九年级数学教案学案

课题：等腰三角形的性质和判定

学习目标：①会阐述、推证等腰三角形的性质判定定理.

②学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别.

③经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学应用价值.

学习重点：等腰三角形的判定与性质的区别.

学习难点：用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形性质定理和判定

定理。

学习过程:

一、情景创设:

以前，我们曾经学习过三角形，你还记得按边分可以怎样分类吗？

1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）

2、等腰三角形有哪些性质？

3、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？

二、探索活动：

1、合作与讨论：等腰三角形的两底角相等

这是一道文字题，要分清题设和结论，画出

图形，写出已知、求证和证明过程

已知；在△ABC中，AB=AC

求证；ZB=ZC

、思考与讨论

2是徐明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。

4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？（请完成下表）

文字语言图形符号语言

在aABC中

等边对等角*

••__________________O

在△ABC中，AB=AC

(1)VZBAD=ZCAD

♦•________，________。

(2)VBD=CD

三线合一

*

••________，________o

(3)VAD±BC

••________，________o

5、思考与探索

“等腰三角形的两个底角相等"（1）写出它的逆命题：

（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。

6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：

思考：1、在△ABC中，ZA=110°,ZC=35°,则△ABC是______三角形。

2、如图，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,D是AC上一点，若

ZBDC=72°,则图形中共有（）个等腰三角形。

A、1B、2C、3D、4

3有一个三角形，它的内角分别是20°,40°,120°,怎样把这个三角

形分成两个等腰三角形？分成的两个等腰三角形的内角分别是多少？

三、典例分析

1、已知：如图，AB=AC,BD±AC,垂足为点D。求证：ZDBC=-ZAo

2

2、已知：如图（1）/EAC是aABC的外角，AD平分NEAC,且AD〃BC。

求证：AB=AC

(1)(2)

2、在上图（2）中，如果AB=AC,AD〃BC,那么AD平分/EAC吗？如果结论成立，你

能证明这个结论吗？

思：如图，△ABC中/ABC与/ACB的平分线交于点D.过点D作EF〃BC交AB于

点E、交AC于点F.

求证：EF=BE+CF.

四练习巩固

（-）基础练习

1、如果等腰三角形有两边长为3和7,那么周长为。

2、如果等腰三角形有一个角等于30°,那么另两个角为。

（二）提高练习

1、如图，在等边AABC中，AF=BD=CE,求证：Z\DEF也是等边三角形。

五拓展提高

1ZXABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE,DE交BC于P,求证:

DP=EP.

A

2

六小结与作业1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。

2、要等腰三角形中，底边上的中线，底边上的高，顶角的平分线是常用的辅

助线，能过画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等的三角形。

3、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平

行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们

的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性

评价与反思

课题：1、2直角三角形全等的判定（一）

教学目标

1.使学生能熟练地应用判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等.

2.使学生掌握斜边、直角边公理及其应用.

教学重点和难点

斜边、直角边公理的应用.

学习过程：

一、情景创设：

1、直角三角形全等的条件有哪些？

2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？

二、探索活动：

我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；

一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等;

两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等.

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否可能全等

呢？

如图1(1),在AABC与4A'B'C中，若AB=A'AC=A'C',ZC=ZC

=Rt/,这时RtZsABC与Rt^A'B'C是否全等？

研究这个问题，我们先做一个实验：

把Rt^ABC与RtZXA'B'C'拼合在•起(教师演示)如图1(2),因为NACB=NA'C

B;=Rt/,所以B、C(C)、B'三点在一条直线上，因此，^ABB'是一个等腰三角形，

可以知道NB=NB'.根据AAS公理可知RtZ\A'B'C'^RtAABC.

下面，我们再用画图的方法来验证：

画一个RtZkABC,使/C=90°,直角边AC的长为2cm,斜边AB的长为3cm.

(5)把AABC剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以重合.

2.上面的实验和操作，说明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”.这就是

判定直角三角形的“斜边、直角边”公理(简称HL).

