1.2.1等差数列及其通项公式（2知识点5题型强化训练）（原卷版）

1.2.1等差数列及其通项公式课程标准学习目标（1）通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义;（2）能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题。（1）掌握等差数列的概念，会证明某数列是等差数列;（2）掌握等差数列的通项公式，会求某等差数列通项公式.（难点)知识点01等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为d.代数形式：an-解析(1)公差是每一项减前一项，常数指的是与n无关；(2)公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d(3))an-aan+1-aan+1-【即学即练1】以下数列是等差数列的.(1)2,,4,8,16；(2)1,3,5,7,9；(3)数列an满足a知识点02等差数列的通项公式等差数列an的首项为a1，公差为d，则an解析(1)证明若等差数列an的首项为a1，公差为由等差数列的定义可得，an+1所以a2把以上n-1项等式累加可得an当n=1时，上式为a1=a故an等差数列的通项公式由等差数列的定义证明，以上证明方法为累加法.(2)等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个变数，即a1，【即学即练2】已知等差数列an中，首项a1=4，公差d=-2，则通项公式anA．4-2n B．2n-4C．6-2nD．2n-6【题型一：等差数列的判定与证明】例1．已知数列an满足：a1=1，a(1)证明：an+1-a(2)设bn=an+k变式11．下列数列中等差数列的是（

）A．an=3n+1 B．an=3n变式12．若数列an是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（A．an B．C．pan+q（p,q为常数）变式13．已知数列an满足a1=(1)证明数列1an-1(2)若数列bn满足，bn=an-1a【方法技巧与总结】1证明某数列是等差数列，可利用定义法：an-an-1=d2由递推公式证明等差数列，若直接对递推公式进行变形有时候有些难度，而直接去求an-3判断某数列是等差数列，若是选择题，可采取取前三项检验是否可能为等差数列来排除选项.【题型二：利用等差数列的定义求通项公式】例2．已知数列an中，a1=1且an+1=A．18 B．17 C．16变式21．在数列an中，an>0,a1A．12 B．23 C．24变式22．已知数列an中，a1=1，a2=2，aA．3 B．113 C．213 D变式23．已知数列an满足a1=13，aA．121 B．112 C．12 D变式24．在数列an中，a1=1,a2=1A．18 B．24 C．30 D．36【方法技巧与总结】要对常见的递推公式较为熟练，方能辨识出等差数列；往往是对递推公式通过作差、作商等方式进行变形，得到an【题型三：等差数列通项公式的基本量计算】例3．已知{an}为等差数列，a2+a3A．56 B．58 C．59 D．62变式31．设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（

A．1 B．2 C．4 D．8变式32．若an是正项无穷的等差数列，且a3+a9=6，则A．1，2 B．0，35 C变式33．在等差数列an中，p，q∈N*，且p≠q，若ap=q2A．-p+q B．-12p+q C．【方法技巧与总结】1等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，说明a2等差数列的基本量计算，可采取列方程组的方法，若学了等差数列的一些基本性质，则有时候会简便些.【题型四：实际问题中的等差数列】例4．《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为.变式41．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为10.5尺，立夏当日日影长为4.5尺，则春分当日日影长为（

）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．7.5尺变式42．我国古代数学著作(九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为()A．6斤 B．9斤 C．10斤 D．12斤变式43．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，那么此数列的项数为（

A．17 B．18 C．19 D．20【方法技巧与总结】实际问题中，要先理解题意，提取出“等差数列”的信息，把其化为等差数列的基本量问题进行求解.【题型五：等差数列通项公式的运用】例5．已知公差不为0的等差数列an满足am+an=2a4A．6 B．16 C．32 D．变式51．如果a1,aA．a1a8C．a1+a变式52．在等差数列an中，a1=-11, a5=-3A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项变式53．设数列an的前n项之积为Tn，满足an+2Tn=1A．10111012 B．10111013 C．40474049变式54．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a(1)求数列{a(2)设数列{bn}满足；bn=(an【方法技巧与总结】利用题中的已知条件把等差数列的基本量求出，把问题转化为其他的问题，根据具体的要求进行求解.一、单选题1．已知数列2an+1为等差数列，且a1=1,A．20212023 B．-20212023 C．20192.在等差数列{an}中，a5=1，a8+aA．1 B．2 C．3 D．43.已知等差数列an各项均为正整数，a11=a1+aA．0 B．1 C．2 D．44.已知数列an满足an+1+anA．18 B．19 C．20 D．215.若数列an满足递推关系式an+1=2anaA．11012 B．22023 C．110116.已知等差数列an的公差为π2，若集合S=sinanA．22 B．-12 C．17.在等差数列an中，a3能被3整除，a4能被7整除，则下列各项一定能被21A．a16 B．a17 C．a188.已知数列an的通项公式为an=97-3nn∈N*，那么当数列anA．30 B．31 C．32 D．33二、多选题9．若正项数列an是等差数列，且a2=5A．当a3=7时，a7=15 BC．当a7为整数时，a7的最大值为29 D．a10.数列an的前n项和为Sn，已知Sn=-A．an是递减数列 B．aC．当n>4时，an<0 D．当n=3或4时，11.已知等差数列an的首项a1=2，公差d=8，在an中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列A．an=8n-6B．当k=3C．当k=3时，b29不是数列an中的项D．若b9是数列an三、填空题12.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为钱．13.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列an，则（1）a33=；（2）若an14.设数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，对于任意的n∈N+,an,Sn,an2成等差数列，设数列bn的前n项和为T四、解答题15．已知等差数列an中，a3=4(1)求这个数列的第10项；(2)-56和-40是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．16.已知数列an满足a(1)求证：1an-2是等差数列.(2)求数列17.如图，点Aii∈N*均在x轴的正半轴上，△OA1B1，△A1A(1)求第n个等边三角形的边长an(2)求数列1an⋅