高考数学二轮复习专题五函数与导数第14讲函数的零点问题课件

第14讲函数的零点问题第14讲函数的零点问题

f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是

.答案

解析函数f(x)=ex-2x+a有零点即ex-2x+a=0有根,a=2x-ex,令g(x)=2x-ex,则a的范

围即为函数g(x)的值域.g'(x)=2-ex,由g'(x)=0,得x=ln2,当x∈(-∞,ln2)时,g'(x)>0,

g(x)递增,当x∈(ln2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)递减,所以g(x)max=g(ln2)=2ln2-2,则实数a的取值

范围是(-∞,2ln2-2].f(x)=

的零点个数是

.答案2解析当x≤0时,由f(x)=x2-2=0,解得x=-

;当x>0时,f(x)=2x-6+lnx,其零点个数即为方程2x-6+lnx=0,x>0的实根个数,也即为函数y=6-2x,y=lnx,x>0图象的交

点个数,由函数图象可知f(x)=2x-6+lnx在(0,+∞)上有1个零点,故函数f(x)共有

2个零点.f(x)=

若函数g(x)=|f(x)|-3x+b有三个零点,则实数b的取值范围为

.答案(-∞,-6)∪

解析函数g(x)=

-3x+b有三个零点,即y=

,y=3x-b的图象有三个不同的交点,在同一坐标系中作出两函数的图象如图,当直线y=3x-b与f(x)=4x-x2,x

∈[0,4]相切时,由f'(x)=4-2x=3,x=

,即切点为

,此时-b=

,由图可得0≤-b<

,-

<b≤0时,两个函数图象有3个交点;当直线y=3x-b与f(x)=-

,x∈(-∞,0)相切时,f'(x)=

=3,x=-1,即切点为(-1,3),此时-b=6,由图可得-b>6,即b<-6时,两个函数图象有3个交点,综上可得,实数b的取值范围是(-∞,-6)∪

.

f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m所组成的集

合为

.答案{2}解析因为f(-x)=f(x),所以f(x)是R上的偶函数,所以函数f(x)的唯一零点只能

是0,即f(0)=m2+2m-8=0,解得mm=2时,f(x)=x2-2cosx+2,f'(x)=2x+2sin

x>0,x∈(0,+∞),则f(x)在x∈(0,+∞)上递增,此时f(x)有唯一零点x=0;当m=-4时,f

(x)=x2+4cosx-4,有3个零点,不适合,舍去,故实数m的取值集合为{2}.题型一确定函数的零点个数例1

(2018高考数学模拟试卷(1))设k∈R,函数f(x)=lnx+x2-kx-1,求:(1)k=1时,不等式f(x)>-1的解集;(2)函数f(x)的单调递增区间;(3)函数f(x)在定义域内的零点个数.解析(1)k=1时,不等式f(x)>-1,即lnx+x2-x>0,设g(x)=lnx+x2-x,因为g'(x)=

+2x-1=

>0在定义域(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以f(x)>-1的解集为(1,+∞).(2)f'(x)=

+2x-k=

(x>0),由f'(x)≥0得2x2-kx+1≥0(*).(i)当Δ=k2-8≤0,即-2

≤k≤2

时,(*)在R上恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞).(ii)当k>2

时,Δ=k2-8>0,此时方程2x2-kx+1=0的相异实根分别为x1=

,x2=

,因为

所以0<x1<x2,所以f'(x)≥0的解集为

∪

,故函数f(x)的单调递增区间为

和

.(iii)当k<-2

时,同理可得:

∴x1<x2<0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).综上所述,当k>2

时,函数f(x)的单调递增区间为

和

;当k≤2

时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).(3)据(2)知①当k≤2

时,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,令

得x>

,取m=max

,则当x>m时,f(x)>x2-kx-1>0.设0<x<1,x2-kx-1<max{-1,-k}=λ,所以f(x)<lnx+λ,当0<x<e-λ时,f(x)<0,取n=

min{1,e-λ},则当x∈(0,n)时,f(x)<0,又函数f(x)在定义域(0,+∞)上连续不间断,所

以函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点.②当k>2

时,f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上递增,在(x1,x2)上递减,其中2x1-kx1+1=0,2x2-kx2+1=0,则f(x1)=lnx1+