三、例题教学：

1、如图，在AABC中，已知D是BC中点，DE_LAB,DF1AC,垂足分别

是E、F,DE=DF.

求证：AB=AC

2、如图：如果NBAC=30°＞那么BC=-AB,你能证明这个结论吗？

2

四、小结

由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以

应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等.“HL”只能用于判定直角三角形全等,

不能用于判定一般三角形全等.所以判定两个直角三角形全等的方法有五种：“SAS、ASA”、

“AAS”、"SSS”“HL".

五、练习巩固

（一）、基础练习

1具有下列条件的Rt/\ABC与RtZXA'B，C'（其中NC=NC'=Rt/）是否全等？如

果全等，在（）里填写理由；如果不全等，在（）里打“X”：

(1)AC=A'C',NA=NA'....................................()

(2)AC=A‘C',BC=B，C'..................................()

(3)ZA=ZA\ZB=ZB/........................................()

图3

2如图3,已知NACB=NBDA=Rt/,若要使AACBgABDA,还需要什么条件？把它

们分别写出来（有几种不同的方法就写几种）：

)()()

3.已知，如图,4ABC中，AB=AC,AD是角平分线，BE=CF,则下列说法

正确的有几个)

(1)AD平分/EDF；(2)AEBD^AFCD；

(3)BD=CD；(4)AD1BC.

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)4个

（二）提高练习

1、P10、第1题、第2题

2.已知：如图,在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,ZA=30°BD=1,.求AB,AD

六布置作业

课题:1、2直角三角形全等

的判定（二）

学习目标:1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点;

2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；

3、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力。。

学习重点:角平分线的性质定理和逆定理、

学习难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力

学习过程：

一、复习引入：

1.角平分线的定义：A

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线

C

叫这个角的平分线.

oB

表达方式：

如图：0C是/AOB的平分线，

，Z1=Z2（或/AOB=2N1=2N2或N1=N2=,NAOB）.

2

2.角平分线的画法：

你能用什么方法作出NAOB的平分线OC?（可由学生任选方法画出0C）.

可以用尺规作图，可以用折纸的方法，

二、探索活动

一、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

【要点】条件：1.点在角平分线I.,2.点到两边的距离,

【符号语言】如图点P在NAOB的平分线上，①

PD_LOA于D,PE±OBTE,②

；.PD=PE.③

【作用】证线段相等.

【辅助线添加提示】存在角平分线上的点,

作此点到角两边的垂线段.

图1

【错误警示】1.学生在具体应用角平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写,

2.对定理的图形语言认识不足.

角平分线上的点到角两边的距离是指这个

点到角两边的垂线段的长度，而不是过此

点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线

与角两边相交所得的线段的长度.

学生往往出现如下错误：

如图2♦.•点P在NAOB的平分线上，

，PD=PE.

二、角平分线判定定理：

在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

【要点】条件：L点在角的内部，

2.点到角两边的距离相等，

结论：3.点在角的平分线上.

【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如图3,图中的虚线即是，所以要

点1不可缺少.

【符号语言】如图1，

；PD_LOA于D,PE_LOB于E,

.♦.PD=PE,

，点P在NAOB的平分线上.

【作用】：证点在角平分线上，证角相等.

三、例题教学

例1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。”你

认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？

例2、如图，^ABC的角平分线AD、BE相交与点0。（1）点0到4ABC各边的距离相等

吗？点0在NC的平分线上吗？即证明：三角形的三条角平分线交于一点

思：三角形两条外角平分线会交于一点吗？三条呢？与

上题中的交点重合吗？

四、分层练习

（一）、基础练习

1.如果用“反证法”证明”等腰三角形的底角是锐ft”,

那么提出的假设应该是

2.△ABC由NC=90°,AD为角平分线,BC=32,BD：DC=9：7,则点D到AB的距离为（）

A.18cmB.16cmC.14cmD.12cm

3.MABC内部取一点P使得点P至IJZ\ABC的三边距离相等，则点P应是4ABC的哪三条

线交点.()

