1

a+b

对所有的ae[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围.

任取xi,x2^[-1,1],

且X]<X2,则-X2^[-1,1].

因为f(x)为奇函数，

所以f(xi)-f(x2)=f(Xi)+f(-X2),

f(X1)+f(-X2)

由已知得>0,

X|-X2

又X]-X2<0,

所以f(xi)-f(x2)<0,

即f(X])<f(X2),

所以f(x)在上单调递增.

因为f(D=l,且f(x)在x£[-1,1]上单调递增,

所以在x£[-1,1]上，f(x)d

f(x)<m2-2am+1等价于m2-2am+1>1,

即m2-2am>0，对a£[-1,1]成立.

设g(a)=-2m-a+m2,

①若m=0,则g(a)=020,对a£[-1,1]恒成立.

②若m#0,则g(a)为关于a的一次函数，

若g(a)次对a£[-1,1]恒成立,

则必有g(-1)>0,且g(l)>0,

onI/+2m>0

HU,

m2-2m>0,

解得mW-2或m>2.

综上所述，实数m的取值范围是(-8,-2]U{0}U[2,+8).

易错易混6场型

易错点一没有搞清分段函数及奇偶性的概念致错

2

x+2x+3,x<0

1.关于函数f(x)=3/=0的性质描述正确的是()

-X2+2x-35x>0

A.f(x)是奇函数

B.f(x)是偶函数

C.f(x)是奇函数,也是偶函数

D.f(x)不是奇函数，也不是偶函数

选D.当x<0时，

-x>0,

f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x),

当x>0时，-x<0,

f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-f(x),

但是f(0)=3,

所以f(x)不是奇函数,也不是偶函数.

x^(x>0)

2.已知函数f(x)=|一小，则不等式f(|2x-“)04的解是

-xz(x<0)

；不等式2f(x)>f(4-x2)的解是_______.

容易作出函数f(x)=x^；(x二>二0)、的图象如图，

<0)

显然函数f(x)在XeR上单调递增，

又4=22=f(2),

所以f(|2x-l|)<4=>f(|2x-l|)<f(2),

所以2x-152,-2<2x-1<2,

i3

所以.

x>0,2f(x)=2x2=(y[2x)2=f(嫄x)；

x<0,2f(x)=-2x2=■(啦x)2=f(^2x).

所以x£R时，2f(x)=f(啦x),

2f(x)>f(4-x2)=>f(V2x)>f(4-x2),

所以诲x>4-x2,x2+-\/2x-4>0,

(x+2yf2)(x■啦)>0,

所以止血或烂-2啦.

答案：|x-^<x<|>{x[x^V^或X0_2g}

【易错误区】分段函数的奇偶性要分段讨论，不能只验证一部分.

易错点二判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错

(多选题)已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,xeR,ae-11,则函数

f(x)的性质为()

A.a=O时,是偶函数

B.a^O时，既不是奇函数也不是偶函数

C.f(x)的最小值为a2+1

D.f(x)的最小值为1

选ABC.因为a=0时，f(x)=x2+|x|+1是偶函数，所以A正确；

因为#0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,

所以f(a)-f(-a)=-2|a|#0,

所以f(x)不是偶函数，f(a)+f(-a)=2a2+2|a|+2*0,

所以f(x)不是奇函数，所以B正确；

x2+x-a+lx>a.

因为f(x)=?

x2-x+a+1.x<a.

in

ae2r2jr

所以f(x)在x>a时单调递增，在x<a时单调递减,

所以f(x)的最小值为f(a)=a2+1.

所以C正确，D错误.

【易错误区】对分段函数的奇偶性和单调性都要分类讨论，因为参数

会影响函数的性质，所以不要忽略对参数的分类讨论.

C3盹间小练半小时，突破课堂空难点！/

关键能力-综合综

限时30分钟分值60分战报得分

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.若函数f(x)(f(x)#))为奇函数,则必有()

A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)<0

C.f(x)<f(-x)D.f(x)>f(-x)

选B.因为函数f(x)(f(x)的为奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以

f(x)-f(-x)=-[f(x)]2<0.

2.若(p(x),g(x)都是奇函数,f(x)=a(p(x)+bg(x)+3在x£(0,+

上有最大值10,则f(x)在x£(-8,0)上有()

A.最小值-4B.最大值-4

C.最小值-1D,最大值-3

选A.由已知对任意x£(0,+8),

f(x)=a(p(x)+bg(x)+3<10.

对任意x£(-8,0),贝-x£(0,+oo).

又因为(p(x),g(x)者B是奇函数；

所以f(-x)=a(p(-x)+bg(-x)+3<10,

即-a(p(x)-bg(x)+3<10,

所以a(p(x)+bg(x)>-7,

所以f(x)=a(p(x)+bg(x)+3>-7+3=-4.

、—(l+x)2

3.设函数f(x)=：的最大值为M,最小值为m,则M+m

x2+1

=()

A.OB.1C.2D.3

(1+x)2?x?x

选C.因为f(X)=2i=1+告，函数已是奇函数，图象

x2+1x2+1x2+1

关于坐标原点对称，所以f(x)的图象关于(0,1)对称，所以最大值与

最小值的和为2.

4.设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=-f(x),且当x£［-1,0］时，

f(x)=2・x,贝［Jf(2022.5)等于()

A.0.5B.2.5C.-0.5D.-2.5

选B.因为f(x)是R上的奇函数，

所以f(-X)=-f(x),

因为f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以f(2022.5)=f(4x505+2.5)=f(2.5)=-f(0.5)

=f(-0.5)=2+0.5=2.5.