-kx1-1=lnx1+

-(2

+1)-1=lnx1-

-2.下面先证明lnx<x(x>0):设h(x)=lnx-x,由h'(x)=

>0得0<x<1,所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,h(x)max=h(1)=-1<0,所以h(x)<0(x>0),即lnx<x(x>0).因

此,f(x1)<x1-

-2=-

-

<0,又因为f(x)在(x1,x2)上递减,所以f(x2)<f(x1)<0,所以f(x)在区间(0,x2)不存在零点.由①知,当x>m时,f(x)>0,f(x)的图象连续不间断,所以f(x)在区间(x2,+∞)上有

且仅有一个零点.综上所述,函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点.【方法归纳】

确定函数y=f(x)零点个数的方法:(1)解方程f(x)=0,方程有几个

解函数就有几个零点;(2)画出函数y=f(x)的图象,确定与x轴的交点个数;(3)转

化为两个函数图象的交点个数.1-1

(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f

(x)=

其中集合D=

,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是

.答案8解析由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况,在此范围内,x∈Q且x∉Z时,设x=

,p,q∈N*,p≥2且p,q互质,若lgx∈Q,则由lgx∈[0,1),可设lgx=

,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,因此1

=

,则10n=

,此时等号左边为整数,等号右边为非整数,矛盾.因此lgx∉Q,因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期内x∉D对应的部分的交点.画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lgx)'=

=

<1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.

题型二已知函数的零点个数,求参数的取值范围例2

(2018江苏)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,

则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为

.答案-3解析∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,则x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)

上没有零点,∴a>0.当0<x<

时,f'(x)<0,f(x)为减函数;当x>

时,f'(x)>0,f(x)为增函数,∴x>0时,f(x)有极小值,为f

=-

+1.∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f

=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=6x(x-1).∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+

-

f(x)-4增1减0【方法归纳】

已知函数零点个数,求参数的取值范围一般利用等价转化、

数形结合等思想,将问题转化为动直线与定曲线的交点个数问题.答案(-∞,0]∪

解析当x≤0时,f(x)=x+2x单调递增,且f(-1)=-

<0,f(0)=1>0,函数有1个零点,所以当x>0时f(x)也有1个零点,当x>0时,f'(x)=a-

,当a≤0时,f'(x)<0,f(x)递减,且当x→0时,f(x)→+∞,当x>1时,f(x)<0,函数有1个零点,适合;当a>0时,f'(x)=0,

x=

,x∈

,f'(x)<0,f(x)递减,x∈

,f'(x)>0,f(x)递增,则当f

=1+lna=0,a=

时,函数有1个零点,综上可得,实数a的取值范围是(-∞,0]∪

.2-2

(2018南通高三第二次调研)设函数f(x)=

(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数m的取值范围是

.答案(1,+∞)解析若e-x-

=0得x=ln2>0,则函数f(x)有3个不同的零点,即方程x3-3mx-2=0,x≤0有两个不等实根,x=0时方程不成立,则3m=x2-

,x<0有2个不等实根,令g(x)=x2-

,x<0,则g'(x)=2x+

=

,x∈(-∞,-1),g'(x)<0,g(x)递减,x∈(-1,0),g'(x)>0,g(x)递增,则3m>g(-1)=3,m>1.题型三函数的零点存在问题例3

(2018高考数学模拟)设a≠0,e是自然对数的底数,已知函数f(x)=

有零点,且所有零点的和不大于6,则a的取值范围为

.答案(-∞,0)∪[4,6]解析①a<0,x≤0时,f'(x)=aex-1<0,所以f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(0)=a<0,所

以f(x)在(-∞,0)有一个小于0的零点.x>0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=1,所以f(x)在(0,+∞)上有一个小于1

的零点.因此满足条件.②a>0时,0<a≤1时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(0)=a>0,所以f(x)在(-∞,0]上没

Δ=a2-4a<0,故f(x)在(0,+∞)上也没有零点.因此不满足题意.2)1<a<4时,f(x)在

上单调递减,在

上单调递增,f

=1+lna>0,所以f(x)在(-∞,0)上没有零点.又因为Δ=a2-4a<0,故f(x)在(