（A）高（B）角平分线（C）中线（D）边的垂直平分

4.如下图所示，直线小&b表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到

三条公路的距离相等，则可供选择的地址有:)

A.一处B.两处C.三处D.四处

5.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,AD是NBAC平分线，DE1AB,垂足为E,若

AB=10,求4DBE的周长。

(-)能力提高

1已知(如右图)BD_LAM于点D,CE±AN于点E,BD、CE交点F,

CF=BF,求证：点F在NA的平分线上.

2如图，已知NB=NC=9。，M是BC中点，MN±AD,

若Nl=/2,求证N3=/4

你还有什么发现？

五小结与作业

评价与反思

课题：平行四边形的性质

教学目标:

1、理解平行四边形定义,能根据定义探究平行四边形性质。

2、了解平行四边形在生活中的应用，能根据平行四边形的性质解决简单的实际问题.

3、经历探索平行四边形性质的过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。

情感目标：在探究的过程中发展学生的探究意识、创新精神和合作交流的习惯，培养学

生用数学的意识和严谨的科学态度。

教学重点难点：平行四边形性质的探究和应用。

学习过程：

--复习提问：

(1)什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是:

(2)平行四边形的性质:

知识回顾：

①___________________________________________叫平行四边形

②平行四边形性质有__________________________________

二例题教学：

例1.公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB=

15cm,AD=12cm,AC±BC,求小路BC,CD,OC的长，并算出绿地的面积.

例2：已知：如图，OABCD中，E、F分别是AD、BC的中点,

求证：BE=DF.

三练习巩固

1.在24版中，//：N6：NC：N〃的值可以是()

A.1：2：3：4B.1：2：

2：1

C.1：1：2：2D.2：1：2：1

2.如图4.4-11,EF过DABCD的对角线的交点0,交AD于E,交BC于F,若AB

=4,BC=5,0E=l.5,那么四边形EFCD的周长是()

A.16B.14C.12D.10

4.已知平行四边形的周长为28cm,相邻两边的差为4cm,求两边的长.

五小结与作、也

1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分2、是中心对称图形，两条

对角线的交点是对称中心。3、夹在两条平行线之间的平行线段相等。平行线之间的距离处处

相等。

评价与反思

课题：1、3矩形性质

学习目标：1.使学生能应川矩形定义、性质等知识，解决有关问题，进一步培养学生逻辑推理

能力。

2.能将矩形的性质定理综合应用，激发学生的探索精神。

学习重点：矩形的性质

学习难点：矩形性质定理的综合应用

学习过程：

一情境创设：

用教具演示如，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边

形的关系.（

二、探索活动：

1）在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线）,

拉动•对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.

①随着/a的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质.

矩形的性质：

2）、矩形与平行四边形的对比：

边角对角线对称性

类别

开行四

边形

矩形

3）如图矩形ABCD,对角线相交于E,图中全等三角形有哪些？准备说说看。

将目光锁定在RtAABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性质吗？现在我们借助于矩形

来证明

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。”