5.(多选题)已知定义在区间［-7,7］上的一个偶函数，它在［0,7］上

的图象如图，则下列说法正确的是（）

A.这个函数有两个单调增区间

B.这个函数有三个单调减区间

C.这个函数在其定义域内有最大值7

D.这个函数在其定义域内有最小值-7

选BC根据偶函数在［0,7］上的图象及其对称性，作出其在［-7,7］

上的图象，如图所示，

由图象可知这个函数有三个单调增区间，有三个单调减区间，在其定

义域内有最大值7,最小值不是-7.

6.(多选题)若函数f(x)对任意x£R者|5有f(x)+f(-x)=0成立,m£R,

则下列的点一定在函数y=f(x)图象上的是()

A.(0,0)B.(-m,-f(m))

C.(m,-f(-m))D.(m,f(-m))

选ABC.因为任意x£R满足f(x)+f(-x)=0,

所以f(x)是奇函数,

又x£R,所以令x=0,

则f(-0)=-f(0),得f(0)=0,

所以点(0,0),

点(-m,-f(m))与(m,-f(-m))也一定在y=f(x)的图象上.

二、填空题(每小题5分，共2()分)

7.已知函数f(x)=ax3+bx+4(a,b均不为零)，且f(5)=10,则f(-

5)=.

令g(x)=ax3+bx(a,b均不为零)，

易知g(x)为奇函数,从而g(5)=-g(-5).

因为f(x)=g(x)+4,

所以g(5)=f(5)-4=6,

所以f(-5)=g(-5)+4=-g(5)+4=-2.

答案：-2

8,下列函数中是奇函数的为.(填序号)

①f(x)=(x+l)居；

2

②/f(X)=f-{x2+…2x+l?xC>0；

2

[x+2x-l?x<0

A/4-x2

③f(x)="i-；

A

@f(x)=|x-l|-|x+l|.

展有意义,

①因为f(x)=(x+l)

1-X

则----X)且1+X翔，

1+X

解得■1<X<1,

所以，函数y=f(x)的定义域为(-1,1],不关于原点对称,

因此，函数y=f(x)是非奇非偶函数.

②当x>0时)f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2x(-x)-

1

=x2-2x-1=-f(x)；

当x<0时，f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=

-(-x)2+2x(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).

所以函数y=f(x)为奇函数.

③由题意可得20/

所以-2<x<2且x和，

所以，函数y=f(x)的定义域为[-2,0)U(0,2],关于原点对称,

所以函数y=f(x)为偶函数.

④对于任意实数X,

都有f(-x)

=|-x-l|-|-x+l|

=|x+1|-|x-1|

=-f(x),

所以f(x)是奇函数.

答案：②④

9.已知函数f(x)=12:阳"之；是奇函数，且在+3上单调递减,

则实数a=;实数m的取值范围用区间表示为.

因为函数贻尸【"；。""2：是奇函数，

-x^-x.x<0

所以f⑴+f(-l)=O,

即1-a+(-l)+1=0,解得a=l;

x2-x.x>0

C，

(-x£2-x.x<0

根据二次函数的性质，可得，当x>0时，函数f(x)=x2-x在区间(0，)上单

调递减，在区间G,+8)上单调递增；

又因为f(0)=0,所以由奇函数的性质可得:函数f(x)在区间上单

调递减；

因为函数f(x)在(m,m+3上单调递减,

即

m+i

22

解得一<m<0.

2

答案：1［-p°

10.已知函数f(x)是定义在［a-1,2a］上的偶函数,且当x>0时,f(x)

单调递增，则关于x的不等式f(x-l)>f(a)的解集为.

由题意可得a-1+2a=0,

所以a二!，

所以f(x-l)>f(a)等价于|x-1总,

24

所以X<j或X>j.

所以所求的解集为［8,|)U(!?+oo)

答案(。0,§嗯,+00)

三、解答题

(\x+l|,x<0,

II.(10分)设定义域为R的函数f(x)=+>>0

・3-2-10123x

-1

-2

-3

⑴在平面直角坐标系内作出函数f(X)的图象，并指出f(X)的单调区间

(不需证明)；

⑵若方程f(x)+2a=0有两个解，求出a的取值范围；

⑶设定义域为R的函数g(x)为奇函数,且当x>0时，g(x)=f(x),求

g(x)的解+析式.

⑴如图.

单调增区间：[-1,0],U,+8),单调减区间(-8,-1],[0,1].

(2)在同一坐标系中同时作出y=f(x),y=-2a的图象,由图可知f(x)

+2a=0有两个解，贝[J-2a=0或-2a>1,

即a=0或a<-；.

(3)当x<0时，-x>0,

所以g(-x)=(-x)2-(-2x)+1=x2+2x+1,

因为g(x)为奇函数，

2

所以g(x)=-g(-x)=-x-2x-1z

且g(0)=0,

(x2+2x+l(x>0),

所以g(x)=0Q=0),

t-x2-2x-l(x<0).

自我挑战区

设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a,b£[-1,1],当a

f(a)+f(b)

+b和时，都有------------->0.

a+b

⑴若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小；

(2)解不等式《X-<f(x-?；

(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x・c?)这两个函数的定义域的交集是

空集，求c的取值范围.

(1)任取-1<X1<X2<1,

f(X2)-f(Xi)f(X2)+f(-Xi)

贝(J----------------------=----------7-------;—>0,

X2-XiX2+(-Xi)

所以f(X2)>f(X|),

所以f(x)在x£[-l,1]上是增函数.

因为a,b可-1,1],且a>b,

所以f(a)>f(b).

(2)因为f(x)是x£[-1,1]上的增函数,

所以由不等式&-3-§

<x--<1,

得<-13％-：W1,

4

%--1<-x--1.

I24

(-；<%<；,

解