三、精讲例题

例1如图矩形ABCD的两条对角线相交于点0,且AC=2CD,

求证40CD为正三角形。

四、巩固练习

1.矩形的内角平分线把矩形的条边分成3和5两部分，则该矩

形的周长是（）

A.16B.22C.26D.22

或26

2.矩形的两条对角线的夹角是60°,，条对角线与矩形短边的和为15,那么矩形对角线的长

为,短边长为

6课本第16页练习1,2

六小结与作业

从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三

角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形

的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半

评价与反思

课题：菱形的性质

教学目标：掌握菱形的性质判定，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题，提高能力

通过把矩形和菱形的定义、性质将易混淆的知识点分清楚，

教学重点：菱形的性质

教学难点：性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化。

教学过程

-以旧引新

你能从一个平行四边形中剪出一个菱形来吗？

学生活动，由平行四边形较短的边折叠到较长的边上，剪去不重合部分，可得到一个菱

形。

小组内互相交流学习，拓展思维，并由语言叙述自己的发现，引出菱形的概念（尽量由

学生归纳）。

行四菱形

菱形概念：Z_____________/组邻边相等,

1.叫菱形。

菱形也是特殊的平行四边形，它有平行四边形的性质

2、菱形的面积计算公式：（5_^感缢_____________________

②s=对角线乘积的一半

二.定理探索：

证明：菱形四条边相等

1.已知平行四边形ABCD,且AB=AD,求证1----------7®

//

①AB=BC=CD=DA//

三.例题讲解L___/

例1.如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、

H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动）,

若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、

M之间的距离是多少？

例2、如图是菱形花坛加它的边长为200，N/吐60°,沿着菱形的对角线修建了两条

小路和BD,求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2）.

四.巩固练习

1若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为

五：课后小结

矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表：

矩形菱形

共有性质

特有性质

2.计算菱形的面积有两种方法。我们在解题过程中要注意寻求简捷途径，这对于解决数学问

题是

六布置作业

评价与反思

课题：正方形性质

学习目标；1.掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系

2.提高学生分析问题及解决问题的能力。

3.通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点

学习重点：正方形的性质。

学习难点：正方形知识的灵活应用

一、以旧引新：

1.正方形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

引导学生分析：正方形、菱形、矩形、平行四边形的关系。

矩形

有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

教师问：正方形是在什么前提下定义的？

教师再问：包括哪两层意思？

3.问：正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，那么它具有什么性

质呢？

正方形是平行四边形、矩形、菱形这些图形性质的综合，因此正方形有以卜性质

正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一

组对角。

4问题：四种特殊四边形是否是轴对称图号，并找出对称轴，平行四边形不是的，矩形、

菱形、正方形是的。

例1、已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0；正方形A'B

与点0重合，A'B'交BC于点E,A，D，交CD于

点F。A

求证：0E=0F

注：①重合部分（四边形AECF）与正方形ABCD的面积关系

②正方形ABCD改成矩形，结论还成立吗？其它四边形呢？

例2、如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上

一点，且NBAE=2NDAM。

求证：AE=BC+CE。

三巩固练习

1.在边长为2的正方形中有一点P,那么这个点P到四边的距离之和是.

2、正方形ABCD中，AC=10,P是AB上任意一点,PE±ACTE,PF±BD于F,则PE+PF=_。

可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等

于。

A.45°B.55°C.65°D.75°

4、如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点4、A,、…、A”分别是正方形的

中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）

A.—cmB.—cm"

44AZ▼■B-pA

C."4cm。D.(—)"cm'

6以锐角的边4C、48为边向外作正方形47应和正方形/及祝连结跖、CF,

(1)试探索跖和成的关系？并说明理由.

(2)你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.

课题：L3平行四边形的判定

学习目标：1在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形

的方法.2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.

3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.

重点、难点

1.重点：平行四边形的判定方法及应用.

2.难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.

教学过程：

新知探索：

一、引入新课

1、我们学过平行四边形的性质有哪些？

2、平行四边形是如何定义的？具备什么的四边形是平行四边形？请与同学交流。

二、平行四边形的判定方法

1、定义；两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、定理1；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

已知：求证：

定理2：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

已知：求证：

三、典型例题

例I、已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF«

求证：四边形BFDE是平行四边形。

思：1若BE〃DF,四边形BFDE是平行四边形吗？

2若BE_LAC于EDF_LAC于F,四边形BFDE是平行四边形吗？

例2、如图，如果OA=OC,OBVOD那么四边形ABCD不是平行四边形。这个结论成

立吗？如果成立，你能证明吗？

假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果，从而

证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。

三、随堂练习沙、一)7口

1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O,/

(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=cm,CD-cm时，B

四眦ABCD为平行四边脍

(2)若AOIOcm,BD=8cm,那么当A0=___cm,DOcm时,四边形ABCD为平行四边形.

3、在四边形ABCD中，已知AB〃CD,请补充一个条件,使得四边形ABCD

是平行四边形。

四拓展提高

1.如图所示，是某市部分街道示意图，AF〃BC,EC1BC,BA//DE,BD〃AE.甲、乙两人同时

从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B-A-E-F；2乘2路车，路线是B-D-C-F.假

设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？说明理由

2.如图，等边三角形ABC的边长为a,P为AABC内一点，且PD〃AB,PE〃

BC,PF〃AC,那么，PD+PE+PF的值为一个定值.这个定值是多少?请你说出这个定

值的来历.

五小结与作业

两组对边分别平行'

1.从边与边的关系：一组对边平行且相等的l的四边形是平行四边形

两组对边分别相等

2.从角与角的关系：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3.从对角线的相互关系：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

评价与反思

课题：1.3矩形的判定

学习目标：1、使学生能够掌握矩形的判定定理的证明并会灵活运用。

2、经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进

行证明的必要性，不断感受和情推理是人们正确认识事物的重要途径。

学习重点：矩形的判定定理的证明及应川。

学习重点：矩形判定定理的综合应用。

教学过程:

一创设情境:

制一个活动的平行四边形教具，课堂上进行演示，使学生注意观察四边形角的变化,

二新知探索

（-）引入新课

1、我们学过矩形的性质有哪些?

（二）矩形的判定方法:

1、定义：有一个角是直角平行四边形是矩形。

2、定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。

定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。

（2）回答：怎样检查•个门框是不是矩形

三、典型例题

例1、已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,点E、F、G、H分别在

0A、OB、0C、0D上，且AE=BF=CG=DH

求证：四边形EFGH是矩形

例2、已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上的点,且AE=CF=CG=AH«

求证：四边形是EFGH是矩形。

例3如图0四内角平分线相交于反F、G、H.

c

求证：四边形砂是矩形

2四边形ABCD的对角线相交于点0,在下列条件中，不能判断它是矩形的是（）

A、AB=CD,AD=BC,BAD=90°B、AO=CO,SO=DO,AC=BD

C、ZBAD=ZABC=90°ZBCD+ZADC=180°D、ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC=90°

3如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,M是平行四边形ABCD外一

点，且NAMC=90°,BMIMDo

4.已知：如图所示，E是已知矩形ABCD的边CB延长线上的一点，CE=CA,F是

AE的中点.求证：BF1FD

五创新思维

如图所示△ABC是直角三角形，ZC=90°,现将AABC补成矩形，使AABC的两个顶点为矩

形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩

形ACBD和矩形AEFB.

解答问题

（1）设图（2）中矢册ACBD和矩形AEFB的面积分别为Si,S2,贝IJSIS2.（填“>”

“v”“=”）

（2）如图（3）中AABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的

矩形可以画个，利用图（3）把它画出来.

六课堂小结

矩形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定.

常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理.遇到具体题目，可根据条件灵活选用当

七布置作业

评价与反思

课题：1.3菱形的判定

学习目标：1、使学生能够掌握菱形的判定定理的证明并会灵活运用。

2、经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进

行证明的必要性，不断感受和情推理是人们正确认识事物的重要途径。

3、逐步学会分析和综合的思考方法，培养学生演绎推理的能力。

学习重点：菱形的判定定理的证明及应用。

学习重点：菱形判定定理的综合应用。

教学过程：

一创设情境：

引导学生回顾探索四边形是菱形的条件的过程，同时引导学生从四边形、平

行四边形、菱形之间的从属关系来思考和表述菱形的判定条件。

二新知探索

1引入新课

具备什么的平行四边形是菱形？具备什么的四边形是菱形？请与同学交

流。

2菱形的判定方法

定理1；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、四条边都相等的四边形是菱形。

(1)菱形判定方法，填写下表。

应具备两个条件

菱形的定义

菱形判定方法一(定义)

判定方法1

判定方法2

思考与探索:

你能用直尺和圆规画一个菱形吗？能说说你作图的理由吗？与同学进行交流。

三、典型例题：

例1、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边CD、BA

分别相交于点E、F。

求证：四边形AFCE是菱形。

例2.如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在

一-起，得到重叠部分为四边形ABCD,四边形ABCD为菱

形吗？为什么？

例3.已知：如图，0ABCD中，AD=2AB,将CD向两边分别延长到E,F使CD=CE=DF.

求证：AE±BF

A类题

1、如图是•个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架，已知其中每个菱形的边长为

20cm,墙上悬挂晾衣架的两个铁钉之间的距20gem，则N1等于（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

ABC

2、下列条件中，能判断四边形是菱形的是

A、两条对角线相等B、两条对角线互相垂直。C、两条对角线相等且互相垂直。D、

两条对角线互相垂直平分。

3、下列图形既是轴对称，又是中心对称的是（）

A、平行四边形B、三角形C、菱形D、等腰梯形

五小结与作业

菱形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定.

课题：正方形的判定

教学目标：1.熟记正方形的判定方法，回判定一个四边形是正方形.

2.提高学生分析问题，解决问题的能力.

教学重点：正方形的判定方法.

教学难点:平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用。

教学过程：

知识梳理

1.叫正方形。

2.由定义得正方形的判定方法：

(1)有的矩形-叫正方形。

(2)有的菱形-叫正方形。

二典型例题：

例I、如图，已知：在RtZ\ABC中，ZC=90°,CD是/C的平分线，交AB于D,作DE

±BC,DF1AC,垂足为E、Fo/

求证：四边形DECF是正方形/

例2：以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE弧边形是平行

四边形。

(1)当NBAC满足时，四边形ADFE是矩形。BE2

(2)当NBAC满足时，平行四边形ADFE不存在。

(3)当AABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形？是正方

形？B

例3、已知，如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，AF、

BG、CH、DE分别两两相交于点A'B'CD'。

A_______H_

求证：四边形A'B'CD'是正方形。V-

三巩固练习

1、已知，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,

则卜列能判断它是正方形的条件的是：

A、AO=BO=CO=DOAC±BDB、AC=BC=CD=DA

C、AO=CO,BO=DO,AC1BDD、AB=BCCD1DA

2四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图1所示。它是

由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13.

每个直角三角形两直角边的和为5,求中间小正方形的面积。

3、已知：在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE_LAB,DF1AC,垂足分别是E、F。

求证：(1)ABDE^ACDF

(2)NA=9O°时，四边形AEDF是正方形

四绝对挑战

①，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点0,过点D作DP〃0C,且DP=0C,连结CP,

试说明：四边形CODP的形状。

②如果题目中的矩形变为菱形

结论应变为什么？试说明。

③如果题目中的矩形变为正方形,

结论又应变为什么？

五反馈与归纳

(1)正方形是怎样的平行四边形？，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形;

(2)正方形是怎样的矩形？有一组邻边相等的矩形；

(3)正方形是怎样的菱形？有个角是直角的菱形；

(4)明确四者之间的关系！！！！

评价与反思

课题：1.4等腰梯形的性质和判定

教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。

2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。

3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情

推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。

教学重点：等腰梯形的性质和判定。

教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）.

教学过程：

创设情境：

我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探

索得到等腰梯形的性质和判定。现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。

1.什么叫梯形

一组对边平行，另一-组对边不平行的四边形叫梯形.

2.两种特殊的梯形

直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形

等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形

3、根据等腰梯形的定义，•个图形要成为等腰梯形,首先它必须是，还要具备

相等；

二、等腰梯形的判定：

1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.、

2、定理的证明：

已知：

求证分析：本题可以从不同角度着手证明。

3、定理的书写格式：

如图，

三、等腰梯形的性质：

定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。

定理2、等腰梯形的两条对角线相等。

四、典型示例：

1、如图梯形ABCD中,AD〃BC,M是AD的中点,ZMBC=ZMCB

求证：四边形ABFE是等腰梯形;

2在梯形ABCD中，ADZ/BCAB=DC=AD=5CA±AB,求BC之长和ND的度数.

五巩固练习

A类题

1.四边形的四个内角的度数比是2：3：3：4,则这个四边形是（）

A.等腰梯形B.直角梯形

C.平行四边形D.不能确定

2.在等腰梯形力腼中，AD//BC,AE1BC于E,且期=/〃，BR3AD,则等于（）

D.135°

1、四边形ABCD是等腰梯形，AD〃BC,AB=DC,PB=PC.求

证：PA=PD

2、用一块面积为450cnV的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起

见,用竹条做梯形的对角线,对角线恰好互相垂直,那么至

少需要竹条cm.'

B

六课堂小结

1.我们今天学习了哪几种梯形是等腰梯形？

2.在研究梯形问题时用了哪些方法将梯形问题转化为其他图形的问？

七布置作业

评价与反思

题：1.5三角形中位线定理

教学目标：

1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.

2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.

3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力.

重点、难点

1.重点：掌握和运用三角形中位线的性质.

2.难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）.

（1）强调三角形的中位线与中线的区别:

学习过程：

一、情景创设

实验：请同学们思考：将任意•个二角形分成四个全等的三角

形，你是如何切割的？（答案如图）

图中有几个平行四边形？你是如何判断的？

二、引入新课

1.三角形中位线:

2.三角形中位线性质

三角形中位线定理：___________

定理符号语言的表达：

如图，在△ABC中

VD,E是AB、AC的中点

应注意的两个问题：①第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第：个结论是说明

中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论（可以单独用其中结

论）.②这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线.

三探索活动

已知：如图，点D、E、分别为AABC边AB、AC的中点，求证：DE〃BC且DE=，BC.

2

方法1：如图（1）,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,（也可以过点C作

CF〃AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

【思考】：

（1）想一想：①一-个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么

区别？

（2）三角形的中位线与第二边有怎样的关系？

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半.

K拓展》已知：4ABC的周长为a,面积为s,连接各边中点得△A|B|C”再连接△AiBQi

各边111点得△A?B2c2...,

则(1)第3次连接所得4A3B3c3的周长=，面积=

(2)第n次连接所得△ArlBnCll的周长=，面积=—

四蜒型例题

1、如图，/XABC中，AD是BC的中线，EF是中位线，

求证：AD、EF互相平分。

2、已知，在三角形ABC中，BD平分NABC,

AC的中点，

求证：DE/7BC,DF」(BC-AB)

2

3求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得

四边形是平行四边形.

已知:如图所示,在四边形ABCD中,E、F、

H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

B

求证：四边形EFGH是平行四边形.'

思顺次连结矩形菱形正方形各边中点所得的四边形是什么四边形？等腰梯形呢？

(学生边画图边观察，请学生猜想)

2、猜测：当四边形满足什么条件时，四边形EFGH为矩形、菱形、正方形？

五、课堂练习

(-)填空

1如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找

出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20m,刃陷A、B两点的距离是m，

理由是

2.AABC中，D、E、F分别是AB、AC,BC的中点,

(1)若EF=5cm,则AB=cm：若BC=9cm,则DE=cm；

(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想.

3.一个三角形的周长是135cm,过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的

三角形的周长是cm.

(二)解答

1已知：如图点E.F.GH分别是线段AB.BC.CD.AD的中点

当四边形DBCA满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？

六小结与作业

评价与反思

课题：1.5梯形的中位线

学习目标：

1.掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理

2.能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的

计算能力和分析能力

3.通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

学习重点：梯形中位线性质

教学难点：梯形中位线定理的证明

学习过程：

一、情景创设：

上一节课我们通过对三角形的中位线定理的再认识，知道顺次连接四边形